نسخة الفيديو النصية
أوجد قيمة تكامل أربعة ﺱ أس سالب اثنين على ثلاثة، وذلك بين الحدين ٢٧ وواحد.
ما لدينا بالفعل في السؤال هو تكامل محدد. وهو تكامل محدد لأننا نعرف في الواقع حدي التكامل الذي نريد إيجاده. ويمكننا استخدام ذلك؛ لأنه يساعدنا في إيجاد المساحة أسفل المنحنى.
لذا، ما فعلته هو أنني رسمت شكلًا مبسطًا لمساعدتنا في فهم ذلك. ويعني هذا أنه إذا كانت لدينا بالفعل دالة ما ﺹ يساوي ﺩﺱ، ثم، إذا أردنا إيجاد المساحة أسفل هذه الدالة على تمثيل بياني بين الحدين ﺃ وﺏ، فإن كل ما علينا فعله هو إيجاد تكامل الدالة بين ﺏ وﺃ.
لكن، كيف لنا أن نحسب قيمة ذلك؟ حسنًا، لفعل ذلك، نستخدم ما يسمى بصيغة التكامل المحدد. وهي تنص على أنه إذا كان لدينا تكامل ﺩﺱ، سأسمي ذلك ﻕ، ثم إذا أردنا إيجاد التكامل المحدد بين الحدين، ﺃ وﺏ، للدالة التي سيتم تكاملها، والتي سنسميها الدالة ﺩﺱ التي نجري تكاملها بالفعل، فهذا يساوي قيمة التكامل بعد التعويض بقيمة ﺏ، أي الحد العلوي، ناقص قيمة التكامل بعد التعويض بقيمة ﺃ، أي الحد السفلي. ونعوض عن ﺱ بكليهما.
حسنًا، سنستخدم ذلك الآن لحساب هذا التعبير. وما يعنيه ذلك عمليًّا هو أننا سنكامل التعبير. بعد ذلك، سنعوض بقيمتي الحدين العلوي والسفلي في ناتج التكامل. ثم نطرح قيمة الحد السفلي من قيمة الحد العلوي.
حسنًا، لنفعل ذلك. إذن، الخطوة الأولى هي إجراء تكامل أربعة ﺱ أس سالب اثنين على ثلاثة، وهو ما يعطينا أربعة ﺱ أس ثلث على ثلث. وهذا يكون مرة أخرى بين الحدين ٢٧ وواحد. أذكركم سريعًا بالطريقة التي أجرينا بها تكامل هذا الحد، ما فعلناه هو أننا كتبنا أربعة ﺱ أس سالب اثنين على ثلاثة. ثم أضفنا واحدًا إلى الأس. وهذا يماثل إضافة ثلاثة على ثلاثة. فأعطانا هذا واحدًا على ثلاثة. ثم قسمنا على الأس الجديد، أي واحد على ثلاثة.
حسنًا، رائع! دعونا ننتقل إلى الخطوة التالية ونبسط ذلك. حسنًا، بالتبسيط، نحصل على ١٢ﺱ أس ثلث، وهذا مرة أخرى يكون بين نفس الحدين ٢٧ وواحد. ولتذكير أنفسنا كيف فعلنا ذلك، كان لدينا أربعة ﺱ أس ثلث. وكان ذلك مقسومًا على ثلث، أي مقسومًا على كسر.
حسنًا، نعلم في الواقع أنه إذا قسمنا على كسر، فهذا يكافئ الضرب في مقلوب هذا الكسر. ومن ثم، فإنه يكافئ أربعة ﺱ أس ثلث مضروبًا في ثلاثة؛ ما يعطينا ١٢ﺱ أس ثلث. حسنًا، والآن، لإيجاد قيمة التكامل المحدد، علينا التعويض بالحدين العلوي والسفلي في التكامل.
أولًا، داخل القوس، لدينا ١٢ مضروبًا في ٢٧ أس ثلث. إذ إننا عوضنا عن قيمة ﺱ بالحد العلوي ٢٧. نطرح بعد ذلك ١٢ مضروبًا في واحد أس ثلث. وقد فعلنا ذلك لأننا عوضنا بالقيمة السفلية أو بالحد السفلي، أي واحد. إذن، يصبح لدينا ١٢ مضروبًا في واحد أس ثلث.
ولتبسيط ذلك، نستخدم قاعدة الأسس التي تخبرنا أن ﺱ أس واحد على ﺃ هو نفسه الجذر ﺃ لـ ﺱ. إذن، هذا يساوي ١٢ مضروبًا في الجذر التكعيبي لـ ٢٧ ناقص ١٢ مضروبًا في الجذر التكعيبي لواحد، وهو ما يساوي ١٢ مضروبًا في ثلاثة ناقص ١٢.
وقد حصلنا على ذلك؛ لأن الجذر التكعيبي لـ ٢٧ هو ثلاثة، هذا كله يساوي ٣٦ ناقص ١٢. ومن ثم، يمكننا القول إن قيمة التكامل المحدد لأربعة ﺱ أس سالب اثنين على ثلاثة بين الحدين ٢٧ وواحد تساوي ٢٤. ولتذكير أنفسنا بما قلناه في البداية، فما يعنيه هذا عمليًّا هو أننا إذا رسمنا التمثيل البياني لأربعة ﺱ أس سالب اثنين على ثلاثة، فسنجد أن المساحة أسفل المنحنى بين الحدين ٢٧ وواحد تساوي ٢٤.
