نسخة الفيديو النصية
الجمع بأي ترتيب
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحسب نواتج الجمع حتى ٢٠ بالجمع بأي ترتيب. لدينا هنا إطاران من إطارات العشرة. وهذان إنسانان آليان مبرمجان لتلوين إطاري العشرة؛ خمس بقع باللون البرتقالي، وتسع بقع باللون الوردي. دعونا نبدأ أولًا بالإنسان الآلي البرتقالي. واحدة، اثنتان، ثلاث، أربع، خمس. علينا الآن إضافة تسع بقع أخرى. نحن نعلم أن الصف الواحد من إطار العشرة يمثل خمسة. إذن يمكننا عد البقع بدءًا من العدد خمسة. ست، سبع، ثمان، تسع. أوجدنا هنا مجموع عددين.
تذكر أن المجموع يعني الإجمالي. وهو ما نحصل عليه عند جمع عددين معًا. بدأنا بخمس، ثم أضفنا تسعًا أخرى. ما المجموع؟ حسنًا، نحن نعلم أن إطار العشرة المكتمل يمثل دائمًا ١٠. لذا يمكننا إكمال العد بدءًا من العدد ١٠. ١١، ١٢، ١٣، ١٤. خمسة زائد تسعة يساوي ١٤.
لكن ماذا لو برمجنا الإنسان الآلي الوردي ليبدأ أولًا؟ سنستخدم العددين نفسيهما، لكننا سنجمعهما بترتيب مختلف. إذن سنبدأ بتسع بقع وردية. يمكننا فعل ذلك بسرعة لأننا نعرف أن ذلك أقل من إطار العشرة المكتمل بمقدار واحد. والآن كل ما علينا فعله هو تلوين خمس بقع باللون البرتقالي. واحدة، اثنتان، ثلاث، أربع، خمس.
هذه المرة الإنسانان الآليان مبرمجان للتلوين بترتيب مختلف. هذا يعبر عن جملة الجمع تسعة زائد خمسة. نحن نجمع العددين نفسيهما معًا، لكن مع تبديل ترتيبهما فقط. ما الذي تلاحظه بشأن الإجمالي؟
مرة أخرى، لدينا إطار عشرة مكتمل، وأربع وحدات أخرى. لون الإنسانان الآليان ١٤ بقعة مرة أخرى. كلا جملتي الجمع يعطينا الناتج نفسه. وقد علمنا هذان الآليان أمرًا مهمًا جدًا عن جمع الأعداد. لا يهم ترتيب العددين اللذين نجمعهما معًا. فسبعة زائد اثنين هو نفسه اثنان زائد سبعة. خمسة مضافًا إلى ١٥ يساوي ٢٠. وإذا بدلنا العددين وأوجدنا ناتج ١٥ مضافًا إلى خمسة، سنحصل على الناتج نفسه. سواء أوجدنا ناتج خمسة زائد ١٣ أو ١٣ زائد خمسة، سيظل الإجمالي هو نفسه.
دعونا الآن نحاول حل بعض الأسئلة لنتدرب على ما تعلمناه. وتذكر ما عرفناه؛ لا يهم ترتيب العددين اللذين نجمعهما معًا.
هل لجملتي الجمع هاتين الناتج نفسه؟
أسفل السؤال، يمكننا رؤية صفين من المكعبات. وهما يمثلان عمليتي أو جملتي جمع مختلفتين. عندما نحسب ناتج جمع، فإننا نحسب الإجمالي. وفي جملة الجمع الأولى، سنحسب مجموع أو إجمالي ١٠ وسبعة. نحن نعلم ذلك لأن لدينا ١٠ مكعبات صفراء، ثم أضيف إليها سبعة مكعبات أخرى زرقاء.
لنلق نظرة على جملة الجمع الثانية. ما وجه التشابه والاختلاف؟ حسنًا، وجه التشابه هو أن جملة الجمع تحتوي على العددين ١٠ وسبعة مرة أخرى. لكن هذه المرة يجمعان معًا بترتيب مختلف. في هذه المرة نبدأ بالعدد سبعة ونضيف ١٠. إذن يقول السؤال: هل ناتج جمع ١٠ زائد سبعة هو نفسه ناتج جمع سبعة زائد ١٠؟
هل يمكنك التفكير في طريقة للإجابة عن هذا السؤال بدون إجراء أي جمع؟ يمكننا فقط النظر إلى الصورة لنلاحظ أن صفي المكعبات لهما الطول نفسه تمامًا. إذن، يبدو من هذا أن إجمالي عدد المكعبات متساو سواء جمعنا ١٠ وسبعة أم سبعة و١٠. لكن مع النظر إلى الصورة، ربما يكون من الجيد إيجاد الناتج.
في البداية، دعونا نعد سبعة بدءًا من العدد ١٠. ١٠، ١١، ١٢، ١٣، ١٤، ١٥، ١٦، ١٧. مجموع ١٠ وسبعة يساوي ١٧. لنبدأ الآن بالعدد سبعة ونعد ١٠ أخرى. سبعة، ثمانية، تسعة، ١٠، ١١، ١٢، ١٣، ١٤، ١٥، ١٦، ١٧. تمامًا كما توقعنا، جملتا الجمع لهما الناتج نفسه. لا يهم الترتيب الذي نجمع به عددين معًا. فدائمًا سيكون لهما الإجمالي نفسه. هل ناتج ١٠ زائد سبعة هو نفسه ناتج سبعة زائد ١٠؟ نعم، هو كذلك.
في يوم الإثنين، حصلت أميرة على ملصقين على لوحة المكافآت. وفي يوم الثلاثاء، حصلت على ثلاثة ملصقات. في يوم الإثنين، حصل نادر على ثلاثة ملصقات على لوحة المكافآت. وفي يوم الثلاثاء، أضاف ملصقين. من لديه ملصقات أكثر؟
يدور هذا السؤال حول لوحتي مكافآت لطفلين مختلفين، هما أميرة ونادر. دعونا ننظر أولًا إلى لوحة مكافآت أميرة. علمنا أنه في يوم الإثنين حصلت على ملصقين على لوحتها. وإذا نظرنا إلى الصف المخصص ليوم الإثنين في لوحة أميرة، يمكننا رؤية هذين الملصقين اللذين حصلت عليهما. بعد ذلك علمنا أنها في يوم الثلاثاء حصلت على ثلاثة ملصقات. ومرة أخرى، يمكننا النظر إلى لوحتها ورؤية هذه الملصقات الثلاثة.
يقول السؤال في نهاية المسألة: من لديه ملصقات أكثر؟ حسنًا، دعونا نفكر كيف يمكننا حساب إجمالي عدد ملصقات أميرة. في البداية، حصلت على ملصقين يوم الإثنين ثم حصلت على ثلاثة ملصقات أخرى. إذن، سيكون علينا إيجاد ناتج اثنين زائد ثلاثة. لكن قبل أن نفعل ذلك، دعونا نلق نظرة على لوحة مكافآت نادر. في يوم الإثنين، حصل على ثلاثة ملصقات على لوحته. ثم علمنا أنه في يوم الثلاثاء، أضاف ملصقين آخرين. إذن ما العددان اللذان علينا جمعهما معًا لإيجاد إجمالي عدد ملصقات نادر؟
بدأ نادر بثلاثة ملصقات ثم أضاف ملصقين آخرين. هل يمكنك ملاحظة أمر مثير للانتباه في جملتي الجمع هاتين؟ كلتاهما تحتوي على العددين نفسيهما. لكنهما جمعا فقط بترتيب مختلف؛ اثنان زائد ثلاثة، وثلاثة زائد اثنين. الآن، ما الذي نعرفه عن جمع الأعداد بترتيب مختلف؟
حسنًا، نحصل على الإجمالي نفسه. لا يهم ترتيب العددين اللذين نجمعهما. فاثنان زائد ثلاثة هو نفسه ثلاثة زائد اثنين. ولذلك، إذا بدأت أميرة باثنين ثم عددنا ثلاثة، أربعة، خمسة؛ فسنجد أن هذا يماثل تمامًا أن يبدأ نادر بثلاثة ونعد: أربعة، خمسة. كلاهما لديه خمسة ملصقات. إذن، من لديه عدد ملصقات أكثر؟ كلاهما لديه العدد نفسه.
أوجد العدد الناقص. تسعة زائد سبعة يساوي (فراغ) زائد تسعة.
نحن نعلم أنه يمكننا إيجاد حل هذا السؤال بدون إجراء أي عملية جمع على الإطلاق. لكن لنفعل ذلك، علينا الانتباه جيدًا إلى ما يخبرنا به السؤال. لدينا هنا جملتا جمع تفصلهما علامة يساوي. هذا يوضح أنهما متساويتان. فتسعة زائد سبعة يساوي عددًا ما زائد تسعة. والآن، إذا نظرنا إلى جملتي الجمع هاتين، يمكننا ملاحظة شيء مشترك. كلتاهما تحتوي على العدد تسعة. في جملة الجمع الأولى، العدد الذي جمعناه على تسعة هو سبعة. وفي جملة الجمع الثانية، نضيف تسعة إلى عدد ما. لكننا لا نعرف ذلك العدد. إذن، ناتج جمع تسعة وسبعة يساوي ناتج جمع تسعة وسبعة. هذا هو الحل الوحيد المنطقي. فجملتا الجمع متماثلتان. لكن ترتيب العددين هو الشيء الوحيد المختلف. ونحن نعلم أنه إذا جمعنا عددين بترتيب مختلف، نحصل على الإجمالي نفسه.
إذا كان لديك بعض الوقت، حاول إيجاد الناتج في كلا الحالتين. لكننا في الواقع لا نحتاج إلى فعل ذلك للإجابة عن هذا السؤال. فناتج تسعة زائد سبعة يساوي تمامًا ناتج سبعة زائد تسعة. إذن، العدد الناقص هو سبعة.
ما الذي تعلمناه في هذا الفيديو؟ لقد تعلمنا كيف نحسب نواتج الجمع حتى ٢٠ بجمع عددين بأي ترتيب. كما تعلمنا حقيقة مهمة جدًا. يمكننا الجمع بأي ترتيب، ولن يختلف الناتج. فالإجمالي سيظل كما هو.
