فيديو الدرس: حساب احتمال اتحاد حدثين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سنتناول حدثين، ليسا بالضرورة حدثين متنافيين، كما سنوجد احتمال حدوث أحدهما أو كليهما. قد يتطلب ذلك بعض التفكير.

لنفكر في فصل دراسي مكون من ٣٠ طفلًا. ونفترض أن ١٥ طفلًا منهم يعزفون على إحدى الآلات الموسيقية بانتظام، و٢٠ منهم يمارسون رياضة لفريق ما. لدينا الآن ١٥ زائد ٢٠، ما يساوي ٣٥، أي أكثر من ٣٠. إذن لا بد أن بعض الأطفال يعزفون على إحدى الآلات الموسيقية ويمارسون إحدى الرياضات أيضًا. إذا أخبرتكم الآن أن ١٢ طالبًا يعزفون على إحدى الآلات ويمارسون إحدى الرياضات أيضًا، فسيمكننا رسم شكل يفصل هذه الأعداد. سنرسم شكل فن. قبل أن نبدأ، لنفترض أن ﻡ هو عدد الأطفال الذين يعزفون على آلة موسيقية، ور هو عدد الأطفال الذين يلعبون إحدى الرياضات. إذن لدينا فصل دراسي من إجمالي ٣٠ طالبًا، أي إن هذا الشكل يمثل ٣٠ طالبًا. هؤلاء من يعزفون على آلة موسيقية في الدائرة اليمنى، ومن يمارسون رياضة في الدائرة اليسرى. حسنًا. نعرف أن ١٢ طالبًا يعزفون على آلة موسيقية ويمارسون رياضة أيضًا. إذن في منطقة التقاطع في المنتصف، سيوجد ١٢ طالبًا ضمن دائرة الآلة الموسيقية ودائرة الرياضات أيضًا. إذا كان إجمالي ١٥ طالبًا يعزفون على إحدى الآلات الموسيقية، ولكن ١٢ منهم يمارسون رياضة كذلك؛ لأن هذا هو ما ذكرناه هنا، فإن ١٥ مطروحًا منها ١٢ يعطينا ثلاثة طلاب يعزفون على آلة موسيقية فقط ولا يمارسون أي رياضة. نعرف أيضًا أنه يوجد إجمالي ٢٠ طالبًا يلعبون الرياضة. ‏١٢ منهم يعزفون على آلة موسيقية أيضًا، ٢٠ ناقص ١٢ يتبقى ثمانية طلاب يلعبون الرياضة فقط ولا يعزفون على أي آلة موسيقية.

يتكون الفصل من ٣٠ طالبًا، ثلاثة منهم يعزفون على آلة موسيقية فقط، و١٢ يمارسون إحدى الرياضات ويعزفون على آلة موسيقية أيضًا، وثمانية يمارسون الرياضة فقط. إذا طرحنا هذه الأعداد من ٣٠، يتبقى لنا سبعة. أي إن هناك سبعة طلاب لا يعزفون على أي آلة موسيقية ولا يمارسون أي رياضة. الآن يمكننا استخدام طريقة عد الحالات لمساعدتنا على إيجاد الاحتمالات المختلفة إذا اخترنا طفلًا عشوائيًّا. إذا فعلنا ذلك، فإن كل طفل سيكون له فرصة متساوية لاختياره. إذن، احتمال أن الطفل يعزف على آلة موسيقية، ﻝﻡ، بما أنه يوجد ثلاثة يعزفون على آلة موسيقية فقط و١٢ يمارسون رياضة ويعزفون، وإذا أضفنا العددين معًا، فسيكون هناك إجمالي ١٥ طالبًا يعزفون على آلة موسيقية من ٣٠ طالبًا في الفصل، فإن احتمال أن يكون الطالب عازفًا لآلة موسيقية هو ١٥ من ٣٠، أي ١٥ على ٣٠. أما بالنسبة لممارسة الرياضة، فلدينا ١٢ طالبًا يمارسون الرياضة ويعزفون على آلة موسيقية وثمانية يمارسون الرياضة فقط، نجمعهم معًا لنحصل على نسبة الطلاب الذين يمارسون الرياضة من إجمالي ٣٠ طالبًا. وهذا نوع من التأكد؛ لأننا في الواقع نعرف هذه المعلومة من رأس السؤال. وأخيرًا، نكون بذلك أجرينا العمليات الحسابية لهذا الاحتمال، أي لحساب احتمال أن يكون الطالب لا يعزف على آلة موسيقية ولا يمارس رياضة؛ هناك سبعة طلاب في هذه الفئة من إجمالي ٣٠ طالبًا في الفصل، أي إن احتمال ألا يعزف الطالب على آلة موسيقية ولا يمارس رياضة هو سبعة على ٣٠.

هيا نتعرف الآن على هذا الرمز. ‏ﻡ تقاطع ر، هذا الرمز هو مجموعة الطلاب في التقاطع. أي يقعون ضمن المجموعتين، في هذه المجموعة هنا. يوجد ١٢ طالبًا ضمن مجموعة الآلات الموسيقية ومجموعة الرياضة أيضًا. إذا كنت سأختار طالبًا عشوائيًّا من الفصل، وكان جميع الطلاب متساوين في احتمال اختيارهم، فإن احتمال ﻡ تقاطع ر، أي احتمال أن يعزف الطالب على آلة موسيقية ويمارس رياضة، يساوي ١٢ من ٣٠، لوجود ١٢ طالبًا في هذه الفئة من إجمالي ٣٠ طالبًا في الفصل.

أما هذا الرمز فيعني ﻡ اتحاد ر أي ٢٣ طالبًا يعزفون على آلة موسيقية أو يمارسون رياضة، أو يمارسون النشاطين معًا. أي إنهم ضمن الفئة ﻡ أو الفئة ر، أو ضمن الفئتين معًا. لاحظ أنه علينا حساب ذلك بحرص شديد. إذا أضفت ١٥، وهو عدد الطلاب الذين يعزفون على آلة موسيقية إلى ٢٠، وهو عدد من يمارسون الرياضة، فسأكون حسبت ١٢ طالبًا هنا ضمن المجموعتين. أي سأعدهم مرتين، وستكون الإجابة أكبر بكثير من ١٢. ومرة أخرى، طالما نختار طلابًا بطريقة عشوائية وكان جميعهم متساوين في احتمال اختيارهم، فإنه لحساب ﻡ اتحاد ر، ما علينا سوى جمع هذه الأعداد الثلاثة لنحصل على إجمالي عدد الطلاب في هاتين الفئتين.

نتناول الآن أحد الرموز الأخرى، المكملة أو الشرطة. هنا، يمكنك نطقها ﻡ شرطة أو الحدث المكمل لـ ﻡ؛ وهي تعني كل ما يقع خارج نطاق ﻡ. أي الطلاب الذين لا يعزفون على آلة موسيقية. قد يكونون ضمن الثمانية الذين لا يعزفون على أي آلة ولكن يمارسون رياضة، أو من السبعة الذين لا يعزفون على أي آلة ولا يمارسون أي رياضة أيضًا. بما أن الطلاب إما أن يعزفوا على آلة موسيقية وإما ألا يعزفوا، فإنه يمكننا أن نقول ذلك. إنه من المؤكد، فالاحتمال يساوي واحدًا، إما أنهم يعزفون على آلة موسيقية وإما لا. إذا جمعنا احتمال أن يكون الطلاب عازفين لآلة موسيقية مع احتمال ألا يكونوا كذلك، فلا بد أن يكون المجموع واحدًا. إذا أردت إيجاد احتمال ألا يعزف الطالب على آلة موسيقية، يمكننا إعادة ترتيب الصيغة ﻝﻡ شرطة يساوي واحدًا ناقص ﻝﻡ، وهو احتمال أن يعزف الطالب على آلة موسيقية. نتذكر أننا أوجدنا احتمال أن يعزف الطالب على آلة موسيقية، وهو يساوي ١٥ من ٣٠. في الواقع، نعرف هذا من السؤال. إذن، احتمال ألا يعزف الطالب على آلة موسيقية هو واحد ناقص هذا، أي ١٥ على ٣٠ أيضًا.

بتطبيق المبدأ نفسه على هؤلاء الذين يمارسون الرياضة أو لا يمارسونها، فإن احتمال ألا يمارس الطالب الرياضة هو واحد ناقص احتمال أن يكون الطالب ممارسًا للرياضة. نعرف أن احتمال أن يمارس الطالب الرياضة هو ٢٠ على ٣٠؛ لأن ٢٠ من ٣٠ طالبًا يمارسون الرياضة. نطرح ٢٠ على ٣٠ من الواحد فيتبقى ١٠ على ٣٠ أو ثلث. إذن، احتمال ألا يمارس الطالب الرياضة هو ١٠ على ٣٠.

حسنًا. نقطة واحدة أخرى هنا. هيا نجرب بعض هذه الأساليب معًا. ماذا يعني ذلك، ﻡ اتحاد ر الكل شرطة؟ ‏ﻡ اتحاد ر هي المجموعة الكاملة من الطلاب الذين يمارسون الرياضة أو يعزفون على آلة موسيقية أو كليهما. أي جميع الأشخاص هنا. هذا هوﻡ اتحاد ر. ونريد الآن الشرطة، مكملة ذلك الحدث. أي جميع الأشخاص خارج هذه المجموعة. يوجد هنا سبعة طلاب. يساعدنا شكل فن على تصور ما يعنيه هذا. لذا دعونا نحاول أن نعطي الأمر شكلًا محددًا بعض الشيء. إذا تم اختيار الطلاب عشوائيًّا، فإن احتمال ﻡ اتحاد ر شرطة، أي أن يقع الاختيار على واحد من هؤلاء الذين لا يقعون ضمن هذه المجموعة، يساوي واحدًا ناقص احتمال ﻡ اتحاد ر. وبما أنه يوجد ٢٣ طالبًا ضمن ﻡ اتحاد ر، أي يعزفون على آلة موسيقية أو يمارسون الرياضة أو يمارسون النشاطين معًا، فإن احتمال اختيار أي من هؤلاء الطلاب يساوي ٢٣ على ٣٠. إذن، فاحتمال أن يتم اختيار طالب لا يعزف آلة موسيقية ولا يمارس الرياضة يصبح واحدًا ناقص ٢٣ على ٣٠، أي سبعة على ٣٠. مرة أخرى، هذا رائع. هذه هي الإجابة التي كان من الممكن أن نصل إليها بالنظر فقط. ولكن الآن لدينا طرق مختلفة يمكننا بها الوصول إلى الحل نفسه. وبهذا يمكننا التأكد من إجاباتنا والوصول إليها بطرق متعددة حين نواجه أسئلة مختلفة.

هيا نلخص ما تعلمناه حتى الآن. هذه هي النتيجة التي نحاول إيجادها. احتمال 𝐴 اتحاد 𝐵 يساوي احتمال 𝐴 زائد احتمال 𝐵 ناقص احتمال 𝐴 تقاطع 𝐵. كيف نحل ذلك؟ احتمال 𝐴 هي هذه المنطقة، فهؤلاء هم الأشخاص الذين يقعون ضمن المجموعة 𝐴. واحتمال 𝐵 هو جميع الأشخاص هنا. ما يمكننا أن نراه هو منطقة التقاطع هذه، قمنا بعد هؤلاء الأشخاص مرتين. عددناهم مرة ضمن المجموعة 𝐵 ومرة ضمن المجموعة 𝐴. لذلك نطرح 𝐴 تقاطع 𝐵 من هذا الإجمالي؛ حتى نستبعد الأشخاص الذين عددناهم مرتين لإجراء العملية الحسابية. نفهم الآن أنه في بعض الأحيان لا نحتاج لرسم مخطط فن لكل سؤال، بل يمكننا استخدام هذه الصيغة مباشرة لإجراء بعض العمليات الحسابية اللازمة لبعض الأسئلة. هيا نلق نظرة على حالة فعلنا ذلك فيها.

السؤال هو: أوجد احتمال الحصول على عدد فردي أو أولي عند إلقاء حجر نرد منتظم ذي ستة أوجه. إذا كان عددًا فرديًّا أو أوليًّا، فهذا يعني أننا نحاول إيجاد اتحاد الحدثين: الحصول على عدد فردي والحصول على عدد أولي. إذن عند إلقاء حجر النرد قد نحصل على عدد فردي أو أولي أو ربما كليهما.

هيا نكتب تعريفات هذه الأحداث. نعرف حدث العدد الفردي بأنه الحصول على عدد فردي، أي واحد أو ثلاثة أو خمسة. وجميعها متساوية في احتمال حدوثها عند إلقاء حجر نرد. وحدث العدد الأولي هو الحصول على عدد أولي، الأعداد الأولية التي تقع بين الواحد والستة هي اثنان وثلاثة وخمسة. يطلب منا السؤال إيجاد احتمال الحصول على عدد فردي أو أولي، أي حدث العدد الفردي اتحاد حدث العدد الأولي. ولأن نتائج إلقاء حجر النرد متساوية في احتمال حدوثها، حيث إن الحجر منتظم، فيمكننا القول: إن احتمال الحصول على عدد فردي، باستخدام طريقة العد، هو ثلاث من إجمالي ست. والأمر نفسه بالنسبة للأعداد الأولية، هناك ثلاث طرق للحصول على عدد أولي من ستة نتائج محتملة يمكن الحصول عليها عند إلقاء حجر نرد منتظم ذي ستة أوجه.

لإيجاد احتمال حدث العدد الفردي اتحاد حدث العدد الأولي، سنضيف احتمال حدث العدد الفردي إلى احتمال حدث العدد الأولي. ثم نطرح تقاطع الاثنين، أي احتمال تقاطع الحدثين. بعد ذلك سنوجد احتمال الحصول على عدد فردي وأولي في الوقت نفسه. إذا نظرنا إلى هاتين القائمتين، الواحد عدد فردي ولكن ليس أوليًّا، والاثنان عدد أولي ولكنه ليس فرديًّا. في هذه المجموعة عنصران فقط هما ثلاثة وخمسة. أي إن هناك طريقتين للحصول على عدد فردي وأولي من بين ست نتائج محتملة. ثم باستخدام الصيغة، التي تنص على أن احتمال وقوع حدث العدد الفردي اتحاد حدث العدد الأولي هو احتمال وقوع حدث العدد الفردي زائد احتمال وقوع حدث العدد الأولي ناقص احتمال تقاطع الحدثين العدد الفردي والأولي. هيا نعوض بالأعداد التي وجدناها، ثلاثة على ستة زائد ثلاثة على ستة ناقص اثنين على ستة، يساوي أربعة على ستة.

لنتأكد من ذلك، يبدو منطقيًّا، أليس كذلك؟ لأن أربعة أعداد من الستة الموجودين بين الواحد والستة إما أعداد فردية وإما أعداد أولية أو كلاهما. واحد، واثنان، وثلاثة، وخمسة.

حسنًا. يوجد سؤال هنا.

في دراسة للأشخاص الذين يشترون آيس كريم في مقهى، قال ٦٠ بالمائة إنهم يحبون الفراولة، وقال ٤٠ بالمائة إنهم يفضلون الفستق. وأظهرت التحليلات أن ٧٠ بالمائة يحبون إما الفراولة وإما الفستق أو كليهما. ما نسبة الأشخاص الذين يحبون الاثنين، وما نسبة من يفضلون الفراولة فقط؟

أولًا، هيا نعرف الأحداث. نفترض أن ر هو حدث أن يحب الشخص الفراولة، وﻝ أن يحب الفستق. هيا نعوض بالأعداد المذكورة في السؤال، احتمال أن يحب شخص الفراولة هو٦٠ بالمائة، أي ٠٫٦، واحتمال أن يحب شخص الفستق هو٤٠ بالمائة، أي ٠٫٤، واحتمال أن يحب شخص أيًّا منهما أو كليهما هو٠٫٧، أي ٧٠ بالمائة.

الآن، تخبرنا النتيجة العامة أن احتمال ر اتحاد ﻝ، أي أن يحب الشخص الفراولة أو الفستق أو كليهما، يساوي احتمال أن يحب الشخص الفراولة زائد احتمال أن يحب الشخص الفستق ناقص احتمال تقاطع الاثنين؛ لأننا، تذكر، قد حسبنا هؤلاء الأشخاص ضمن الاتحاد مرتين. إذن علينا أن نستبعدهم. ما نريد معرفته الآن هو النسبة التي تحب الاثنين. أي هذه النسبة هنا. احتمال ر تقاطع ﻝ، أي إنهم يحبون الفراولة والفستق كليهما. يمكننا إعادة ترتيب هذه المعادلة، نضيف احتمال ر تقاطع ﻝ إلى الطرفين، ثم نطرح احتمال ر اتحاد ﻝ من الطرفين. والآن يمكننا التعويض بالقيم التي لدينا. ‏٠٫٦ زائد ٠٫٤ ناقص ٠٫٧، وهو ما يساوي ٠٫٣. بمعنى آخر، ٣٠ بالمائة من الأشخاص محل الدراسة يفضلون آيس كريم الفراولة والفستق.

الآن الجزء الأخير من السؤال، ما نسبة من يحبون الفراولة فقط. أي لا يحبون الفستق. وجدنا أن منطقة التقاطع هذه ٠٫٣. يخبرنا السؤال أن احتمال أن يحب الشخص الفراولة هو٠٫٦. ونسبة ٠٫٣ محسوبة هنا بالفعل. لذا علينا طرحها من ٠٫٦ لإيجاد المتبقي هنا. هذه المنطقة، لنسمها ر تقاطع ﻝ شرطة، هي التقاطع بين أن يحب الشخص الفراولة ولا يحب الفستق. وهذا هو احتمال أن يحب الشخص الفراولة ناقص احتمال أن يحب الفراولة والفستق. ‏٠٫٦ ناقص ٠٫٣، يساوي ٠٫٣ أيضًا. إذن هذه هي النتيجة النهائية، ٣٠ بالمائة، ٠٫٣ فقط يحبون آيس كريم الفراولة. ‏٠٫٦ ناقص ٠٫٣ يساوي ٠٫٣. ‏٣٠ بالمائة فقط من الأشخاص محل الدراسة يحبون الفراولة ولا يحبون الفستق. يمكننا كتابة ذلك في الإجابة أيضًا.

أهم النصائح هنا هي أولًا تعريف الأحداث، وثانيًا استخدام الصيغة التي تقول إن احتمال اتحاد حدثين يساوي احتمال حدوث الحدث ر زائد احتمال حدوث الحدث ﻝ ناقص احتمال تقاطع الحدثين. وأيضًا، من المفيد استخدام شكل فن ليساعدنا على تجميع أفكارنا. تأكد في النهاية من وضوح إجابتك.

حسنًا. إذا كان هناك أي شيء ستتذكره من هذا الفيديو فليكن هذا. احتمال 𝐴 اتحاد 𝐵 يساوي احتمال 𝐴 زائد احتمال 𝐵 ناقص الجزء الذي حسبناه مرتين، تقاطع هاتين المنطقتين.