نسخة الفيديو النصية
أي الاختيارات الآتية يمثل الدالة المتعددة التعريف ﺩ في المتغير ﺱ الموضح تمثيلها البياني؟ أ: ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد ثلاثة عندما يكون ﺱ أكبر من سالب ثمانية وأقل من أو يساوي سالب ثلاثة. وﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص تسعة عندما يكون ﺱ أكبر من سالب ثلاثة وأقل من اثنين. وﺩﺱ تساوي سالب خمسة عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي اثنين وأقل من ستة. ب: ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد ثلاثة عندما يكون ﺱ أكبر من سالب ثمانية وأقل من أو يساوي سالب ثلاثة. وﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص ثلاثة عندما يكون ﺱ أكبر من سالب ثلاثة وأقل من اثنين. وﺩﺱ تساوي سالب خمسة عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي اثنين وأقل من ستة. ج: ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد ثلاثة عندما يكون ﺱ أكبر من سالب ثمانية وأقل من أو يساوي سالب ثلاثة. وﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص تسعة عندما يكون ﺱ أكبر من سالب ثلاثة وأقل من اثنين. وﺩﺱ تساوي سالب خمسة ﺱ عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي اثنين وأقل من ستة. د: ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد اثنين عندما يكون ﺱ أكبر من سالب ثمانية وأقل من أو يساوي سالب ثلاثة. وﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص تسعة عندما يكون ﺱ أكبر من سالب ثلاثة وأقل من اثنين. وﺩﺱ تساوي سالب خمسة عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي اثنين وأقل من ستة. هـ: ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد ثلاثة عندما يكون ﺱ أكبر من سالب ثمانية وأقل من أو يساوي سالب ثلاثة. وﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص ثلاثة عندما يكون ﺱ أكبر من سالب ثلاثة وأقل من اثنين. وﺩﺱ تساوي سالب خمسة ﺱ عندما يكون ﺱ أكبر من اثنين وأقل من ستة.
في هذا السؤال، لدينا تمثيل بياني لدالة وعلينا تحديد أي من الخيارات الخمسة المعطاة يمثل التعريف المتعدد الصحيح لهذه الدالة الموضحة بالتمثيل البياني. هناك العديد من الطرق المختلفة لحل هذا السؤال. على سبيل المثال، يمكننا رسم هذه الدوال الموضحة في الخيارات الخمسة لتحديد أي منها لها نفس التمثيل البياني للدالة المعطاة. أو يمكننا بدلًا من ذلك استبعاد الخيارات بتناول التمثيلات البيانية للدوال المشار إليها في هذه الخيارات ومقارنتها بالتمثيل البياني الموضح. كلتا الطريقتين صواب وستوصلنا إلى الإجابة الصحيحة. لكن، في كل منهما سيكون علينا التفكير في كل تعريف موضح في الخيارات المعطاة.
سنحاول بدلًا من ذلك الإجابة عن هذا السؤال دون استخدام هذه الخيارات. وذلك بإيجاد التعريف المتعدد لهذه الدالة باستخدام التمثيل البياني الموضح لها. إذا نظرنا إلى التمثيل البياني لدينا، فسنلاحظ أنه ينقسم إلى ثلاث دوال جزئية، أول دالة جزئية موضحة باللون الأخضر ويمثلها خط مستقيم، وثاني دالة جزئية موضحة باللون الأزرق ويمثلها قطع مكافئ، والدالة الجزئية الثالثة موضحة باللون الأحمر ويمثلها خط أفقي. لذا دعونا نوجد كلًّا من هذه الدوال الجزئية والمجالات الجزئية. وسنبدأ بإيجاد الدالة الجزئية الأولى.
لإيجاد المجال الجزئي لهذه الدالة الجزئية، علينا إيجاد القيم المدخلة لـ ﺱ من التمثيل البياني. ويمكننا الملاحظة أن هذه القيم المدخلة على التمثيل البياني تتراوح بين سالب ثمانية وسالب ثلاثة. لكن علينا الانتباه هنا؛ حيث إنه عند ﺱ يساوي سالب ثمانية، يتضمن التمثيل البياني دائرة مفرغة. وهذا يعني أن القيمة سالب ثمانية ليست ضمن المجال الجزئي. ومع ذلك يمكننا اعتبار سالب ثلاثة ضمن هذا المجال الجزئي أو المجال الجزئي الثاني. في الحالتين، سيكون هذا صحيحًا. ولكن، إذا نظرنا إلى جميع الخيارات الخمسة المعطاة فسنجد أن سالب ثلاثة يقع ضمن المجال الجزئي الأول. لذا سنضع سالب ثلاثة في المجال الجزئي الأول ليصبح ما لدينا هو ﺱ أكبر من سالب ثمانية وأقل من أو يساوي سالب ثلاثة.
علينا الآن إيجاد معادلة هذا الخط المستقيم لإيجاد الدالة الجزئية الأولى، وهناك عدة طرق مختلفة لفعل ذلك. سنستخدم هنا صيغة الميل والمقطع للخط المستقيم. في البداية، سنوجد الميل من الشكل. يمكننا الملاحظة أنه عندما نتحرك وحدة واحدة إلى اليمين، يتحرك المستقيم وحدة واحدة لأعلى، وهذا يعني أن ميل المستقيم الممثل لهذه الدالة يساوي واحدًا. يمكننا بعد ذلك مد المستقيم لإيجاد الجزء المقطوع من المحور ﺹ. الجزء المقطوع من المحور ﺹ هو ثلاثة، وهكذا تكون قيمة ﺟ في صيغة الميل والمقطع تساوي ثلاثة. من الجدير بالذكر أنه كان بإمكاننا معرفة ذلك بملاحظة أنه عندما نتحرك ثلاث وحدات إلى اليمين، وبما أن الميل يساوي واحدًا، فسيكون علينا التحرك لأعلى بمقدار ثلاث وحدات. ومن ثم يمكننا القول إن هذا خط مستقيم ميله يساوي واحدًا، والجزء المقطوع من المحور ﺹ بواسطته يساوي ثلاثة. وبالتعبير عن ذلك باستخدام صيغة الميل والمقطع، نجد هذه الدالة تساوي ﺱ زائد ثلاثة.
دعونا ننتقل الآن إلى الدالة الجزئية الثانية. علينا إيجاد معادلة هذا القطع المكافئ. وسنفعل ذلك باستخدام حقيقة أن لدينا إحداثيات الرأس لهذا القطع المكافئ. نلاحظ من الشكل أن هذه النقطة هي صفر، سالب تسعة. لذا يمكننا استخدام إحداثيات الرأس وصيغة رأس المنحنى للقطع المكافئ لإيجاد معادلة للدالة التي يمثلها هذا القطع المكافئ. بما أن الإحداثي ﺱ للرأس يساوي صفرًا، والإحداثي ﺹ يساوي سالب تسعة، فسنجد أن ﺹ يساوي ﺃ مضروبًا في ﺱ ناقص صفر تربيع ناقص تسعة. وبما أن القطع المكافئ كما نلاحظ مفتوح لأعلى، فإن قيمة ﺃ لا بد أن تكون موجبة. يمكننا بعد ذلك تبسيط الطرف الأيمن من هذه المعادلة. وهكذا، يصبح لدينا المعادلة ﺹ يساوي ﺃﺱ تربيع ناقص تسعة.
لإيجاد الدالة الجزئية الثانية، علينا إيجاد قيمة ﺃ. ويمكننا فعل ذلك بالتعويض بإحداثيات أي نقطة أخرى تقع على القطع المكافئ. سنختار نقطة التقاطع مع المحور ﺱ الموضحة على الشكل؛ أي النقطة سالب ثلاثة، صفر. وبالتعويض بإحداثيات هذه النقطة، تصبح المعادلة لدينا صفر يساوي ﺃ في سالب ثلاثة تربيع ناقص تسعة. وبحل هذه المعادلة، يمكننا إيجاد قيمة ﺃ. بالتبسيط، نحصل على صفر يساوي تسعة ﺃ ناقص تسعة. وبإضافة تسعة إلى كلا طرفي المعادلة ثم قسمتهما على تسعة، نجد أن ﺃ يساوي واحدًا. بعد ذلك، يمكننا التعويض بـ ﺃ يساوي واحدًا لنجد أن الدالة الجزئية الثانية تساوي ﺱ تربيع ناقص تسعة.
يمكننا إيجاد المجال الجزئي الثاني بالطريقة نفسها. سنستخدم الشكل أمامنا لإيجاد القيم المدخلة لـ ﺱ في هذا الجزء من التمثيل البياني. ويجب ألا ننسى أننا اخترنا أن نعتبر سالب ثلاثة ضمن المجال الجزئي الأول؛ لذا لن نضمنه في المجال الجزئي الثاني. نلاحظ من الشكل أن قيم ﺱ للقطع المكافئ تتراوح بين سالب ثلاثة واثنين. ولقد أوضحنا سابقًا أننا لن نعتبر سالب ثلاثة ضمن هذا المجال الجزئي. لكننا نلاحظ في الخيارات الخمسة المعطاة أن العدد اثنين ليس ضمن أي مجال جزئي ثان. لذا لن نضمن العدد اثنين في هذا المجال الجزئي أيضًا. ويكون المجال الجزئي الثاني بذلك هو قيم ﺱ الأكبر من سالب ثلاثة والأقل من اثنين. وهذا يعني بالطبع أن علينا وضع العدد اثنين ضمن المجال الجزئي الثالث.
دعونا الآن نبدأ بإيجاد المجال الجزئي الثالث للدالة الجزئية الثالثة. مرة أخرى، علينا إيجاد قيم ﺱ لهذا الجزء من التمثيل البياني باستخدام الشكل الموضح أمامنا. لقد قررنا اعتبار القيمة اثنين ضمن هذا المجال الجزئي. لكننا نلاحظ أن هناك دائرة مفرغة في الشكل عند ﺱ يساوي ستة، وهذا يعني أننا سنستبعد ستة من هذا المجال الجزئي. لكننا سنضمن جميع القيم الأكبر من أو تساوي اثنين والأقل من ستة. وبهذا نجد أن المجال الجزئي الثالث هو قيم ﺱ الأكبر من أو تساوي اثنين والأقل من ستة.
كل ما علينا فعله الآن هو إيجاد الدالة الجزئية الثالثة، ويمكننا فعل ذلك مباشرة بالرجوع إلى الشكل. هذه الدالة ممثلة بخط أفقي عند سالب خمسة. وهذا يعني أن مخرجات هذه الدالة لها قيمة ثابتة تساوي سالب خمسة؛ ولذلك يمكننا القول إن الدالة الجزئية الثالثة هي سالب خمسة فقط. إذن، لقد أوضحنا أن التعريف المتعدد للدالة الممثلة بيانيًّا هو ﺩﺱ تساوي ﺱ زائد ثلاثة عندما يكون ﺱ أكبر من سالب ثمانية وأقل من أو يساوي سالب ثلاثة. وﺩﺱ تساوي ﺱ تربيع ناقص تسعة عندما يكون ﺱ أكبر من سالب ثلاثة وأقل من اثنين. وﺩﺱ تساوي سالب خمسة عندما يكون ﺱ أكبر من أو يساوي اثنين وأقل من ستة. وهذا يتوافق مع الخيار أ.
