نسخة الفيديو النصية
بسط الدالة ﻥﺱ تساوي اثنين على ﺱ زائد اثنين في ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد ثمانية على اثنين ﺱ، وأوجد مجالها.
من المنطقي عمومًا تحديد مجال الدالة الكسرية قبل تبسيطها. عند القيام بذلك، يمكننا تجنب فقدان أي قيم محتملة لـ ﺱ قد تتسبب في حدوث مشكلة لاحقًا. لكن قبل أن نتمكن من تبسيط ﻥﺱ، لنضرب الكسرين معًا. عندما نضرب كسرين، فإننا نضرب بسطيهما ومقاميهما كلًّا على حدة. إذن، ﻥﺱ تساوي اثنين في الدالة التربيعية ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد ثمانية الكل على اثنين ﺱ في ﺱ زائد اثنين.
إذن، قبل أن نبسطها، لنحدد مجال الدالة. المجال هو مجموعة القيم المدخلة الممكنة للدالة، بعبارة أخرى، هو قيم ﺱ الممكنة التي تضمن أن ﻥﺱ دالة معرفة. وبما أننا نتعامل مع دالة كسرية، فإننا نعرف أن مقام هذه الدالة لا يمكن أن يساوي صفرًا. بخلاف ذلك، الدالة الكسرية هي ببساطة خارج قسمة دالتين كثيرتي الحدود. ومجال الدالة كثيرة الحدود هو مجموعة الأعداد الحقيقية. إذن، مجال ﻥﺱ هو مجموعة الأعداد الحقيقية. لكن علينا استبعاد أي قيم لـ ﺱ تجعل المقام يساوي صفرًا.
لإيجاد قيم ﺱ هذه، سنساوي المقام بالصفر ونوجد قيمة ﺱ. بعبارة أخرى، اثنان ﺱ في ﺱ زائد اثنين يساوي صفرًا. وبالطبع، بما أننا نوجد حاصل ضرب اثنين ﺱ وﺱ زائد اثنين ونحصل على ناتج يساوي صفرًا، فلن يكون هذا صحيحًا إلا إذا كان أي من هذين المقدارين يساوي صفرًا، أو بعبارة أخرى، إذا كان اثنان ﺱ يساوي صفرًا أو ﺱ زائد اثنين يساوي صفرًا. حسنًا، إذا كان اثنان ﺱ يساوي صفرًا، فإن ﺱ نفسه يجب أن يساوي صفرًا. بالمثل، إذا طرحنا اثنين من كلا طرفي هذه المعادلة، فسنحصل على ﺱ يساوي سالب اثنين. إذن، المجال هو مجموعة الأعداد الحقيقية التي لا تشمل المجموعة التي تحتوي على العنصرين صفر وسالب اثنين.
بوضع ذلك في الاعتبار، أصبحنا جاهزين الآن لتبسيط المقدار. وعند تبسيط دالة ما، فإننا نريد إيجاد العوامل المشتركة. نبدأ بملاحظة أن هناك عاملًا مشتركًا هو اثنان في بسط الكسر ومقامه. ومن ثم نقسم كلًّا منهما على اثنين، ليصبح لدينا ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد ثمانية على ﺱ في ﺱ زائد اثنين. ثم، في هذه المرحلة، لم يتبق لدينا عوامل مشتركة، لذا سنقوم بتحليل البسط. ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ زائد ثمانية يمكن في الحقيقة كتابتها على الصورة ﺱ زائد أربعة في ﺱ زائد اثنين.
ثم نلاحظ أن الكسر ﺱ زائد أربعة ﺱ زائد اثنين على ﺱ في ﺱ زائد اثنين له عامل مشترك وهو ﺱ زائد اثنين في البسط والمقام. بما أن ﺱ لا يمكن أن يساوي سالب اثنين، يمكننا إذن قسمة البسط والمقام على ﺱ زائد اثنين. وبذلك يتبقى لدينا ﺱ زائد أربعة على ﺱ. إذن، يمكن تبسيط الدالة ﻥﺱ إلى ﺱ زائد أربعة على ﺱ. ومجالها هو مجموعة الأعداد الحقيقية ناقص المجموعة التي تحتوي على العنصرين صفر وسالب اثنين.
