نسخة الفيديو النصية
إذا كانت القوة ﻕ التي تساوي ﻙﺱ زائد ﻡﺹ ناقص ﻉ تؤثر على نقطة متجه موضعها هو ﺭ يساوي ١٤ﺱ ناقص ﺹ زائد ١٢ﻉ والمركبتان ﺱ وﺹ لعزم القوة ﻕ حول نقطة الأصل هما ٧٣ و٢٤٢ وحدة عزم، على الترتيب، فأوجد قيمتي ﻙ وﻡ.
في هذا السؤال، علمنا من المعطيات أن لدينا نقطة متجه موضعها ﺭ يساوي ١٤ﺱ ناقص ﺹ زائد ١٢ﻉ. ولدينا متجه القوة ﻕ يساوي ﻙﺱ زائد ﻡﺹ ناقص ﻉ يؤثر عند هذه النقطة. المركبتان ﺱ وﺹ لهذا المتجه ﻕ ممثلتان بالثابتين ﻙ وﻡ. ومهمتنا في هذا السؤال هي إيجاد هاتين القيمتين.
لكي نفعل هذا، لدينا معطيات عن عزم القوة ﻕ أو -بعبارة أخرى- العزم الذي تحدثه القوة ﻕ. نحن نعرف تحديدًا من المعطيات أن المركبتين ﺱ وﺹ لهذا العزم هما ٧٣ و٢٤٢ وحدة عزم، على الترتيب. إننا نعلم أن أي قوة مؤثرة عند مسافة ما من نقطة معينة تحدث عزمًا حول تلك النقطة. في هذا السؤال، لدينا قوة تؤثر عند مسافة ما من نقطة الأصل، وتحدث عزمًا.
يمكن تمثيل العزم بمتجه، وهو ما نطلق عليه بشكل عام ﺝ. ويمكننا حساب ﺝ بإيجاد حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺭ وﻕ؛ حيث ﻕ هو متجه القوة الذي ينتج عزمًا حول نقطة معينة، وﺭ هو متجه الموضع الذي يؤثر فيه ﻕ بالنسبة إلى هذه النقطة التي نحسب حولها العزم. في هذا السؤال، لدينا قيم بعض مركبات ﺝ، وبالتحديد المركبتين ﺱ وﺹ. المركبة ﺱ تساوي ٧٣، والمركبة ﺹ تساوي ٢٤٢. لذا يمكننا كتابة العزم ﺝ على الصورة ٧٣ﺱ زائد ٢٤٢ﺹ زائد ﺝﻉﻉ؛ حيث ﺝﻉ مجهول لأننا لا نعرف قيمة المركبة ﻉ.
متجه العزم هذا سيساوي حاصل الضرب الاتجاهي لمتجه الموضع؛ حيث تؤثر القوة، ومتجه القوة نفسه. يشار إلى متجه الموضع في هذا السؤال بـ ﺭ. يمكننا استخدام هذه المعادلة لإيجاد الحل لهذا السؤال، وذلك باستخدام المركبتين المعلومتين لمتجه العزم ﺝ ومتجه الموضع ﺭ لإيجاد المركبتين المجهولتين ﺱ وﺹ لمتجه القوة ﻕ.
من المهم هنا ملاحظة أننا نحسب حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين، وأن هذه ليست مجرد عملية ضرب. هذا يعني أنه ليس من الممكن أن نجعل ﻕ في طرف بمفرده في المعادلة. بدلًا من ذلك، علينا حساب حاصل الضرب الاتجاهي. وسنفعل ذلك من خلال حساب ناتج المحدد ثلاثة في ثلاثة الموضح. العناصر الموجودة في الصف الأول هي متجهات الوحدة ﺱ وﺹ وﻉ. والعناصر الموجودة في الصف الثاني هي المركبات ﺱ وﺹ وﻉ، على الترتيب، لمتجه الموضع ﺭ. والعناصر الموجودة في الصف الثالث هي المركبات ﺱ وﺹ وﻉ لمتجه القوة ﻕ. لاحظ أن الترتيب هنا مهم. ويجب أن نكتب العناصر بنفس الترتيب في المحدد.
يمكننا الآن التعويض في المحدد بمركبات المتجه ﺭ. وهي ١٤ وسالب واحد و١٢. وأيضًا التعويض بمركبات المتجه ﻕ، وهي ﻙ وﻡ وسالب واحد. نحن الآن في وضع يسمح لنا بحساب ناتج المحدد. وسنفعل ذلك على ثلاثة أجزاء. لدينا أولًا متجه الوحدة ﺱ مضروبًا في سالب واحد في سالب واحد ناقص ﻡ مضروبًا في ١٢. يبسط هذا إلى ﺱ مضروبًا في واحد ناقص ١٢ﻡ. بعد ذلك، نطرح متجه الوحدة ﺹ مضروبًا في ١٤ مضروبًا في سالب واحد ناقص ﻙ مضروبًا في ١٢. يبسط هذا إلى سالب ﺹ مضروبًا في سالب ١٤ ناقص ١٢ﻙ، وهو ما يمكن إعادة كتابته على الصورة ﺹ مضروبًا في ١٤ زائد ١٢ﻙ. وأخيرًا، نضيف متجه الوحدة ﻉ مضروبًا في ١٤ مضروبًا في ﻡ ناقص ﻙ مضروبًا في سالب واحد. هذا يساوي ﻉ مضروبًا في ١٤ﻡ ناقص سالب ﻙ، وهو ما يساوي ﻉ مضروبًا في ١٤ﻡ زائد ﻙ.
لدينا الآن تعبير لناتج محدد المصفوفة ذات الرتبة ثلاثة في ثلاثة التي عناصرها هي ﺱ، ﺹ، ﻉ، ١٤، سالب واحد، ١٢، ﻙ، ﻡ، سالب واحد. وهذا هو حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺭ والمتجه ﻕ، وهذا أيضًا يساوي المتجه ﺝ.
نحن الآن في وضع يسمح لنا بإيجاد قيمتي ﻙ وﻡ بمساواة قيم المركبتين ﺱ وﺹ في المعادلتين. بمساواة قيمتي المركبة ﺱ، يصبح لدينا ٧٣ يساوي واحدًا ناقص ١٢ﻡ. يمكننا طرح ٧٣ وإضافة ١٢ﻡ إلى كلا طرفي هذه المعادلة، ما يجعلنا نحصل على ١٢ﻡ يساوي سالب ٧٢. وبقسمة كلا الطرفين على ١٢، نجد أن ﻡ يساوي سالب ستة. يمكننا الآن تكرار هذه العملية مع قيمتي المركبة ﺹ. ٢٤٢ يساوي ١٤ زائد ١٢ﻙ. يمكننا حل هذه المعادلة بطرح ١٤ أولًا من كلا الطرفين. بعد ذلك، يمكننا قسمة كلا الطرفين على ١٢ لنجد أن ﻙ يساوي ١٩.
إذن، يمكننا استنتاج أن قيمتي المركبتين المجهولتين للقوة ﻕ هما ﻙ يساوي ١٩ وﻡ يساوي سالب ستة. وهذا يعني أن متجه القوة ﻕ يساوي ١٩ﺱ ناقص ستة ﺹ ناقص ﻉ.
