فيديو الدرس: الانعكاس في المستوى الإحداثي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نوجد صورة نقطة أو مستقيم أو شكل بعد الانعكاس حول المحور ﺱ أو ﺹ في المستوى الإحداثي.

يعد الانعكاس نوعًا من أنواع التحويلات الهندسية. وتعرف التحويلات الهندسية بأنها عمليات تحول شكلًا هندسيًّا، مثل نقطة، أو قطعة مستقيمة، أو مضلع، إلى شكل هندسي آخر. وفي حالة الانعكاس، يحول الشكل الهندسي إلى شكل مطابق له يسمى الصورة. وسنتناول في هذا الفيديو ثلاثة أنواع من الانعكاسات؛ حيث نبدأ بالانعكاس حول المحور ﺱ، ثم ننتقل إلى الانعكاس حول المحور ﺹ، وأخيرًا نختم بالانعكاس حول نقطة الأصل. سنبدأ بمثال على الانعكاس حول المحور ﺱ.

أي زوج من المثلثات يمثل انعكاسًا حول المحور ﺱ؟

للإجابة عن هذا السؤال، علينا أن نتخيل أننا نضع مرآة على المحور ﺱ. ونتيجة لذلك، ستنعكس جميع الأشكال الهندسية على الجانب المقابل من المرآة. وهكذا نجد أن الأشكال الهندسية التي كانت في الأصل فوق خط الانعكاس ستنعكس أسفله. ونجد أن الأشكال الهندسية التي كانت في الأصل أسفل خط الانعكاس ستنعكس فوقه. وستكون أبعاد الصورة مماثلة لأبعاد الشكل الهندسي الأصلي. وسيقع كل رأس على البعد نفسه من المرآة، ولكن في الاتجاه المعاكس. ومن خلال تصور تأثير الانعكاس حول المحور ﺱ، يمكننا أن نلاحظ أن المثلثين ﺃ، ﺏ يمثلان انعكاسًا حول المحور ﺱ.

يمكننا أيضًا معاينة كل رأس بعناية. إذا افترضنا أن المثلث ﺃ هو الشكل الهندسي الأصلي، فسنلاحظ أن الرأس سالب اثنين، اثنين يقع في الأصل فوق المحور ﺱ بمقدار وحدتين. وتقع صورة هذا الرأس عند سالب اثنين، سالب اثنين. يقع الرأس في الموضع الأفقي نفسه، ولكنه أصبح الآن أسفل المحور ﺱ بمقدار وحدتين. نلاحظ أن المسافة الرأسية من المرآة لم تتغير، ولكنها أصبحت في الاتجاه المعاكس. وينطبق الأمر نفسه على كل من الرأسين الآخرين. إذن زوج المثلثات الذي يمثل انعكاسًا حول المحور ﺱ هوﺃ، ﺏ.

في المثال السابق وجدنا أن النقطة سالب اثنين، اثنين قد حولت إلى النقطة سالب اثنين، سالب اثنين عن طريق الانعكاس حول المحور ﺱ. وبالنسبة إلى رأسي المثلث الآخرين، حولت النقطة سالب ثلاثة، خمسة إلى سالب ثلاثة، سالب خمسة. وحولت النقطة سالب خمسة، ثلاثة إلى سالب خمسة، سالب ثلاثة. يمكننا ملاحظة أمر مشترك بين هذه التحويلات. في كلتا الحالتين لم يتغير الإحداثي ﺱ، ولكن تغيرت إشارة الإحداثي ﺹ، أو بعبارة أخرى، ضربت في سالب واحد.

يمكننا التعبير عن ذلك في نتيجة عامة. الانعكاس حول المحور ﺱ يحول النقطة ﻥ التي إحداثياها ﺱ، ﺹ إلى النقطة ﻥ شرطة التي إحداثياها، ﺱ، سالب ﺹ. يفيدنا تذكر هذه النتيجة في إيجاد صورة نقطة نتيجة لانعكاسها حول المحور ﺱ دون الحاجة إلى تمثيل التحويل الهندسي بيانيًّا.

بعد ذلك، دعونا نر ما يحدث عندما نعكس شكلًا هندسيًّا حول المحور ﺹ.

أوجد إحداثيات صور النقاط ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ بعد الانعكاس حول المحور ﺹ.

لعكس هذه النقاط حول المحور ﺹ، علينا أن نتخيل أننا نضع مرآة على المحور ﺹ. نلاحظ أن المرآة رأسية، وهذا يعني أن تأثير الانعكاس حول هذا الخط سيكون أفقيًّا. أي نقطة في المستوى الإحداثي ستنعكس على الجانب المقابل من المرآة وستظهر خلف المرآة عند المسافة نفسها التي كانت عليها في الأصل أمام المرآة.

دعونا نبدأ بالنقطة ﺃ، التي إحداثياها ثمانية، ستة. تقع هذه النقطة على بعد ثماني وحدات على يمين المرآة. ومن ثم، ستظهر صورتها على يسار المرآة على بعد ثماني وحدات عند الارتفاع الرأسي نفسه. إذن، صورة النقطة ﺃ ستكون سالب ثمانية، ستة.

إحداثيا النقطة ﺏ ثمانية، واحد، وتقع أسفل النقطة ﺃ مباشرة. ومن ثم، ستقع صورة النقطة ﺏ أسفل صورة النقطة ﺃ مباشرة؛ أي إن الإحداثي ﺱ لها سيساوي سالب ثمانية، وسيكون لها الإحداثي ﺹ نفسه الذي للنقطة الأصلية ﺏ. إذن، صورة النقطة ﺏ هي النقطة التي إحداثياها سالب ثمانية، واحد.

إحداثيات النقطتين ﺟ، ﺩ هي اثنان، واحد، واثنان، ستة، على الترتيب. تقع كل من هاتين النقطتين على بعد وحدتين يمين المرآة. ومن ثم، ستقع صورتاهما على بعد وحدتين يسار خط الانعكاس. إذن، صورتا النقطتين ﺟ، ﺩ هما سالب اثنين، واحد، وسالب اثنين، ستة، على الترتيب. وإذا وصلنا صور الرءوس الأربعة معًا فسنلاحظ أن الشكل الناتج مطابق للمستطيل الأصلي ﺃﺏﺟﺩ.

لقد تغير اتجاه هذا الشكل أيضًا، ولكن من الصعب ملاحظة ذلك على الفور؛ لأن الشكل متماثل. إذن، إحداثيات صور النقاط ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ هي سالب ثمانية، ستة، وسالب ثمانية، واحد، وسالب اثنين، واحد، وسالب اثنين، ستة.

والآن، دعونا نعمم ما لاحظناه في المثال السابق. بالنظر إلى إحداثيات كل نقطة وصورتها بعد الانعكاس حول المحور ﺹ، يمكننا ملاحظة أن الإحداثي ﺹ يظل كما هو. ولكن، هذه المرة تتغير إشارة الإحداثي ﺱ. وهو ما يكافئ القول إن الإحداثي ﺱ مضروب في سالب واحد. ويمكننا كتابة قاعدة عامة لوصف ذلك. الانعكاس حول المحور ﺹ يحول النقطة ﻥ التي إحداثياها ﺱ إلى النقطة ﻥ شرطة التي إحداثياها سالب ﺱ،ﺹ. تمكننا هذه النتيجة من إيجاد إحداثيي صورة نقطة نتيجة لانعكاسها حول المحور ﺹ دون الحاجة إلى تمثيل التحويل الهندسي بيانيًّا.

والآن، بعد أن تناولنا أمثلة على الانعكاس حول كل من المحور ﺱ والمحور ﺹ، دعونا نر كيف يمكننا استخدام ذلك لحل الأسئلة.

ثلاث نقاط ﺃ، ﺏ، ﺟ إحداثياتها واحد، ثلاثة، وواحد، اثنان، وأربعة، واحد، على الترتيب، انعكست حول المحور ﺱ إلى النقاط ﺃ شرطة، ﺏ شرطة، ﺟ شرطة. أوجد إحداثيات ﺃ شرطة، ﺏ شرطة، ﺟ شرطة. هل قياس الزاوية ﺃﺏﺟ أصغر من، أم أكبر من، أم يساوي قياس الزاوية ﺃ شرطة ﺏ شرطة ﺟ شرطة؟

في البداية، نتذكر أن الانعكاس حول المحور ﺱ يحول النقطة التي إحداثياها ﺱ، ﺹ إلى النقطة التي إحداثياها، ﺱ، سالب ﺹ. وهذا يعني أن الإحداثي ﺱ يظل كما هو، في حين يضرب الإحداثي ﺹ في سالب واحد. يمكننا بعد ذلك تطبيق هذا التحويل الهندسي على كل نقطة على حدة. النقطة ﺃ، التي إحداثياها واحد، ثلاثة، تحول إلى النقطة واحد، سالب ثلاثة. والنقطة ﺏ التي إحداثياها واحد، اثنان، تحول إلى النقطة واحد، سالب اثنين. والنقطة ﺟ التي إحداثياها أربعة، واحد، تحول إلى النقطة أربعة، سالب واحد.

للإجابة عن الجزء الثاني من السؤال، قد يكون من المفيد أن نرسم النقاط ﺃ، ﺏ، ﺟ مع صورها ﺃ شرطة، ﺏ شرطة، ﺟ شرطة على شبكة الإحداثيات. الزاويتان اللتان تعنياننا هما الزاوية ﺃﺏﺟ، والزاوية ﺃ شرطة ﺏ شرطة ﺟ شرطة، وهما موضحتان على الشكل. نلاحظ أن هاتين الزاويتين منفرجتان، وتبدوان متساويتين في القياس. إذا تذكرنا أن الانعكاس يحول الشكل الهندسي إلى آخر مطابق له، فيمكننا استنتاج أن الزاوية ﺃﺏﺟ، والزاوية ﺃ شرطة ﺏ شرطة ﺟ شرطة متماثلتان في القياس؛ وذلك لأنهما زاويتان متناظرتان في مثلثين متطابقين.

وبذلك نكون قد انتهينا من حل السؤال. أوجدنا إحداثيات النقاط ﺃ شرطة، ﺏ شرطة، ﺟ شرطة، وبينا أن الزاويتين متساويتان في القياس.

يوضح هذا المثال إحدى الخواص الأساسية للانعكاس حول خط مستقيم، والتي سنتناولها الآن بمزيد من التفصيل.

ثمة أربع خواص رئيسية للانعكاس حول خط مستقيم. أول هذه الخواص أن الانعكاس حول خط مستقيم يحافظ على أطوال القطع المستقيمة. على سبيل المثال، إذا انعكست القطعة المستقيمة ﺃﺏ حول المحور ﺹ، فإن صورتها ﺃ شرطة ﺏ شرطة ستكون مساوية لها في الطول. وثاني هذه الخواص أن الانعكاس يحافظ على قياسات الزوايا، كما رأينا في المثال السابق. وثالثها أن الانعكاس حول خط مستقيم يحافظ على الخاصية البينية. وهذا يعني أنه إذا كانت النقطة ﺏ تقع بين النقطتين ﺃ، ﺟ، فإن صورتها ستقع بين صورتي النقطتين ﺃ، ﺏ. وآخر هذه الخواص أن الانعكاس حول خط مستقيم يحافظ على التوازي. وهذا يعني أنه إذا كانت القطعة المستقيمة ﺃﺏ موازية للقطعة المستقيمة ﺟﺩ، فإن القطعة المستقيمة ﺃ شرطة ﺏ شرطة ستكون موازية للقطعة المستقيمة ﺟ شرطة ﺩ شرطة.

النوع الأخير من الانعكاس الذي سنتناوله في هذا الفيديو هو الانعكاس حول نقطة، الذي يختلف قليلًا عن الانعكاس حول خط مستقيم مثل المحور ﺱ أو المحورﺹ. دعونا نفترض أن لدينا النقطة ﺃ وعلينا أن نعكسها حول النقطة ﻡ. صورة النقطة ﺃ هي النقطة ﺃ شرطة؛ حيث ﻡ نقطة منتصف القطعة المستقيمة التي تصل بين النقطة ﺃ، والنقطة ﺃ شرطة. تسمى النقطة ﻡ مركز الانعكاس، وهي النقطة الوحيدة التي لا تتغير في هذا الانعكاس. النقطة الوحيدة على شبكة إحداثيات التي نحتاج إلى أن نكون قادرين على عكس الأجسام حولها هي نقطة الأصل.

هيا نتناول ما يحدث لهذا المثلث عندما نعكسه حول نقطة الأصل. بتناول كل رأس على حدة، يمكننا رسم الخط الذي يصل هذه النقطة الأصلية بنقطة الأصل. ثم نوجد صورة النقطة الأصلية على الجانب المقابل من نقطة الأصل بحيث تقع نقطة الأصل في منتصف المسافة بين النقطة الأصلية وصورتها بالضبط. ويمكننا فعل ذلك إما بالقياس أو باعتبار أن النقطة الأصلية في هذه الحالة تقع على بعد مربع واحد إلى يمين نقطة الأصل ومربعين أعلاها. ومن ثم، إذا فعلنا ذلك في الاتجاه المعاكس وتحركنا بمقدار مربع واحد إلى اليسار ومربعين لأسفل من نقطة الأصل، فستظل المسافة من نقطة الأصل هي نفسها.

نكرر هذه العملية مع كل رأس ثم نوصل النقاط الثلاث معًا لنحصل على صورة المثلث البرتقالي بعد انعكاسه حول نقطة الأصل. بالنظر إلى إحداثيات كل نقطة وصورتها، نلاحظ أن إشارة كل من الإحداثيين ﺱ، ﺹ قد تغيرت في كل حالة. ويمكننا تعميم هذه النتيجة بقولنا إن الانعكاس حول نقطة الأصل يحول النقطة ﻥ التي إحداثياها ﺱ، ﺹ إلى النقطة ﻥ شرطة التي إحداثياها سالب ﺱ، سالب ﺹ.

للانعكاس حول نقطة الأصل خاصية مثيرة تختلف عن الانعكاس حول الخط المستقيم، التي تتضح إذا أسمينا الرءوس المتناظرة في المثلثين في الشكل. لاحظ أن رءوس المثلث الأصلي ﺃﺏﺟ مشار إليها بأحرف مرتبة في اتجاه عقارب الساعة، وينطبق الأمر نفسه على الصورة ﺃ شرطة ﺏ شرطة ﺟ شرطة. وهذا يجعلنا نتوصل إلى خاصية مهمة. الانعكاس حول نقطة الأصل يحافظ على اتجاه الترتيب الدوراني للرءوس. ومن المهم أن نفهم أننا لا نعني أن اتجاه الشكل نفسه لا يتغير. ولكننا نعني أن الانعكاس حول نقطة الأصل يحافظ على الترتيب الدوراني لتسمية الرءوس في اتجاه عقارب الساعة أو في عكس اتجاه عقارب الساعة.

والآن، دعونا نلق نظرة على مثال عن الانعكاس حول نقطة الأصل.

أي التمثيلات البيانية الآتية يمثل انعكاس المثلث ﺃﺏﺟ حول نقطة الأصل؟

يطلب منا السؤال إيجاد الشكل الذي يمثل انعكاس المثلث ﺃﺏﺟ حول نقطة، وهي نقطة الأصل. المثلث ﺃﺏﺟ هو الشكل الهندسي الأصلي، وعلينا تحديد أي من المثلثات الأربعة هو الصورة الصحيحة لهذا التحويل الهندسي.

نتذكر أن الانعكاس حول نقطة الأصل يحول النقطة العامة ﻥ التي إحداثياها ﺱ، ﺹ إلى النقطة ﻥ شرطة التي إحداثياها سالب ﺱ، سالب ﺹ. بعبارة أخرى، النقطة ﻥ، والنقطة ﻥ شرطة لهما الإحداثيات نفسها، ولكن بإشارات متعاكسة. ومعنى ذلك أن النقطتين تقعان على مسافة متساوية من نقطة الأصل، ولكن على جانبين متقابلين منها وعلى استقامة واحدة.

نلاحظ على الفور أن التمثيل البياني أ لا يمكن أن يكون التمثيل البياني الصحيح؛ لأنه على الرغم من تغير إشارة الإحداثي ﺱ، فإن إشارة الإحداثي ﺹ لم تتغير. هذا بالإضافة إلى أننا إذا رسمنا خطوطًا مستقيمة من كل رأس من رءوس المثلث ﺃﺏﺟ تمر بنقطة الأصل ومددنا هذه الخطوط، فسنلاحظ أن صورة المثلث ﺃﺏﺟ بعد الانعكاس حول نقطة الأصل لا بد أن تكون في الربع الثالث. ولذا، يمكننا استبعاد كل من الخيارين أ وب لأن الصورة موجودة فيهما في الربع الخاطئ. ولكن، في التمثيلين البيانيين ج ود، تقع كلتا الصورتين في الربع الثالث.

نتذكر الآن إحدى الخواص الأساسية للانعكاس حول نقطة الأصل، وهي الحفاظ على الاتجاه الدوراني لترتيب الرءوس. وهذا يعني أنه إذا كانت رءوس الشكل الهندسي الأصلي مرتبة في اتجاه عقارب الساعة مثلًا، فإن الأمر نفسه ينطبق على رءوس الصورة. وبالنظر إلى المثلث ﺃﺏﺟ، نلاحظ أن الاتجاه الدوراني لترتيب رءوسه في عكس اتجاه عقارب الساعة؛ ومن ثم، لا بد أن ينطبق الأمر نفسه على صورته.

في التمثيل البياني ج، الاتجاه الدوراني لترتيب الرءوس أيضًا في عكس اتجاه عقارب الساعة. ولكن في التمثيل البياني د، الاتجاه الدوراني لترتيب الرءوس في اتجاه عقارب الساعة. ومن ثم، يمكننا استبعاد الخيار د. وبذلك لا يتبقى لنا سوى التمثيل البياني ج. يمكننا التحقق من صحة هذا الخيار من خلال توصيل الرءوس المتناظرة وملاحظة أنها تقع بالفعل على مسافات متساوية من نقطة الأصل، ولكن على جانبين متقابلين وعلى استقامة واحدة. إذن، الخيار ج هو التمثيل البياني الذي يمثل انعكاس المثلث ﺃﺏﺟ حول نقطة الأصل تمثيلًا صحيحًا.

والآن، دعونا نلخص النقاط الرئيسية التي تناولناها في هذا الفيديو. يحول الانعكاس في المستوى الإحداثي الشكل الهندسي، وهو ما قد يكون نقطة، أو قطعة مستقيمة، أو مضلعًا، إلى شكل هندسي مطابق له، وهو ما نسميه الصورة. بالنسبة إلى النقطة العامة ﻥ التي إحداثياها ﺱ، ﺹ، يحول الانعكاس حول المحور ﺱ النقطة ﻥ إلى النقطة ﻥ شرطة التي إحداثياها ﺱ، سالب ﺹ. أو بعبارة أخرى، تتغير إشارة الإحداثي ﺹ. أما الانعكاس حول المحور ﺹ فيغير إشارة الإحداثي ﺱ. وهو ما يعني أن النقطة ﻥ تحول إلى النقطة ﻥ شرطة التي إحداثياها سالب ﺱ، ﺹ.

ويغير الانعكاس حول نقطة الأصل إشارة كل من الإحداثيين ﺱ، ﺹ. وهذا يعني أن النقطة ﻥ تحول إلى النقطة ﻥ شرطة التي إحداثياها سالب ﺱ، سالب ﺹ. يحافظ الانعكاس حول خط مستقيم على أطوال القطع المستقيمة، وقياسات الزوايا، والخاصية البينية، والتوازي. ويحافظ الانعكاس حول نقطة الأصل على الاتجاه الدوراني لترتيب الرءوس، التي تكون مرتبة إما في اتجاه عقارب الساعة وإما في عكس اتجاه عقارب الساعة.