فيديو السؤال: إيجاد جميع نقاط الانقلاب على منحنى دالة كثيرة حدود | نجوى فيديو السؤال: إيجاد جميع نقاط الانقلاب على منحنى دالة كثيرة حدود | نجوى

فيديو السؤال: إيجاد جميع نقاط الانقلاب على منحنى دالة كثيرة حدود الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

أوجد جميع نقاط انقلاب ﺩ(ﺱ) = ﺱ^٤ − ٢ﺱ^٢ + ٥.

٠٨:١٣

نسخة الفيديو النصية

أوجد جميع نقاط انقلاب الدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ أس أربعة ناقص اثنين ﺱ تربيع زائد خمسة.

تعطينا المسألة دالة ﺩﺱ، وهي كثيرة حدود، والمطلوب منا إيجاد جميع نقاط انقلاب هذه الدالة. نتذكر أننا نسمي ﺟ نقطة انقلاب للدالة ﺩﺱ إذا كانت ﺩﺱ دالة متصلة عند ﺟ، ويتغير تقعر الدالة ﺩﺱ عند ﺟ. ويمكننا التعرف على تقعر الدالة عن طريق التحقق من إشارة مشتقتها الثانية. إذن، بما أن الدالة ﺩﺱ كثيرة حدود، يمكننا إيجاد نقاط الانقلاب بتحديد الموضع الذي تتغير فيه إشارة المشتقة الثانية. علينا إذن إيجاد تعبير للمشتقة الثانية لـ ﺩﺱ.

لفعل ذلك، علينا اشتقاق ﺩﺱ مرتين. وبما أن ﺩﺱ كثيرة حدود، فإنه يمكننا اشتقاقها حدًّا بحد باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. علينا الضرب في أس ﺱ ثم طرح واحد من هذا الأس. وهذا يعطينا ﺩ شرطة ﺱ تساوي أربعة ﺱ تكعيب ناقص أربعة ﺱ. الآن، لإيجاد تعبير لـ ﺩ شرطتين ﺱ، علينا اشتقاق ﺩ شرطة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. مرة أخرى، ﺩ شرطة ﺱ كثيرة حدود أيضًا؛ لذا يمكننا اشتقاقها حدًّا بحد باستخدام قاعدة القوة للاشتقاق. نحصل هذه المرة على ﺩ شرطتين ﺱ تساوي ١٢ﺱ تربيع ناقص أربعة. إذن، علينا استخدام كل هذه المعلومات لإيجاد جميع نقاط انقلاب الدالة ﺩﺱ.

أولًا، تذكر أن الدالة ﺩﺱ يجب أن تكون متصلة عند أي نقطة انقلاب ﺟ. والدالة ﺩﺱ كثيرة حدود؛ لذا فهي متصلة لجميع القيم الحقيقية لـ ﺱ. إذن، سنوجد نقاط الانقلاب بمجرد التحقق من الموضع الذي تتغير فيه إشارة ﺩ شرطتين ﺱ. توجد بعض الطرق المختلفة لإجراء ذلك. سنفعل ذلك برسم منحنى لـ ﺩ شرطتين ﺱ. أولًا، دعونا نحلل الدالة التربيعية. سنبدأ بإخراج العامل المشترك أربعة. وهذا يعطينا أربعة في ثلاثة ﺱ تربيع ناقص واحد. والآن نلاحظ أنه أصبح لدينا أربعة في الفرق بين مربعين.

وتذكر أنه يمكننا تحليل الفرق بين مربعين، ﺃ تربيع ناقص ﺏ تربيع، على صورة ﺃ ناقص ﺏ في ﺃ زائد ﺏ. إذن، بتحليل هذا الفرق بين مربعين حيث ﺃ يساوي جذر ثلاثة ﺱ وﺏ يساوي واحدًا، نجد أن ﺩ شرطتين ﺱ تساوي أربعة في جذر ثلاثة ﺱ ناقص واحد في جذر ثلاثة ﺱ زائد واحد. يمكننا الآن إيجاد جذري الدالة التربيعية. بمساواة كل عامل بصفر، نحصل على ﺱ يساوي واحدًا على جذر ثلاثة، أو ﺱ يساوي سالب واحد على جذر ثلاثة. ويمكننا إنطاق هذا المقام بضرب كل من البسط والمقام في جذر ثلاثة. فنحصل على واحد على جذر ثلاثة يساوي جذر ثلاثة على ثلاثة.

لدينا الآن جميع المعلومات اللازمة لرسم منحنى الدالة ﺩ شرطتين ﺱ. أولًا، إنها دالة تربيعية لها جذران وحيدان، أحدهما عند ﺱ يساوي جذر ثلاثة على ثلاثة، والآخر عند ﺱ يساوي سالب جذر ثلاثة على ثلاثة. تذكر أن ﺩ شرطتين ﺱ تساوي ١٢ﺱ تربيع ناقص أربعة. وعليه فإن الحد الرئيس له معامل موجب؛ ومن ثم فسيكون له شكل مشابه لـ ﺹ يساوي ﺱ تربيع. إذن، المنحنى ﺹ يساوي ﺩ شرطتين ﺱ عبارة عن قطع مكافئ له معامل رئيس موجب.

نريد الآن معرفة موضع تغير إشارة ﺩ شرطتين ﺱ. يمكننا ملاحظة أنه عندما يكون ﺱ أصغر من سالب جذر ثلاثة على ثلاثة، تكون ﺩ شرطتين ﺱ موجبة. وعندما يكون ﺱ أكبر قليلًا من سالب جذر ثلاثة على ثلاثة، تكون ﺩ شرطتين ﺱ سالبة. إذن، تتغير إشارة ﺩ شرطتين ﺱ عند ﺱ تساوي سالب جذر ثلاثة على ثلاثة. ومن ثم، هذه نقطة انقلاب. يمكننا أيضًا القول إن هذا يحدث عند ﺱ يساوي جذر ثلاثة على ثلاثة. عندما يكون ﺱ أكبر من جذر ثلاثة على ثلاثة، تكون الدالة ﺩ شرطتان ﺱ موجبة. لكن عندما يكون ﺱ أصغر قليلًا من جذر ثلاثة على ثلاثة، يمكننا ملاحظة أن ﺩ شرطتين ﺱ تكون سالبة. بذلك نكون قد أثبتنا أنه عندما ﺱ يساوي موجب أو سالب جذر ثلاثة على ثلاثة، تكون لدينا نقطتا انقلاب.

آخر ما علينا فعله هو إيجاد إحداثيات نقطتي الانقلاب هاتين. سنبدأ بالتعويض بـ ﺱ يساوي جذر ثلاثة على ثلاثة في تعبير الدالة ﺩﺱ. وبفعل ذلك، نحصل على جذر ثلاثة على ثلاثة أس أربعة ناقص اثنين في جذر ثلاثة على ثلاثة تربيع زائد خمسة. بتبسيط هذا التعبير، نحصل على تسع ناقص ثلثين زائد خمسة، وهو ما يمكننا حسابه لنحصل على ٤٠ مقسومًا على تسعة. بذلك نكون قد أثبتنا أن الإحداثي ﺹ لنقطة الانقلاب عند ﺱ يساوي جذر ثلاثة على ثلاثة يساوي ٤٠ مقسومًا على تسعة.

لنحدد الآن الإحداثي ﺹ لنقطة الانقلاب الأخرى. سنعوض بـ ﺱ يساوي سالب جذر ثلاثة على ثلاثة في الدالة ﺩﺱ. نحصل على سالب جذر ثلاثة على ثلاثة أس أربعة ناقص اثنين في سالب جذر ثلاثة على ثلاثة تربيع زائد خمسة. وإذا حسبنا ذلك، فسنحصل على ٤٠ مقسومًا على تسعة. وبذلك، نكون قد أثبتنا أن للدالة ﺩﺱ تساوي ﺱ أس أربعة ناقص اثنين ﺱ تربيع زائد خمسة نقطتي انقلاب، إحداهما إحداثياتها جذر ثلاثة على ثلاثة، ٤٠ على تسعة، والأخرى إحداثياتها سالب جذر ثلاثة على ثلاثة، ٤٠ على تسعة.

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في الحصص المباشرة على نجوى كلاسيز وحقق التميز الدراسي بإرشاد وتوجيه من مدرس خبير!

  • حصص تفاعلية
  • دردشة ورسائل
  • أسئلة امتحانات واقعية

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية