فيديو السؤال: إيجاد تعبير دالة بمعلومية مشتقتها الأولى وقيمة الدالة عند نقطة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد الدالة ﺩ إذا كانت المشتقة ﺩ شرطة ﺱ تساوي سالب ثلاثة ﺱ زائد واحد على الجذر التربيعي لـ ﺱ، وﺩ لواحد يساوي أربعة.

لبدء الحل، دعونا نعد كتابة ﺩ شرطة ﺱ لتصبح في صورة يسهل التعامل معها. في البداية، يمكننا إخراج العامل واحد على الجذر التربيعي لـ ﺱ. بعد ذلك، نتذكر أنه بإمكاننا كتابة الجذر التربيعي لـ ﺱ على الصورة ﺱ أس نصف. يمكننا إجراء خطوة أخرى بتذكر أن ﺱ أس قيمة سالبة؛ أي سالب ﺃ، يساوي واحدًا على ﺱ أس ﺃ.

وبالتالي، يمكننا إعادة كتابة العامل واحد على الجذر التربيعي لـ ﺱ على الصورة ﺱ أس سالب نصف. هيا نكتب ذلك في المعادلة، ونضربه في الحدين الموجودين لدينا. بالنظر إلى الحد الأول، نلاحظ أن لدينا ﺱ أس واحد مضروبًا في ﺱ أس سالب نصف.

وعليه، يمكننا تذكر أنه عند ضرب قوى لنفس المتغير ﺱ، يمكننا ببساطة جمع الأسس أو طرحها كما في هذا السؤال. ومن ثم، يصبح لدينا الحد سالب ثلاثة ﺱ أس واحد ناقص نصف؛ أي سالب ثلاثة ﺱ أس نصف. وبكتابة هذا الحد في معادلتنا مرة أخرى، يصبح لدينا ﺩ شرطة ﺱ، وهي صورة يمكن التعامل معها بشكل أفضل.

نحن الآن جاهزون لحساب تكامل ﺩ شرطة ﺱ لإيجاد الدالة ﺩﺱ. أولًا، سنزيد أس الحد الأول بمقدار واحد؛ أي من نصف إلى ثلاثة أنصاف. ثم نقسم على الأس الجديد. بعد ذلك، سنزيد أس الحد الثاني بمقدار واحد؛ أي من سالب نصف إلى نصف. ثم نقسم على الأس الجديد. وأخيرًا، تذكر أن علينا إضافة ثابت التكامل ﺙ.

دعونا نرتب معادلتنا. يمكننا هنا ملاحظة أن القسمة على ثلاثة على اثنين هو نفسه الضرب في اثنين على ثلاثة. ويمكننا بعد ذلك حذف الثلاثة الموجودة في بسط هذا الكسر ومقامه، لنحصل على سالب اثنين ﺱ أس ثلاثة على اثنين. يمكننا أيضًا ملاحظة أن القسمة على نصف هي نفسها الضرب في اثنين.

بذلك نكون قد أوجدنا معادلة ﺩﺱ. لكن بما أننا أوجدنا التكامل غير المحدد، ستظل هذه المعادلة تحتوي على ثابت التكامل ﺙ. ولإيجاد هذا الثابت، يمكننا استخدام المعطيات الواردة في السؤال؛ حيث ﺩ لواحد يساوي أربعة.

دعونا نعد كتابة ﺩ لواحد باستخدام المعادلة التي أوجدناها. ها هي المعادلة ﺩ لواحد. بما أن العدد واحد مرفوعًا لأي قوة يساوي واحدًا أيضًا، فيمكننا إجراء بعض التبسيط هنا. نلاحظ الآن أن العددين سالب اثنين وموجب اثنين قد حذف كل منهما الآخر. وبالتالي، نلاحظ أن ﺙ يساوي أربعة.

وأخيرًا، يمكننا إعادة كتابة ﺩﺱ باستخدام الثابت الذي أوجدناه للتو. إذن، الإجابة هي ﺩﺱ يساوي سالب اثنين ﺱ أس ثلاثة على اثنين زائد اثنين ﺱ أس نصف زائد أربعة. ويمكنك، إذا أردت ذلك، إعادة كتابة هذا الحد على الصورة اثنين في الجذر التربيعي لـ ﺱ ليطابق الصورة المعطاة في السؤال.