فيديو السؤال: إيجاد معادلة خط مستقيم | نجوى فيديو السؤال: إيجاد معادلة خط مستقيم | نجوى

فيديو السؤال: إيجاد معادلة خط مستقيم الرياضيات • الصف الأول الثانوي

لدينا خط مستقيم يمر بالنقطة (٨‎، ٢) ويصنع الزاوية 𝜃 مع الخط المستقيم ٦ﺱ + ٤ﺹ + ٩ = ٠، ظا 𝜃 = ١٥‏/‏١٣. ما معادلة هذا الخط المستقيم؟

١٣:١١

نسخة الفيديو النصية

لدينا خط مستقيم يمر بالنقطة ثمانية، اثنان ويصنع الزاوية 𝜃 مع الخط المستقيم ستة ﺱ زائد أربعة ﺹ زائد تسعة يساوي صفرًا، وظا 𝜃 يساوي ١٥ على ١٣. ما معادلة هذا الخط المستقيم؟

دعونا نفكر فيما نعرفه. نحن نعلم أن الخط الأول يمر بالنقطة ثمانية، اثنان. ونعلم أن معادلة الخط المستقيم الثاني هي ستة ﺱ زائد أربعة ﺹ زائد تسعة يساوي صفرًا. كما نعلم أيضًا أن هذين الخطين يتقاطعان عند الزاوية 𝜃. يمكننا هنا استرجاع شيء ما عن ظل هذه الزاوية. وهو أن ظلها يساوي القيمة المطلقة لميل الخط الأول ناقص ميل الخط الثاني على واحد زائد ميل الخط الأول في ميل الخط الثاني. حسنًا، ما الذي نعرفه بالفعل من هذه القيم؟ نحن نعرف أن ظا 𝜃 يساوي ١٥ على ١٣. ولا نعرف ميل الخط الثاني، لكن يمكننا إيجاده باستخدام المعطيات التي لدينا.

هذا يعني أنه يمكننا الحل لإيجاد ﻡ واحد، وهو ميل الخط الأول. وإذا أوجدنا الميل ﻡ واحد، ونحن لدينا نقطة معلومة بالفعل، فسيكون لدينا ميل الخط الأول ونقطة يمر بها الخط الأول، وهو ما سيتيح لنا إيجاد معادلة الخط الأول. دعونا نبدأ إذن. ‏ظا 𝜃 يساوي القيمة المطلقة لـ ﻡ واحد ناقص ﻡ اثنين على واحد زائد ﻡ واحد في ﻡ اثنين. وظا 𝜃 يساوي ١٥ على ١٣. قبل أن نعوض بأية معلومات أخرى، علينا إيجاد ميل الخط الثاني.

لكي نعزل الميل بسهولة في هذه المعادلة، يفضل إعادة كتابتها بصيغة الميل والمقطع، وهي ﺹ يساوي ﻡﺱ زائد ﺟ. وفي هذه الصيغة، ﻡ هو الميل. للوصول إلى صورة هذه الصيغة، علينا جعل ﺹ في طرف بمفرده. وهذا يعني أن علينا طرح ستة ﺱ وتسعة من طرفي المعادلة. عندما نفعل ذلك، يتبقى لدينا أربعة ﺹ يساوي سالب ستة ﺱ ناقص تسعة. لكننا نحتاج أن يكون ﺹ في طرف بمفرده تمامًا. هذا يعني أن معامله يجب أن يكون واحدًا. إذن، نقسم الطرفين على أربعة. أربعة ﺹ على أربعة يساوي ﺹ. ويصبح لدينا سالب ستة على أربعة ﺱ ويبسط إلى سالب ثلاثة على اثنين ﺱ، ناقص تسعة على أربعة. وبذلك، نجد أن ميل الخط الثاني يساوي سالب ثلاثة على اثنين. وعليه، يمكننا قول إن ﻡ اثنين يساوي سالب ثلاثة على اثنين.

حسنًا، سنعوض عن ﻡ اثنين بسالب ثلاثة على اثنين في هذه المعادلة. هنا يمكننا تبسيط البسط. حيث نكتب ﻡ واحد، ونطرح سالب ثلاثة على اثنين. نبسط ذلك ليصبح ﻡ واحد زائد ثلاثة على اثنين. والمقام لدينا سيكون واحدًا ناقص ثلاثة على اثنين في ﻡ واحد. ولأننا نتعامل مع قيمة مطلقة، فسنتعامل مع حلين مختلفين؛ وهما الحل الموجب والحل السالب. الحل الموجب هو ١٥ على ١٣ يساوي ﻡ واحد زائد ثلاثة على اثنين على واحد ناقص ثلاثة على اثنين في ﻡ واحد. والحل السالب هو سالب ١٥ على ١٣ يساوي ﻡ واحد زائد ثلاثة على اثنين على واحد ناقص ثلاثة على اثنين في ﻡ واحد.

دعونا نركز على الحل الموجب أولًا. إننا نحتاج أولًا إلى إجراء الضرب التبادلي للبسطين والمقامين، وبهذا سيكون لدينا البسط ١٥ مضروبًا في المقام واحد ناقص ثلاثة على اثنين ﻡ واحد يساوي المقام ١٣ مضروبًا في البسط ﻡ واحد زائد ثلاثة على اثنين. سنفك الأقواس بالتوزيع. ‏١٥ في واحد يساوي ١٥. ‏١٥ في سالب ثلاثة على اثنين ﻡ واحد يساوي سالب ٤٥ على اثنين ﻡ واحد، وذلك يساوي ١٣ في ﻡ واحد، أي ١٣ﻡ واحد، زائد ١٣ في ثلاثة على اثنين، أي ٣٩ على اثنين. لإيجاد قيمة ﻡ واحد، علينا وضع حدي ﻡ واحد في الطرف نفسه من المعادلة. إذن، نطرح ١٣ﻡ واحد من طرفي المعادلة. سالب ٤٥ على اثنين ﻡ واحد ناقص ١٣ﻡ واحد يساوي سالب ٧١ على اثنين ﻡ واحد.

إننا نريد أيضًا أن ننقل موجب ١٥ هذا إلى الطرف الآخر من المعادلة. ومن ثم، نطرح ١٥ من الطرفين. على اليسار، ١٥ ناقص ١٥ يساوي صفرًا، و ٣٩ على اثنين ناقص ١٥ يساوي تسعة على اثنين. وبما أن لدينا المقام اثنين في طرفي المعادلة، يمكننا ضرب الطرفين في اثنين، وهو ما يعطينا سالب ٧١ﻡ واحد يساوي تسعة. ولإيجاد قيمة ﻡ واحد، نقسم طرفي المعادلة على سالب ٧١. ونجد بذلك أن ﻡ واحد يساوي سالب تسعة على ٧١. هذا هو أحد الحلين الممكنين لميل الخط الأول. لكن بما أن لدينا معادلة تتضمن قيمة مطلقة، علينا أيضًا التفكير في الحل السالب.

للتعامل مع الحل سالب ١٥ على ١٣، يمكننا قول إن لدينا سالب ١٥ على ١٣، وسنتبع هنا أيضًا طريقة الضرب التبادلي. نضرب البسط وهو سالب ١٥، في المقام وهو واحد ناقص ثلاثة على اثنين ﻡ واحد. ثم نضرب المقام وهو ١٣، في البسط وهو ﻡ واحد زائد ثلاثة على اثنين. سنوزع أولًا سالب ١٥ على ما بين القوسين، وهذا يعطينا سالب ١٥. ثم سالب ١٥ في سالب ثلاثة على اثنين ﻡ واحد يساوي موجب ٤٥ على اثنين ﻡ واحد. ونوزع ١٣ على ﻡ واحد، وثلاثة على اثنين، وهو المقدار نفسه كما في المرة الأولى، ويساوي ١٣ﻡ واحد زائد ٣٩ على اثنين.

مرة أخرى، لإيجاد قيمة ﻡ واحد، علينا وضع حدي ﻡ واحد في الطرف نفسه من المعادلة. ومن ثم، نطرح ١٣ﻡ واحد من الطرفين. لكن انتبه هنا؛ فهذه المرة نطرح ١٣ﻡ واحد من موجب ٤٥ على اثنين ﻡ واحد، بدلًا من سالب ٤٥ على اثنين ﻡ واحد. ‏٤٥ على اثنين ناقص ١٣ يساوي ١٩ على اثنين. إذن لدينا هنا ١٩ على اثنين ﻡ واحد. هذه المرة، لدينا سالب ١٥ في الطرف الأيمن. إذن، نضيف ١٥ إلى الطرفين. سالب ١٥ زائد ١٥ يساوي صفرًا. و ٣٩ على اثنين زائد ١٥ يساوي ٦٩ على اثنين.

مرة أخرى، سنضرب المعادلة كلها في اثنين، ويتبقى لدينا ١٩ﻡ واحد يساوي ٦٩. ونقسم طرفي المعادلة على ١٩ لنجد بذلك أن ﻡ واحد يساوي ٦٩ على ١٩. حتى الآن، يمكننا قول إن ميل الخط الأول يساوي سالب تسعة على ٧١ أو ٦٩ على ١٩. لكننا نبحث عن معادلة لهذا الخط. بما أن لدينا ميل الخط الأول ونقطة يمر بها الخط الأول، يمكننا استخدام صيغة الميل ونقطة لإيجاد معادلتي هذا الخط. تنص هذه الصيغة على أن ﺹ ناقص ﺹ واحد يساوي ﻡ في ﺱ ناقص ﺱ واحد؛ حيث ﺱ واحد وﺹ واحد هما إحداثيا النقطة التي يمر بها الخط. وبالطبع ﻡ هو الميل. والنقطة لدينا هي ثمانية، اثنان. ولدينا ميلان مختلفان، ما يعني أن علينا استخدام هذه الصيغة مرتين؛ المرة الأولى يكون فيها ﻡ مساويًا لسالب تسعة على ٧١، والمرة الثانية يكون فيها ﻡ مساويًا لـ ٦٩ على ١٩.

بوجود نقطة والميل، يمكننا قول إن ﺹ ناقص اثنين يساوي سالب تسعة على ٧١ في ﺱ ناقص ثمانية. سنوزع سالب تسعة على ٧١. ونحصل بذلك على ﺹ ناقص اثنين يساوي سالب تسعة على ٧١ﺱ زائد ٧٢ على ٧١. وبعد ذلك، نضيف اثنين إلى الطرفين. ونحصل بذلك على ﺹ يساوي سالب تسعة على ٧١ﺱ زائد ٢١٤ على ٧١. هذه معادلة للخط الأول مكتوبة بصيغة الميل والمقطع. يكون من المفيد أحيانًا أن نتخلص من المقام. يمكننا إذن إعادة ترتيب هذه المعادلة. بضرب الطرفين في ٧١، يصبح لدينا ٧١ﺹ يساوي سالب تسعة ﺱ زائد ٢١٤. لقد أعطيت لنا معادلة الخط الثاني في صورة معادلة أحد طرفيها يساوي صفرًا. يمكننا إذن طرح ٧١ﺹ من الطرفين. وبذلك نحصل على المعادلة صفر يساوي سالب تسعة ﺱ ناقص ٧١ﺹ زائد ٢١٤.

وفي هذه الحالة، يكون معاملا ﺱ وﺹ قيمتين سالبتين. إذا لم نكن نريد ذلك، يمكننا إعادة ترتيب المعادلة بضرب طرفيها في سالب واحد ما يجعلنا نحصل على موجب تسعة ﺱ زائد ٧١ﺹ ناقص ٢١٤. جميع هذه الصور الأربع هي طرق صحيحة للتعبير عن معادلة هذا الخط. لن تحتاج إلى استخدام كل هذه الصور الأربع، لكن من المفيد معرفة كيفية إعادة ترتيبها لإيجاد صور مكافئة لمعادلة الخط نفسه. سنجري هذه العملية مرة أخرى باستخدام الميل ٦٩ على ١٩. باستخدام صيغة الميل ونقطة، يصبح لدينا ﺹ ناقص اثنين يساوي ٦٩ على ١٩ في ﺱ ناقص ثمانية. سنوزع ٦٩ على ١٩، ما يجعلنا نحصل على ﺹ ناقص اثنين يساوي ٦٩ على ١٩ﺱ ناقص ٥٥٢ على ١٩. ثم نضيف اثنين إلى الطرفين. فيصبح لدينا ﺹ يساوي ٦٩ على ١٩ﺱ ناقص ٥١٤ على ١٩.

هذه معادلة أخرى للخط الأول بصيغة الميل والمقطع. إذا ضربنا هذه المعادلة كلها في ١٩، فسنحصل على المعادلة المكافئة ١٩ﺹ يساوي ٦٩ﺱ ناقص ٥١٤. وإذا طرحنا ١٩ﺹ من الطرفين، فسنحصل على المعادلة المكافئة صفر يساوي ٦٩ﺱ ناقص ١٩ﺹ ناقص ٥١٤. إذا ضربنا هذه المعادلة في سالب واحد، فسنحصل على صفر يساوي سالب ٦٩ﺱ زائد ١٩ﺹ زائد ٥١٤. ما تخبرنا به هذه المعلومات هو أن لدينا خطين يمران بالنقطة ثمانية، اثنان، ويصنعان زاوية لها ظا 𝜃 يساوي ١٥ على ١٣ مع الخط ستة ﺱ زائد أربعة ﺹ زائد تسعة يساوي صفرًا. علينا إذن اختيار معادلة واحدة من كل من هذين العمودين لتكون لدينا معادلتان للخطين المستقيمين اللذين يحققان هذا الشرط.

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في الحصص المباشرة على نجوى كلاسيز وحقق التميز الدراسي بإرشاد وتوجيه من مدرس خبير!

  • حصص تفاعلية
  • دردشة ورسائل
  • أسئلة امتحانات واقعية

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية