فيديو السؤال: إيجاد مساحة منطقة محددة بدالة تربيعية ودالة قيمة مطلقة | نجوى فيديو السؤال: إيجاد مساحة منطقة محددة بدالة تربيعية ودالة قيمة مطلقة | نجوى

فيديو السؤال: إيجاد مساحة منطقة محددة بدالة تربيعية ودالة قيمة مطلقة الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

أوجد مساحة المنطقة المحددة بالدالتين ﺹ = ٢ − |ﺱ|، ﺹ = ﺱ^٤.

٠٩:٢٦

نسخة الفيديو النصية

أوجد مساحة المنطقة المحددة بالدالتين ﺹ يساوي اثنين ناقص القيمة المطلقة لـ ﺱ، وﺹ يساوي ﺱ أس أربعة.

في هذا السؤال، مطلوب منا إيجاد مساحة المنطقة المحددة بمنحنيي دالتين معطيين. ‏ﺹ يساوي اثنين ناقص القيمة المطلقة لـ ﺱ، وﺹ يساوي ﺱ أس أربعة. وعندما يطلب منا إيجاد مساحة منطقة محددة بمنحنيي دالتين معطيين، فسيساعدنا كثيرًا تمثيل المعطيات بيانيًّا. لذا، سنبدأ برسم المنحنى ﺹ يساوي اثنين ناقص القيمة المطلقة لـ ﺱ.

تتمثل أبسط طريقة لرسم هذا المنحنى في ملاحظة أنه يتضمن مجموعة من التحويلات الهندسية التي أجريت على القيمة المطلقة للمنحنى ﺹ يساوي القيمة المطلقة لـ ﺱ. أولًا، ﺹ يساوي سالب القيمة المطلقة لـ ﺱ هو انعكاس حول المحور ﺱ. يمكننا بعد ذلك تحويل هذا المنحنى إلى ﺹ يساوي اثنين ناقص القيمة المطلقة لـ ﺱ بتحريك المنحنى وحدتين رأسيًّا إلى أعلى. وهذا سيعطينا منحنى يبدو هكذا تقريبًا. ومع أن ذلك ليس ضروريًّا، فيمكننا إيجاد الجزء المقطوع من المحور ﺹ بالتعويض بـ ﺱ يساوي صفرًا في الدالة. أو يمكننا إيجاد قيم الأجزاء المقطوعة من المحور ﺱ من خلال إيجاد الحل عند مساواة الدالة بصفر. ولكن، كما سنرى، فإن هذه الخطوة ليست ضرورية لحل هذا السؤال.

والآن، علينا أن نرسم على محور الإحداثيات نفسه المنحنى ﺹ يساوي ﺱ أس أربعة. في هذه الحالة، المنحنى ﺹ يساوي ﺱ أس أربعة يشبه كثيرًا المنحنى ﺹ يساوي ﺱ تربيع. يمكننا الآن أن نحدد على الشكل المنطقة المطلوب منا إيجاد مساحتها. ويمكننا ملاحظة أن هذه المنطقة محددة من الأعلى بالمنحنى ﺹ يساوي اثنين ناقص القيمة المطلقة لـ ﺱ، ومن الأسفل بالمنحنى ﺹ يساوي ﺱ أس أربعة. يمكننا بعد ذلك استرجاع إحدى خواص التكامل التي ستساعدنا في إيجاد مساحة هذه المنطقة.

لعلنا نتذكر أنه إذا كانت لدينا الدالتان د ﺱ ور ﺱ، حيث د ﺱ أكبر من أو تساوي ر ﺱ على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ، فإن المساحة المحددة بالمنحنيين ﺹ يساوي د ﺱ وﺹ يساوي ر ﺱ، والخطين الرأسيين ﺱ يساوي ﺃ وﺱ يساوي ﺏ، تعطى بالتكامل المحدد من ﺃ إلى ﺏ للدالة د ﺱ ناقص ر ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وتجدر الإشارة إلى أن هذا ينطبق فقط بشرط أن تكون الدالتان د ور قابلتان للتكامل على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ. ويمكننا إثبات أن ذلك ينطبق في هذه الحالة. أولًا، سنستخدم قيمتي ﺃ وﺏ كإحداثيي المحور ﺱ لنقطتي التقاطع بين المنحنيين. بعد ذلك، نعلم أن اثنين ناقص القيمة المطلقة لـ ﺱ، على هذه الفترة، أكبر من أو يساوي ﺱ أس أربعة.

وأخيرًا، نعلم أن هاتين الدالتين قابلتان للتكامل على هذه الفترة، لأن كلتيهما متصلتان لجميع قيم ﺱ الحقيقية. ومن ثم، يمكننا استخدام ذلك لإيجاد المساحة المعطاة. كل ما علينا فعله هو إيجاد قيمتي ﺃ وﺏ. لإيجاد إحداثيي ﺱ لنقطتي تقاطع منحنيي الدالتين، علينا أن نساوي بين هاتين الدالتين ثم نوجد قيمة ﺱ. وعلينا حل المعادلة اثنان ناقص القيمة المطلقة لـ ﺱ يساوي ﺱ أس أربعة. سنفعل ذلك بإعادة ترتيب المعادلة أولًا لجعل القيمة المطلقة لـ ﺱ في طرف مستقل. وسنحصل على اثنان ناقص ﺱ أس أربعة يساوي القيمة المطلقة لـ ﺱ.

والآن نحصل على قيمتين محتملتين بناء على إذا ما كانت قيمة ﺱ موجبة أم سالبة. إذا كانت قيمة ﺱ موجبة، فسنحصل على اثنين ناقصﺱ أس أربعة يساوي ﺱ. وإذا كانت قيمة ﺱ سالبة، فسنحصل على اثنين ناقص ﺱ أس أربعة يساوي سالب ﺱ. وكلتا المعادلتين كثيرتا الحدود من الدرجة الرابعة. لذا يصعب حلهما باستخدام الطرق القياسية. لكن من المفيد هنا محاولة التعويض بقيم صحيحة صغيرة لـ ﺱ لنرى إذا ما كان يمكننا إيجاد حل. لنبدأ بالتعويض بـ ﺱ يساوي واحدًا. تذكر أنه عندما تكون قيمة ﺱ موجبة، علينا استخدام المعادلة التي على اليمين. بالتعويض عن ﺱ بواحد، نحصل على اثنان ناقص واحد أس أربعة يساوي واحدًا. وبما أن هذه المعادلة قد تحققت، فإن ﺱ يساوي واحدًا هو حل لهذه المعادلة. وهذا تحديدًا يساوي أحد إحداثيي ﺱ لنقطتي التقاطع بين المنحنيين.

وبما أن قيمة ﺏ موجبة وﺃ سالبة، فقد أثبتنا أن ﺏ يساوي واحدًا. والآن يمكننا إيجاد ﺃ بطريقتين مختلفتين. أولًا، المنحنيان ﺹ يساوي ﺱ أس أربعة، وﺹ يساوي اثنين ناقص القيمة المطلقة لـ ﺱ، متماثلان حول المحور ﺹ. من ثم، فإن نقطتي التقاطع سينعكسان حول المحور ﺹ. وستقع نقطة التقاطع عند ﺱ يساوي سالب واحد. ويمكننا التحقق من ذلك أيضًا بالتعويض بـ ﺱ يساوي سالب واحد في المعادلة الثانية. بالتعويض بسالب واحد في الطرف الأيمن من المعادلة، نحصل على اثنين ناقص سالب واحد أس أربعة. وبحساب قيمة ذلك، نجد أنه يساوي واحدًا، ونلاحظ أن هذا يساوي الطرف الأيسر من المعادلة عندما نعوض عن ﺱ بسالب واحد.

وبذلك، نكون قد أثبتنا أن مساحة الجزء المظلل تساوي التكامل المحدد من سالب واحد إلى واحد لاثنين ناقص القيمة المطلقة لـ ﺱ ناقص ﺱ أس أربعة بالنسبة إلى ﺱ. والآن لدينا بعض الطرق المختلفة لإيجاد قيمة هذا التكامل. على سبيل المثال، يمكن كتابة الدالة التي سيجري عليها التكامل على صورة دالة متعددة التعريف. لكن في هذه الحالة، سنقسم التكامل على الدالتين د ﺱ ور ﺱ كلًّا على حدة. أولًا، باستخدام خصائص التكامل، يمكننا إعادة كتابة ذلك على صورة التكامل من سالب واحد إلى واحد لاثنين ناقص القيمة المطلقة لـ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ ناقص التكامل من سالب واحد إلى واحد لـ ﺱ أس أربعة بالنسبة إلى ﺱ.

يمثل كل من هذين التكاملين المساحة المحددة أسفل منحنى الدالة بين سالب واحد وواحد، مع أنه يمكننا أن نلاحظ في الشكل أن منحنيي هاتين الدالتين يقعان أعلى المحور ﺱ على هذه الفترة. يمكننا استخدام هذا الشكل لإيجاد المساحة أسفل المنحنى ﺹ يساوي اثنين ناقص القيمة المطلقة لـ ﺱ بين سالب واحد وواحد. ولنتمكن من فعل ذلك، سنرسم هذا المنحنى مجددًا. نريد إيجاد مساحة المنطقة بين ﺱ يساوي سالب واحد وواحدًا. ويمكننا فعل ذلك بتقسيم المنطقة إلى جزأين؛ مستطيل ومثلث. يمكننا بعد ذلك إيجاد مساحة المستطيل. عرض المستطيل يساوي اثنين وارتفاعه يساوي واحدًا، لذا فإن مساحته تساوي اثنين.

علينا بعد ذلك إيجاد مساحة المثلث. وإحدى طرق فعل ذلك هي ملاحظة أن طول الجزء المقطوع من المحورﺹ للمنحنى يساوي اثنين. إذن ارتفاع المثلث يساوي واحدًا، وطول قاعدته يساوي اثنين. وعليه، فإن مساحة هذا المثلث تساوي نصف طول القاعدة في ارتفاعه العمودي، أي نصفًا في اثنين في واحد. وبإضافة مساحة المستطيل إلى هذه القيمة، نكون قد أوجدنا قيمة التكامل المحدد من سالب واحد إلى واحد لاثنين ناقص القيمة المطلقة لـ ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.

لكن لا يمكننا فعل الشيء نفسه مع التكامل الثاني. لذا بدلًا من ذلك، علينا استخدام قاعدة القوة للتكامل. ونتذكر أن هذه القاعدة تفيد بأنه يمكننا إيجاد قيمة هذا التكامل بإضافة واحد إلى الأس ﺱ ثم القسمة على هذا الأس الجديد. ويصبح لدينا ﺱ أس خمسة على خمسة عند حدي التكامل، ﺱ يساوي سالب واحد وﺱ يساوي واحدًا.

يمكننا الآن البدء بإيجاد القيمة. أولًا، نصف في اثنين في واحد يساوي واحدًا، واثنان زائد واحد يساوي ثلاثة. علينا بعد ذلك حساب المشتقة العكسية لـ ﺱ أس خمسة على خمسة عند حدي التكامل. فنحصل على واحد أس خمسة على خمسة ناقص سالب واحد أس خمسة على خمسة. ومن ثم، فإن مساحة المنطقة المظللة تساوي ثلاثة ناقص واحد أس خمسة على خمسة ناقص سالب واحد أس خمسة على خمسة. والآن كل ما علينا فعله هو إيجاد قيمة هذا المقدار. واحد أس خمسة ناقص سالب واحد أس خمسة يساوي اثنين أس خمسة. لذا، نحصل على ثلاثة ناقص اثنين أس خمسة، وهو ما يساوي ١٣ على خمسة.

ويمكننا أن نترك الحل على هذه الصورة. لكننا سنكتبه على صورة عدد كسري، وهو اثنان وثلاثة أخماس. وبما أن هذه القيمة تمثل المساحة، فيمكننا إضافة وحدة مربعة. ولكن هذا ليس ضروريًّا. وبذلك، نكون قد أثبتنا أن مساحة المنطقة المحددة بين الدالتين ﺹ يساوي اثنين ناقص القيمة المطلقة لـ ﺱ، وﺹ يساوي ﺱ أس أربعة هي اثنان وثلاثة أخماس.

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في الحصص المباشرة على نجوى كلاسيز وحقق التميز الدراسي بإرشاد وتوجيه من مدرس خبير!

  • حصص تفاعلية
  • دردشة ورسائل
  • أسئلة امتحانات واقعية

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية