نسخة الفيديو النصية
أثرت القوة الثابتة 𝐅 تساوي واحد 𝐢 زائد أربعة 𝐣 نيوتن على جسم، فأدى ذلك إلى تحركه. بعد مرور فترة زمنية، أصبحت إزاحة الجسم من موضعه الابتدائي 𝐝 تساوي خمسة 𝐢 زائد اثنين 𝐣 متر. احسب حاصل الضرب القياسي لـ 𝐅 في 𝐝.
لدينا جسم وقوة ثابتة تؤثر على هذا الجسم، وتنتج عن ذلك إزاحة. متجها القوة والإزاحة معطيان لنا بدلالة مركبتيهما. عبارة «بدلالة مركبتيهما» تعني أنه بالنسبة لمتجه في فضاء ثنائي الأبعاد، فإنه يعرف بمركبتي 𝑥 و𝑦 له. بالنسبة للمتجه العام 𝐀، يمكننا كتابته في صورة مقدار مركبة 𝑥 له؛ وهو 𝐴𝑥، مضروبًا في متجه الوحدة في اتجاه المحور 𝑥؛ وهو 𝐢، زائد مقدار مركبة 𝑦 له؛ وهو 𝐴𝑦، مضروبًا في متجه الوحدة في اتجاه المحور 𝑦؛ وهو 𝐣.
إذا فعلنا الشيء نفسه مع المتجه العام الآخر 𝐁، فإنه يمكننا تعريف حاصل الضرب القياسي لهذين المتجهين على النحو الآتي. حاصل الضرب القياسي لمتجهين يساوي حاصل ضرب مركبتي 𝑥 لهذين المتجهين زائد حاصل ضرب مركبتي 𝑦 لهما. بالنسبة لمتجه القوة 𝐅، مركبة 𝑥 تساوي واحدًا نيوتن، ومركبة 𝑦 تساوي أربعة نيوتن. بالنسبة لمتجه الإزاحة 𝐝، مركبة 𝑥 تساوي خمسة أمتار، ومركبة 𝑦 تساوي مترين. يمكننا أن نرسم هذين المتجهين في صورة سهمين لنفهم ما يحدث.
لنتخيل أن لدينا جسمًا ممثلًا بهذه النقطة الزرقاء. متجه القوة يشغل وحدة واحدة في اتجاه المحور 𝑥، وأربع وحدات في اتجاه المحور 𝑦. ومتجه الإزاحة يشغل خمس وحدات في اتجاه المحور 𝑥، ووحدتين في اتجاه المحور 𝑦. لاحظ أنه بما أن القوة والإزاحة لهما وحدتان مختلفتان، وهما النيوتن والمتر على الترتيب، فإن هذين السهمين ليس لهما مقياس الرسم نفسه. فهذا الشكل يمنحنا تصورًا لاتجاهيهما فقط.
حسنًا، لنرجع إلى السؤال ونحسب حاصل الضرب القياسي لـ 𝐅 في 𝐝. لدينا حاصل ضرب مركبتي 𝑥؛ وهو واحد في خمسة، زائد حاصل ضرب مركبتي 𝑦؛ وهو أربعة في اثنين. إذن حاصل الضرب القياسي لـ 𝐅 في 𝐝 يساوي واحدًا مضروبًا في خمسة زائد أربعة مضروبًا في اثنين.
علينا أيضًا الانتباه إلى الوحدات الموجودة هنا. بما أن وحدة قياس القوة هي النيوتن، ووحدة قياس الإزاحة هي المتر، فإن حاصل الضرب القياسي لـ 𝐅 في 𝐝 لا بد من أن يكون بوحدة النيوتن متر. وإذا شئنا، يمكننا كتابة ذلك بوحدة مماثلة، وهي الجول؛ وحدة قياس الطاقة.
عند إجراء العمليات الحسابية، نجد أن حاصل ضرب مركبتي 𝑥 يساوي خمسة، وحاصل ضرب مركبتي 𝑦 يساوي ثمانية. مجموع خمسة وثمانية يساوي 13. وبذلك تكون إجابة السؤال هي أن حاصل الضرب القياسي لـ 𝐅 في 𝐝 يساوي 13 نيوتن متر، وهو ما يساوي 13 جول.
