فيديو: إيجاد مجموعة حل المعادلات اللوغاريتمية في مجموعة الأعداد الحقيقية

أوجد مجموعة حل المعادلة ‪log₈ (𝑥 − 6) + log₈ (𝑥 + 6) = log₈ 64‬‏ في ‪ℝ‬‏.

٠٢:٣٠

‏نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة حل المعادلة لوغاريتم 𝑥 ناقص ستة للأساس ثمانية زائد لوغاريتم 𝑥 زائد ستة للأساس ثمانية يساوي لوغاريتم 64 للأساس ثمانية في مجموعة الأعداد الحقيقية.

لكي نتمكن من البدء في حل هذه المسألة وحل المعادلة، كل ما علينا فعله هو تطبيق أحد قوانين اللوغاريتمات. وقانون اللوغاريتمات الذي سنستخدمه هنا هو أن لوغاريتم 𝑚𝑛 للأساس 𝑎، أي إن 𝑚 في 𝑛، يساوي لوغاريتم 𝑚 للأساس 𝑎 زائد لوغاريتم 𝑛 للأساس 𝑎.

وعليه، إذا نظرنا إلى المعادلة مرة أخرى، فيمكننا أن نرى بالفعل أن جميع اللوغاريتمات لها الأساس نفسه، وهو ثمانية. وذلك يماثل الأساس 𝑎 المذكور في قانون اللوغاريتمات الذي سنستخدمه. لذا، يمكننا أن نقول إن لوغاريتم 𝑥 ناقص ستة للأساس ثمانية زائد لوغاريتم 𝑥 زائد ستة للأساس ثمانية يساوي لوغاريتم 64 للأساس ثمانية يساوي 𝑥 ناقص ستة في 𝑥 زائد ستة يساوي 64. وذلك لأننا إذا نظرنا في قانون اللوغاريتمات الذي نستخدمه، فيمكننا أن نرى أن 𝑥 ناقص ستة يماثل 𝑚. وكذلك فإن 𝑥 زائد ستة يماثل 𝑛. وإذا ضربناهما معًا، فسنحصل على 64 والذي يماثل 𝑚𝑛.

والآن يمكننا أن نحل هذه المعادلة. وأول ما علينا فعله هو فك الأقواس. وبهذا، نحصل على 𝑥 تربيع زائد ستة 𝑥 ناقص ستة 𝑥 ناقص 36 يساوي 64. ويمكننا بعد ذلك أن نجمع الحدود.

ومن الأمور المهمة التي يجب أن نلاحظها هي حقيقة أن هذين القوسين، هما في الواقع عبارة عن فرق بين مربعين. وهذا يعني أن حدي 𝑥 سيلغي أحدهما الآخر. وبهذا نحصل على 𝑥 تربيع ناقص 36. وهو ما يساوي 64.

ومرة أخرى، نقول إن أحدهما سيلغي الآخر. وذلك لأنه إذا كان لدينا زائد ستة 𝑥 وناقص ستة 𝑥، فهذا يساوي صفرًا. حسنًا، والآن إلى الخطوة التالية. حسنًا، في خطوتنا التالية سنضيف 36. وبهذا نحصل على 𝑥 تربيع يساوي 100. وإذا حسبنا الجذر التربيعي لكل طرف، فإننا نحصل على 𝑥 يساوي 10. ومن ثم، يمكننا أن نقول إن مجموعة الحل للمعادلة لوغاريتم 𝑥 ناقص ستة للأساس ثمانية زائد لوغاريتم 𝑥 زائد ستة للأساس ثمانية يساوي لوغاريتم 64 للأساس ثمانية، هي 10.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.