نسخة الفيديو النصية
أوجد المجموعة التي تكون د ﺱ تساوي سالب أربعة في ﺱ أس سالب ثلاثة زائد ١٠ مقسومًا على ﺱ تربيع زائد تسعة متصلة عليها. الخيار (أ) الدالة د متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية. الخيار (ب) الدالة د متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا صفرًا وثلاثة. الخيار (ج) الدالة د متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا سالب ثلاثة. الخيار (د) الدالة د متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا الصفر. أو الخيار (هـ) الدالة د متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا صفرًا وسالب ثلاثة.
في هذا السؤال، لدينا تعريف صريح للدالة د ﺱ. وعلينا استخدامه لإيجاد المجموعة التي تكون الدالة د ﺱ متصلة عليها. ولدينا خمسة خيارات ممكنة. وتوجد عدة طرق مختلفة يمكننا بها حل هذه المسألة. ما سنفعله هو أننا سنحاول إيجاد جميع قيم ﺱ التي تكون الدالة د متصلة عليها.
ولفعل ذلك، دعونا نلق نظرة عن قرب على الدالة د ﺱ. أولًا، نلاحظ أنها مجموع دالتين. ونتذكر أنه إذا كانت دالتان متصلتين، فإن مجموعهما يكون متصلًا أيضًا. ومن ثم، يمكننا التعامل مع كل دالة منهما على حدة. وهذا مفيد جدًّا؛ لأنه يمكننا التعامل مع كل جزء من هذين الجزأين على حدة، ويمكننا ملاحظة أن هاتين الدالتين كسريتان.
تذكر أن الدالة الكسرية هي خارج قسمة دالتين كثيرتي حدود. ولكي نرى ذلك، قد يكون من الأسهل إعادة كتابة سالب أربعة في ﺱ أس سالب ثلاثة باستخدام قوانين الأسس. فهذا يساوي سالب أربعة على ﺱ تكعيب. وبما أننا نحاول إيجاد اتصال الدوال الكسرية، يمكننا استخدام أي شيء نعرفه عن اتصال الدوال الكسرية لمساعدتنا.
المعلومة الأولى التي سنحتاج إلى استخدامها هي ما يلي. جميع الدوال الكسرية متصلة على مجالها بالكامل. وتذكر أن مجال الدالة هو كل قيم ﺱ التي تكون الدالة معرفة عندها. ومن ثم، فكل هذا يخبرنا أن الدوال الكسرية تكون متصلة على كل مكان تكون معرفة فيه. لكننا في الواقع، نعرف ناتجًا مفيدًا للغاية بشأن مجال الدوال الكسرية. نتذكر أن الدوال الكسرية ستكون معرفة لجميع قيم ﺱ، إلا إذا كان مقامها يساوي صفرًا. وهذا لأن الدوال الكسرية هي خارج قسمة دالتين كثيرتي حدود. ونعرف أن جميع الدوال كثيرات الحدود معرفة لجميع القيم الحقيقية لـ ﺱ.
إذن، الطريقة الوحيدة التي لا يمكن من خلالها تعريف الدالة الكسرية هي عندما نقسم على صفر. بعبارة أخرى، يجب أن يساوي المقام صفرًا. وبدمج هاتين الحقيقتين، نحصل على نتيجة مفيدة للغاية بشأن الدوال الكسرية. تكون الدوال الكسرية متصلة في كل مكان إلا عندما يكون مقامها يساوي صفرًا. ويمكننا تطبيق هذا على كل من الدالتين الكسريتين في د ﺱ على حدة. هيا نبدأ بالدالة الأولى، التي مقامها ﺱ تكعيب.
وباستخدام النتيجتين، تكون هذه الدالة متصلة على جميع قيم ﺱ إلا عندما يكون مقامها يساوي صفرًا. بالطبع، بما أن ﺱ تكعيب يساوي صفرًا؛ فهذا يعني أن ﺱ لا بد أن يساوي صفرًا. وبذلك، نكون قد أثبتنا أن سالب أربعة على ﺱ تكعيب متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية ما عدا الصفر.
يمكننا فعل الأمر نفسه بالضبط مع الدالة الكسرية الثانية. مرة أخرى، بتطبيق القاعدتين، علينا أن نعرف متى يساوي مقام هذه الدالة الكسرية صفرًا. علينا حل ﺱ تربيع زائد تسعة يساوي صفرًا. لكن، يمكننا إثبات أن هذه الدالة ليس لها جذور حقيقية. على سبيل المثال، مميز هذه الدالة التربيعية سالب.
ولكن، يمكننا أيضًا استخدام حقيقة أن ﺱ تربيع سيكون أكبر من أو يساوي صفرًا لجميع قيم ﺱ الحقيقية. ثم نضيف تسعة. وهذا سيكون موجبًا عند أي قيمة لـ ﺱ. ومن ثم، لا يمكن أن يساوي صفرًا. وبهذا، إذا كان مقام هذه الدالة الكسرية لا يساوي صفرًا أبدًا، فستكون معرفة لجميع القيم الحقيقية لـ ﺱ. ومن ثم، ١٠ مقسومًا على ﺱ تربيع زائد تسعة يجب أن تكون متصلة على جميع القيم الحقيقية لـ ﺱ.
والآن، يمكننا التحدث عن اتصال د ﺱ؛ حيث إنه مجموع هاتين الدالتين الكسريتين. تذكر أن مجموع دالتين متصلتين هو نفسه متصل. وباستخدام هذه الطريقة، أثبتنا أن د ﺱ متصلة على مجموعة الأعداد الحقيقية كلها، إلا عند ﺱ يساوي صفرًا. ولكي نكون متأكدين تمامًا، ربما نتساءل ماذا يحدث عندما يكون ﺱ يساوي صفرًا في الدالة د ﺱ.
حسنًا، إذا عوضنا عن ﺱ بصفر في الدالة د ﺱ، فسنجد أننا نقسم على صفر. ومن ثم، فإن قيمة د عند صفر غير معرفة. ونحن نعرف أن الدالة لا يمكن أن تكون متصلة عند قيمة ﺱ إذا كانت الدالة غير معرفة عند قيمة ﺱ هذه.
إذن، تمكنا من إيجاد أن الدالة د ﺱ متصلة على جميع القيم الحقيقية، إلا عندما يكون ﺱ يساوي صفرًا. وهذا هو الخيار (د).
