فيديو: قيم الدوال المثلثية للزوايا

سوزان فائق

يوضِح الفيديو إيجاد قيم الدوال المثلثية للزوايا التي تزيد عن تسعين درجة وتقل عن صفر درجة، وتعريف الزوايا الربعية، وإيجاد قيم الدوال المثلثية لها.

١٠:١٥

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلم في الفيديو ده عن الدوال المثلثية للزوايا اللي بتزيد عن تسعين درجة، أو تقل عن صفر درجة. هنشوف إزاي هنوجد قِيَم الزوايا المثلثية للزوايا دي.

إذا كانت الزاوية 𝜃 مرسومة في الوضع القياسي؛ يعني ضلع البداية منطبق على الجزء الموجب لمحور السينات. والنقطة أ إحداثياتها س وَ ص على ضلع النهاية للزاوية، اللي هو بيكون لنا الزاوية 𝜃. فإن إحنا بنقدر نجيب قيمة الدوال المثلثية الستة اللي هم الـ جا والـ جتا والـ ظا والـ قتا والـ قا والـ ظتا للزاوية. بإن إحنا نستخدم نظرية فيثاغورس. وعندنا هنا بنعرّف المسافة اللي ما بين نقطة الأصل والنقطة أ بنسميها ل. المسافة دي هنسميها ل. وعندنا هنا القيمة دي س. ودي ص. يبقى س تربيع زائد ص تربيع هتساوي ل تربيع. يبقى قيمة الـ ل لما هنجيب الجذر التربيعي لِـ س تربيع زائد ص تربيع.

فهتكون الدوال المثلثية الستة اللي عندنا: جا 𝜃 هتساوي الـ ص على الـ ل. الـ ص على الـ ل. والـ جتا 𝜃 هتساوي الـ س على الـ ل. والـ ظا 𝜃 هتساوي الـ ص على الـ س. بس الـ س لا تساوي صفر. الـ قتا 𝜃 هتساوي الـ ل على الـ ص، اللي هو مقلوب الـ جا، والـ ص لا تساوي صفر. والـ قا 𝜃 هتساوي الـ ل على الـ س، اللي هو مقلوب الـ جتا، والـ س لا تساوي صفر. والـ ظتا 𝜃 هتساوي الـ س على الـ ص، والـ ص لا تساوي صفر.

يبقى لو عندنا القيم بتاعة المسافات الـ س والـ ص والـ ل، نقدر نجيب الدوال المثلثية الستة للزاوية 𝜃. نقلب الصفحة وناخد مثال.

إذا كان ضلع النهاية للزاوية 𝜃 المرسومة في الوضع القياسي يمرّ بالنقطة سالب تلاتة وسالب أربعة. فأوجد قيم الدوال المثلثية الست للزاوية 𝜃.

أول خطوة عندنا هنرسم الزاوية 𝜃 ونوجد قيمة ل، اللي هي المسافة ما بين نقطة الأصل والنقطة أ. رسمنا ضلع النهاية للزاوية يمُرّ بالنقطة سالب تلاتة وسالب أربعة. وضلع البداية منطبِق على السينات مكوِّنين الزاوية 𝜃. يبقى كده قيمة السينات سالب تلاتة. والصادات سالب أربعة. يبقى قيمة الـ ل هتساوي الجذر التربيعي للـ س تربيع زائد الـ ص تربيع، اللي هي هتساوي جذر تسعة زائد ستاشر، تساوي جذر خمسة وعشرين، اللي هو يساوي خمسة. يبقى الـ ل هتساوي خمسة. تاني خطوة عندنا في الحل نستخدم قيمة ل، اللي جبنا قيمتها، والـ س والـ ص اللي همّ السالب تلاتة والسالب أربعة؛ لإيجاد قيم الدوال المثلثية الستة.

أول واحدة اللي هي جا 𝜃 هتساوي سالب أربعة على خمسة. جتا 𝜃 هتساوي سالب تلاتة على خمسة. ظا 𝜃 هتساوي السالب أربعة على سالب تلاتة؛ يعني تساوي أربعة على تلاتة. قتا 𝜃 هتساوي الـ ل على الـ ص؛ يعني الخمسة على السالب أربعة. والـ قا 𝜃 هتساوي خمسة على سالب تلاتة. وَ ظتا 𝜃 هتساوي سالب تلاتة على سالب أربعة، اللي هي هتساوي تلاتة على أربعة.

يبقى كده قِيَم الدوال المثلثية جا 𝜃 هتساوي سالب أربعة على خمسة. جتا 𝜃 هتساوي سالب تلاتة على خمسة. ظا 𝜃 هتساوي أربعة على تلاتة. والمقلوب قتا 𝜃 هيساوي سالب خمسة على أربعة. وَ قا 𝜃 تساوي سالب تلاتة على خمسة. والـ ظتا 𝜃 هتساوي تلاتة على أربعة.

دي القوانين اللي بنستخدمها لإيجاد الزوايا. بس عندنا فيها شروط. في الـ ظا 𝜃 لما بنجيبها بنقول إن الـ س لا تساوي صفر. طيب لو حصل والـ س ساوت صفر معنى كده إن القيم هتبقى … الزاوية ضلع النهاية بتاعها على محور الصادات. وفي القوانين التانية لو الـ س أو الـ ص المفروض إنها لا تساوي صفر. يبقى معنى كده إن إحنا هننطبق بضلع النهاية على محور السينات أو محور الصادات. طب يبقى إزاي هنجيب قيم الزوايا اللي فيها قيم السينات والصادات ممكن تساوي صفر. دي بنسميها الزوايا الرُّبعية. نقلب الصفحة ونتكلم عنها.

الزوايا الرُّبعية هي الزوايا المرسومة في الوضع القياسي، وبيقع ضلع النهاية على محور السينات أو محور الصادات. وهي مضاعفات الزاوية تسعين درجة. أو بالقياس الدائري 𝜋 على اتنين. دي أشكال الزوايا الرُّبعية.

الحالة الأولانية لما بيكون ضلع النهاية منطبق على ضلع البداية للزاوية 𝜃. وده بيكون الزاوية قيمتها صفر درجة، أو مقابل لها بالقياس الدائري صفر راديان.

تاني حالة لما بيكون ضلع النهاية منطبق على الجزء الموجب لمحور الصادات. فبتبقى الزاوية تساوي تسعين درجة، أو بالقياس الدائري 𝜋 عَ الاتنين.

الحالة التالتة لما بيكون منطبق على الجزء السالب لمحور السينات، بتبقى الزاوية مية وتمانين درجة، وبيبقى القياس الدائري 𝜋 راديان.

الحالة الرابعة لما بيكون الزاوية تساوي ميتين وسبعين درجة، وبيكون القياس الدائري لها تلاتة 𝜋 على الاتنين. وده بيبقى ضلع النهاية منطبق على الجزء السالب لمحور الصادات.

نقلب الصفحة وناخد مثال إزاي هنعرف نجيب قيم الدوال المثلثية للزوايا الرُّبعية.

إذا كان ضلع النهاية للزاوية 𝜃 المرسومة في الوضع القياسي يمُرّ بالنقطة صفر وستة. فاوجد قيم الدوال المثلثية الست للزاوية 𝜃.

طالما النقطة عندنا صفر وستة؛ يعني الـ س هتساوي صفر، والـ ص هتساوي ستة. يبقى الـ ل كمان قيمتها ستة. وفيه قيمة صفر في الإحداثي. يبقى معنى كده إن ضلع النهاية منطبق على محور من المحاور. وهنا هينطبق على المحور الصادات الجزء الموجب له. يبقى دي زاوية رُبعية. يبقى أول حاجة هنرسم ضلع البداية. طالما الزاوية في الوضع القياسي، يبقى ضلع البداية هينطبق على الجزء الموجب لمحور السينات. هنجيب ضلع النهاية بإن إحنا هنشوف النقطة صفر وستة. وهنرسم ضلع النهاية، هيبقى منطبق على الجزء الموجب لمحور الصادات. ويبقى دي الزاوية 𝜃 اللي هي هتساوي تسعين درجة.

تاني خطوة عندنا هنوجد قيم الدوال المثلثية للزاوية الرُّبعية، اللي هي قيمتها تسعين درجة. قيم الزوايا المثلثية للزاوية الرُّبعية اللي هي تساوي تسعين درجة للزاوية 𝜃 اللي عندنا. هيبقى الـ جا 𝜃 تساوي ص على ل؛ يعني ستة على ستة، هتساوي واحد. الـ جتا 𝜃 هتساوي صفر على ستة؛ يعني هتساوي صفر. الـ ظا 𝜃 هتساوي ستة على صفر، ودي قيمة غير معرَّفة. الـ قتا 𝜃 هتساوي الـ ل على الـ ص، اللي هي ستة على ستة، هتساوي واحد زيها زي الـ جا 𝜃. الـ قا 𝜃 هتساوي ستة على صفر، اللي هي قيمة غير معرَّفة. الـ ظتا 𝜃 هتساوي الـ س قيمتها صفر على ستة؛ يعني هتساوي صفر.

يبقى الزاوية تسعين درجة فيها الـ ظا 𝜃 قيمة غير معرَّفة، والـ قا 𝜃 قيمة غير معرَّفة؛ لأن هنا الـ س في المقام وقيمتها تساوي صفر، فطلعت قيمة غير معرَّفة. لو حصل وقيمة الصادات هي اللي هتساوي صفر. يعني الزاوية ضلع النهاية بتاعها منطبق على محور السينات. يبقى اللي هيبقى قِيَمهم غير معرَّفة اللي فيها الـ ص في المقام. يعني هتبقى الـ قتا 𝜃 والـ ظتا 𝜃 قيمهم غير معرَّفة.

يبقى اتكلمنا في الفيديو ده إزاي هنعرف نجيب قيم الزوايا المثلثية اللي قيمتها أكبر من تسعين درجة أو أقل من الصفر. وعرفنا إزاي هنجيب قيم الزوايا الرُّبعية ويعني إيه الزاوية الربعية.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.