فيديو الدرس: حل المتباينات التربيعية الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتناول حل المتباينات التربيعية. أولًا، سنستخدم طريقة بسيطة لتناول التمثيلات البيانية، ولكننا سنستخدم بعد ذلك طريقة جبرية. إذا كان بإمكانك إيجاد جذور المعادلات التربيعية أو حل هذه المعادلات، فسيمكنك فعل ذلك. لكن عليك التقدم في خطوات الحل بدقة لتجنب الوقوع في أي أخطاء شائعة بالقرب من نهايتها. والآن لنتناول بعض الأسئلة.

إليك السؤال الأول.

باستخدام التمثيل البياني، أوجد قيم ‪𝑥‬‏ حيث ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ أكبر من أو يساوي صفرًا. علمنا من معطيات السؤال أن ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ‪𝑥‬‏ تربيع زائد خمسة ‪𝑥‬‏. ومعطى لنا أيضًا التمثيل البياني الذي يوضح أن ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، ويوضح هذه الدالة التربيعية. وهذا المنحنى على شكل قطع مكافئ متماثل يقطع المحور ‪𝑥‬‏ عند صفر وخمسة، كما يقطع المحور ‪𝑦‬‏ عند صفر. وعلينا إيجاد متى يكون ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ أكبر من صفر، أي متى يكون الإحداثي ‪𝑦‬‏ أكبر من أو يساوي صفرًا.

بمعلومية أن ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، وبما أن علينا إيجاد متى يكون ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ أكبر من أو يساوي صفرًا، فإننا نبحث عن جميع النقاط على هذا المنحنى حيث يكون الإحداثي ‪𝑦‬‏ أكبر من أو يساوي صفرًا. حسنًا، هنا عند الإحداثي صفر وهنا عند الإحداثي خمسة على المحور ‪𝑥‬‏، الإحداثي ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا. وعند جميع النقاط الواقعة على المنحنى بين هذين الإحداثيين، يكون الإحداثي ‪𝑦‬‏ أكبر من صفر. إذن هذه هي المنطقة التي تعنينا. وعلينا أن نعرف إحداثيي ‪𝑥‬‏ اللذين يكونان هذه المنطقة. إنهما الإحداثيان صفر وخمسة، وكل ما يقع بينهما بدلالة الإحداثي ‪𝑥‬‏، أي من صفر إلى خمسة. وكل ما يقع خارج هذه المنطقة، أي الإحداثيات الأكبر من خمسة أو الأقل من صفر امتدادًا إلى سالب ما لا نهاية، ليس ضمن المنطقة التي تعنينا لأن هذه الأجزاء من المنحنى ليست أكبر من أو تساوي صفرًا. ويمكننا كتابة ذلك على هذه الصورة: الصفر أقل من أو يساوي ‪𝑥‬‏ أقل من أو يساوي خمسة.

يمكننا كتابة ذلك أيضًا في صيغة فترة. فالقيمتان الحرجتان هما صفر وخمسة. وهما طرفا الفترة. والصفر متضمنًا في الفترة، لذا علينا وضع قوس مربع عند هذا الطرف. والعدد خمسة متضمنًا أيضًا، لذا نضع قوسًا مربعًا حول هذا الطرف. هذه هي إذن صيغة الفترة. يمكننا كتابة ذلك أيضًا في صورة ترميز مجموعة. فيكون لدينا مجموعة من قيم ‪𝑥‬‏ حيث ‪𝑥‬‏ عدد حقيقي يقع بين صفر وخمسة. تعتمد خطوات الحل على إلقاء نظرة على المنحنى وتحديد جميع النقاط الموجودة عليه التي تطابق المعايير التي نبحث عنها. في هذه الحالة، المعيار هو ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ أكبر من أو يساوي صفرًا. ومن ثم فهذه المسألة تطلب منا إيجاد أي من إحداثيات ‪𝑥‬‏ يطابق المعايير وأيها لا يطابقها، ثم علينا تلخيص ذلك في إحدى هذه الصور أيها كان مناسبًا، سواء أكانت المتباينة أم الفترة أم المجموعة، وذلك وفقًا لما يطلبه السؤال.

حسنًا، لننتقل إلى السؤال التالي.

علينا استخدام التمثيل البياني لإيجاد قيم ‪𝑥‬‏ حيث ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ أكبر من صفر، أو تحديدًا أكبر من صفر ولا يساويه. في هذه الحالة، عند ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا، الإحداثي ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا، أي إن ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي صفرًا. لذا لن يكون هذا في المنطقة التي نبحث عنها. وعند ‪𝑥‬‏ يساوي أربعة، الإحداثي ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا، أي إن ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ يساوي صفرًا. مرة أخرى، لن يقع هذا في المنطقة التي نبحث عنها. لكن عند ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ أكبر من صفر، لدينا كل هذه النقاط التي تقع هنا على المنحنى وتتجه إلى ما لا نهاية في هذا الاتجاه، ثم كل النقاط التي تقع هنا على المنحنى وتتجه إلى ما لا نهاية في هذا الاتجاه.

بالتفكير في قيم ‪𝑥‬‏ المناظرة، فهي لا تتضمن الإحداثي أربعة، ولكنها تتضمن كل ما يقع على يمينه. ولا تتضمن الإحداثي واحدًا، ولكنها تتضمن كل ما يقع على يساره. ومن ثم، فإن الأجزاء التي لا نريدها عندما يكون الإحداثي ‪𝑦‬‏ أقل من أو يساوي صفرًا هنا هي جميع الإحداثيات من ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا إلى ‪𝑥‬‏ يساوي أربعة، بما في ذلك هذان العددان.

حسنًا، كيف يمكننا كتابة ذلك؟ لدينا هنا منطقة غير متصلة. فلدينا جميع الإحداثيات على يسار الإحداثي واحد وجميع الإحداثيات على يمين الإحداثي أربعة. لذا، علينا كتابة ذلك على صورة متباينتين منفصلتين. إذن، ‪𝑥‬‏ أصغر من واحد أو ‪𝑥‬‏ أكبر من أربعة. بالنظر إلى الإحداثيات المكافئة على صورة فترة، فستكون هذه الفترة من سالب ما لا نهاية إلى واحد، ولكنها لا تتضمنه. وستكون من أربعة، غير متضمنة هذا العدد، وصولًا إلى موجب ما لا نهاية.

إذن القيم الحرجة هي سالب ما لا نهاية، وواحد، وأربعة، وما لا نهاية. نضع دائمًا قوسًا دائريًّا بعد ما لا نهاية. وبما أن هذه المنطقة لا تتضمن الإحداثي واحدًا، نضع قوسًا دائريًّا حوله. ولا تتضمن كذلك الإحداثي أربعة، فنضع قوسًا دائريًّا حوله. ثم ننتقل إلى موجب ما لا نهاية الذي نضع حوله قوسًا دائريًّا أيضًا. كلتا هاتين المنطقتين صحيحتان، لكن لا شيء بينهما صحيح. لذا، فما لدينا هو اتحاد بين هاتين المنطقتين. ونكتبه بهذا الشكل في صيغة الفترة. كما يمكننا كتابة الإجابة باستخدام ترميز المجموعة، وهو مجموعة قيم ‪𝑥‬‏ حيث ‪𝑥‬‏ عدد حقيقي، و‪𝑥‬‏ أقل من واحد أو ‪𝑥‬‏ أكبر من أربعة.

ثمة طريقة أخرى لكتابة ذلك، وهي أن مجموعة الأعداد الحقيقية هي جميع هذه الأعداد الموجودة هنا على طول المحور ‪𝑥‬‏، أو خط الأعداد إذا أردت أن تطلق عليه ذلك. لكننا نريد استبعاد هذه المنطقة من ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا حتى ‪𝑥‬‏ يساوي أربعة، أي هذه المنطقة هنا. إذن يمكننا القول إن هذا يساوي جميع الأعداد الحقيقية ناقص هذه المنطقة. ونكتب ذلك على هذه الصورة؛ نكتب الأعداد الحقيقية ثم نطرح منها هذه الفترة من واحد إلى أربعة، بما في ذلك هذان العددان لأننا لا نريد العدد واحدًا أو العدد أربعة في هذه المنطقة. فعلينا استبعاد ذلك من منطقة الحلول، ومن ثم لدينا هنا الكثير من الطرق المختلفة لتقديم الحل.

في السؤال الثالث، سنستخدم طريقة جبرية فقط.

أوجد قيم ‪𝑥‬‏ التي تحقق ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص ثلاثة ‪𝑥‬‏ ناقص 10 أصغر من أو يساوي صفرًا. ما سنفعله هو أننا سننظر في المعادلة ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص ثلاثة ‪𝑥‬‏ ناقص 10. فسنجعل كل ذلك يساوي الإحداثي ‪𝑦‬‏. هذه دالة تربيعية، ومعامل ‪𝑥‬‏ تربيع هو واحد، أي إنه موجب. وبذلك، نعرف أن المنحنى سيكون موجبًا مقعرًا لأعلى. كما نعرف أن الحد الثابت في نهاية المعادلة هو سالب 10، ومن ثم فإن ‪𝐶‬‏ يساوي سالب 10. وهو الإحداثي الذي يقطع عنده المنحنى المحور ‪𝑦‬‏. ويقطع المنحنى المحور ‪𝑥‬‏ عندما يكون الإحداثي ‪𝑦‬‏ مساويًا لصفر. وبما أن ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص ثلاثة ‪𝑥‬‏ ناقص 10، نقول إن المنحنى يقطع المحور ‪𝑥‬‏ عند ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص ثلاثة ‪𝑥‬‏ ناقص 10 يساوي صفرًا.

بعد ذلك نجري عملية تحليل، فيحلل ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص ثلاثة ‪𝑥‬‏ ناقص 10 إلى ‪𝑥‬‏ زائد اثنين في ‪𝑥‬‏ ناقص خمسة. أصبحت لدينا الآن الدالة على هذه الصورة. فلدينا قيمة مضروبة في قيمة تساوي صفرًا، إذن لا بد أن إحدى هاتين القيمتين تساوي صفرًا لكي يكون حاصل ضربهما صفرًا. فإما أن ‪𝑥‬‏ زائد اثنين يساوي صفرًا وإما أن ‪𝑥‬‏ ناقص خمسة يساوي صفرًا. هذا يعني أن ‪𝑥‬‏ لا بد أن يساوي سالب اثنين لكي يكون الناتج صفرًا أو ‪𝑥‬‏ لا بد أن يساوي خمسة لكي يكون الناتج صفرًا.

أصبحت لدينا الآن معطيات كافية تمكننا من رسم المنحنى ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص ثلاثة ‪𝑥‬‏ ناقص 10. يقطع المنحنى المحور ‪𝑦‬‏ عند سالب 10، ويقطع المحور ‪𝑥‬‏ عند سالب اثنين وموجب خمسة. فيكون عند سالب اثنين هنا، وموجب خمسة هنا. والدالة تربيعية، لذا سيكون المنحنى قطعًا مكافئًا متماثلًا. ونظرًا لأن محور التماثل سيكون في منتصف المسافة بين سالب اثنين وموجب خمسة، فسيقع هنا تقريبًا. وسيبدو المنحنى بهذا الشكل. ذكرنا في البداية أن ‪𝑦‬‏ يساوي كل هذه القيمة، وما نحاول إيجاده هو قيم ‪𝑥‬‏ التي تجعل هذه القيمة أقل من أو تساوي صفرًا. ما نبحث عنه إذن في هذا التمثيل البياني بالتحديد هو أين يكون الإحداثي ‪𝑦‬‏ أقل من أو يساوي صفرًا.

حسنًا، ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا هنا، و‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا هنا، إذن سالب اثنين وسالب خمسة هما قيمتا ‪𝑥‬‏ اللتان تجعلان الإحداثي ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا. ونبحث أيضًا عن المنطقة التي يكون فيها ‪𝑦‬‏ أقل من صفر، وهي كل المنطقة التي تقع بين هاتين القيمتين. هذه هي المنطقة الموجودة هنا بالكامل. إذن فيما يخص قيم ‪𝑥‬‏ التي تكون إحداثيات ‪𝑦‬‏ هذه، فهي ‪𝑥‬‏ يساوي سالب اثنين، و‪𝑥‬‏ يساوي خمسة، وكل ما يقع بينهما. هذه إحداثيات ‪𝑥‬‏ التي تحقق القيمة المطلوبة. وبالنسبة إلى إحداثيات ‪𝑥‬‏ التي لا تهمنا، انظر هنا وستلاحظ أن الإحداثي ‪𝑦‬‏ أكبر من صفر، لذا لا يهمنا هذا الإحداثي. بالنسبة إلى المنطقة التي لا تعنينا، فهي هذه المنطقة إلى ما لا نهاية هنا، والتي لا تتضمن الإحداثي سالب اثنين، وهذه المنطقة إلى سالب ما لا نهاية هنا.

إذن قيم ‪𝑥‬‏ التي نبحث عنها لجعل الإحداثي ‪𝑦‬‏ أقل من أو يساوي صفرًا هي سالب اثنين أقل من أو يساوي ‪𝑥‬‏ أقل من أو يساوي خمسة. وهذا في صيغة المتباينة. أما في صيغة الفترة، يكون طرفا الفترة اللذان نبحث عنهما هما سالب اثنين وخمسة، بما في ذلك هذان العددان. إذن علينا وضع أقواس مربعة حولهما. هذه هي صيغة الفترة. وباستخدام ترميز المجموعة، يمكننا القول إن لدينا مجموعة من قيم ‪𝑥‬‏، حيث ‪𝑥‬‏ عدد حقيقي، عندما يكون سالب اثنين أقل من أو يساوي ‪𝑥‬‏ أقل من أو يساوي خمسة.

إذن خطوات الحل التي اتبعناها هي أننا، أولًا، توصلنا إلى معادلة لـ ‪𝑦‬‏ يساوي مزيجًا ما من قيم ‪𝑥‬‏، أو دالة ما في المتغير ‪𝑥‬‏، ثم حددنا الموضع الذي يجعل هذه الدالة تساوي صفرًا. وبعد ذلك، فكرنا فيما يجعل الدالة أقل من أو تساوي صفرًا، وقد تساوي صفرًا أو تكون أكبر من صفر في حالات أخرى. ثم قارنا بين طرق الحل الموضحة هنا. الأمر المهم الذي كنت أتحدث عنه في البداية فيما يتعلق بطريقة الحل هو رسم هذا التمثيل البياني. فعندما ترسمه، سيتضح لك إذا ما كنت تبحث عن النقاط أعلى المحور ‪𝑥‬‏ أم أسفله. وإذا لم ترسمه، فقد تحل مثل هذه الأسئلة وتجد بالفعل قيم ‪𝑥‬‏ الحرجة، ولكنك ستخمن بعد ذلك إذا ما كنت تبحث ضمن قيم ‪𝑥‬‏ أم خارجها. إذن، فإن هذا الشكل الأخير مفيد للغاية حيث وضح لك إذا ما كنت تبحث عن إحداثيات ‪𝑦‬‏ أعلى الخط، أو المحور ‪𝑥‬‏، أو أسفله.

في المثال الأخير، سنوجد قيم ‪𝑥‬‏ التي تحقق سالب ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص ‪𝑥‬‏ أقل من سالب 12. سنعيد ترتيب هذه المسألة. فسنحل مسألة مكافئة لها الإجابات نفسها، ولكنها ستكون أسهل نوعًا ما. لا أحب التعامل مع قيم سالب ‪𝑥‬‏ تربيع هذه، ولا أحب وجود بعض القيم في أحد طرفي المتباينة وقيم أخرى في الطرف الآخر. فمن الأسهل بكثير أن تعتمد المتباينة على الصفر كي يمكننا النظر إلى أعلى المحور ‪𝑥‬‏ وأسفله. لذا سأضيف ‪𝑥‬‏ تربيع إلى كلا الطرفين، وسأضيف ‪𝑥‬‏ إلى كلا طرفي هذه المتباينة. وبذلك تصبح لدي قيمة أكبر من صفر.

أولًا، نضيف ‪𝑥‬‏ تربيع إلى كلا الطرفين. وفي الطرف الأيسر، إذا كان لدي ‪𝑥‬‏ تربيع، فسيتبقى سالب ‪𝑥‬‏ فقط لأن سالب ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي صفرًا. فيحذف كل منهما الآخر. وفي الطرف الأيمن، لدينا ‪𝑥‬‏ تربيع، أي موجب ‪𝑥‬‏ تربيع ناقص 12. يمكنك أن تقول سالب 12 زائد ‪𝑥‬‏ تربيع، لكن أعتقد أن كتابته بهذه الطريقة أسهل. والآن سنضيف ‪𝑥‬‏ إلى كلا الطرفين، ما يعطينا صفر أقل من ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑥‬‏ ناقص 12.

هذه هي المسألة التي سنحلها: صفر أقل من ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑥‬‏ ناقص 12. وينتج عن ذلك مجموعة حلول لقيم ‪𝑥‬‏ مكافئة بالكامل للمسألة الأصلية. لنتناول المعادلة التربيعية ‪𝑦‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑥‬‏ ناقص 12. وما نعنيه هنا هو أن هذه القيمة هي الإحداثي ‪𝑦‬‏، وما نحاول معرفته هو متى يكون الإحداثي ‪𝑦‬‏ أكبر من صفر. إذا كانت هذه قيمة ‪𝑦‬‏، فتذكر أن لدينا هنا علامة أكبر من؛ أي إن ‪𝑦‬‏ على الجانب الأكبر في المتباينة بالنسبة إلى الصفر. ومن ثم، فنحن نبحث عن متى يكون ‪𝑦‬‏ أكبر من صفر. من المهم أن نطبق ذلك بشكل صحيح في هذه المرحلة.

بالنظر إلى هذه الدالة التربيعية، نجد أنها تساوي واحد ‪𝑥‬‏ تربيع، أي إن قيمة ‪𝑎‬‏ موجبة. هذا إذن منحنى مقعر لأعلى. والحد الثابت في الطرف هو سالب 12، وهذا يعني أنه يقطع المحور ‪𝑦‬‏ عند سالب 12. وسيقطع منحنى هذه الدالة التربيعية المحور ‪𝑥‬‏ عند ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا؛ فتعريف المحور ‪𝑥‬‏ هو حيث يكون الإحداثي ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا. وهذا عند ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑥‬‏ ناقص 12 يساوي صفرًا. مرة أخرى، يمكننا تحليل ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑥‬‏ ناقص 12 إلى ‪𝑥‬‏ زائد أربعة في ‪𝑥‬‏ ناقص ثلاثة، ومرة أخرى تصبح لدينا قيمتان مضروبتان معًا تساويان صفرًا. والطريقة الوحيدة التي تحصل بها على ناتج يساوي صفرًا عند ضرب قيمتين معًا هي أن تكون إحداهما صفرًا.

إذن إما أن ‪𝑥‬‏ زائد أربعة يساوي صفرًا وإما أن ‪𝑥‬‏ ناقص ثلاثة يساوي صفرًا. ومن ثم عند ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا، أي عندما يقطع المحور ‪𝑥‬‏، لا بد أن يحدث ذلك عندما يكون ‪𝑥‬‏ يساوي سالب أربعة أو ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة. أصبحت لدينا الآن معطيات كافية لرسم التمثيل البياني. فنرى أن المنحنى يقطع المحور ‪𝑦‬‏ عند سالب 12، ويقطع المحور ‪𝑥‬‏ عند سالب أربعة وموجب ثلاثة. تذكر أن الدوال التربيعية تمثل دائمًا بالقطوع المكافئة المتماثلة، وهنا سيقع خط التماثل على يسار المحور ‪𝑦‬‏ قليلًا؛ لأنه سيقع في منتصف المسافة بين هاتين النقطتين حيث يقطع المحور ‪𝑥‬‏، وسالب أربعة يقع على مسافة من صفر أبعد قليلًا من ثلاثة، لذا سيقع خط التماثل على يسار المحور ‪𝑦‬‏ قليلًا.

سيبدو المنحنى تقريبًا بهذا الشكل، الذي يبدو متعرجًا بعض الشيء، ولكنه لا يجب أن يكون دقيقًا 100 بالمائة. ويمكننا ملاحظة أن الإحداثي ‪𝑦‬‏ لكل نقطة على هذا المنحنى يساوي مربع الإحداثي ‪𝑥‬‏ زائد الإحداثي ‪𝑥‬‏ ناقص 12. في هذه المسألة، نبحث عن الفترة التي يكون فيها الإحداثي ‪𝑦‬‏ في هذا التمثيل البياني أكبر من صفر، أي حيث تحقق الإحداثيات ‪𝑥‬‏ إحداثي ‪𝑦‬‏ أكبر من صفر.

عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب أربعة، الإحداثي ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا، وهذا ليس أكبر من صفر. إذن، هذا ليس ضمن المنطقة التي نبحث عنها. وعند ‪𝑥‬‏ يساوي ثلاثة، الإحداثي ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا. إذن، هذا ليس ضمن المنطقة التي نبحث عنها أيضًا. وبين هاتين النقطتين، يمكننا أن نرى أن الإحداثي ‪𝑦‬‏ أقل من صفر، وهذا ليس مناسبًا. إذن الأجزاء التي نبحث عنها ستكون هنا في الأعلى وخارج المنطقة إلى ما لا نهاية في هذا الاتجاه، أي سالب ما لا نهاية. وهنا في الأعلى وخارج المنطقة نحو موجب ما لا نهاية في هذا الاتجاه، وهذا حيث يكون ‪𝑦‬‏ أكبر من صفر.

لننظر إلى إحداثيات ‪𝑥‬‏ المناظرة. قلنا إن العدد ثلاثة غير متضمن، لأن الإحداثي ‪𝑦‬‏ المناظر يساوي صفرًا. لكن كل ما يقع على يمين العدد ثلاثة حتى موجب ما لا نهاية تتضمنه المنطقة التي نبحث عنها، لأن الإحداثي ‪𝑦‬‏ المناظر أكبر من صفر. سالب أربعة غير متضمن؛ لأن الإحداثي ‪𝑦‬‏ المناظر يساوي صفرًا. لكن كل ما يقع على يساره يكون متضمنًا لأن إحداثيات ‪𝑦‬‏ المناظرة ستكون أكبر من صفر.

بالنسبة إلى المنطقة التي لا تعنينا، تذكر أننا قلنا إن جميع هذه النقاط هنا أقل من صفر، وإحداثي ‪𝑦‬‏ لها أقل من صفر، إذن سالب أربعة غير متضمن، وموجب ثلاثة غير متضمن، وكل ما يقع بينهما غير متضمن في المنطقة التي نبحث عنها. إذن، مرة أخرى، المنطقة الموضحة باللون الأخضر مقسمة إلى جزأين. فهي منطقة غير متصلة. بصيغة المتباينة، ‪𝑥‬‏ أصغر من سالب أربعة، أو ‪𝑥‬‏ أكبر من ثلاثة. تذكر أنه عند سالب أربعة وثلاثة، نحصل على إحداثيات ‪𝑦‬‏ تساوي صفرًا. إذن، هذه ليست المنطقة التي تعنينا.

وبصيغة الفترة، لدينا الفترة من سالب ما لا نهاية إلى سالب أربعة. ومن ثلاثة إلى موجب ما لا نهاية. علينا أن نفكر الآن في الأقواس، فنضع دائمًا قوسًا دائريًّا حول ما لا نهاية. وتذكر أن أربعة غير متضمن في المنطقة، لذا نستخدم القوس الدائري، وثلاثة غير متضمن في المنطقة، لذا نستخدم القوس الدائري أيضًا. وما لدينا هو اتحاد لهاتين المنطقتين.

وبترميز المجموعة، يمكننا أن نقول إن المجموعة هي قيم ‪𝑥‬‏ حيث ‪𝑥‬‏ عدد حقيقي، و‪𝑥‬‏ أصغر من سالب أربعة أو ‪𝑥‬‏ أكبر من ثلاثة. ويمكننا القول أيضًا إنها جميع قيم ‪𝑥‬‏ الحقيقية ما عدا هذه المنطقة هنا، ومن ثم يمكننا استبعادها من الإجابة. لذا يمكن كتابة ذلك أيضًا في صورة مجموعة الأعداد الحقيقية مطروحًا منها المنطقة من سالب أربعة إلى ثلاثة. والمنطقة التي نستبعدها تتضمن سالب أربعة وثلاثة.

إذن، في هذه الحالة، كان علينا إعادة ترتيب المسألة قليلًا للتوصل إلى مسألة مكافئة، والتي كان من السهل نسبيًّا حلها. وأجرينا بعض التحليلات الأساسية على الأجزاء المقطوعة من المحورين ‪𝑥‬‏ و‪𝑦‬‏، ورسمنا التمثيل البياني مرة أخرى لأنه يساعدنا في فهم الحلول، وبعد ذلك قدمنا لك مجموعة من الطرق المختلفة لعرض الإجابة.