فيديو السؤال: اشتقاق الدوال المثلثية باستخدام قاعدة السلسلة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان ‪𝑦‬‏ يساوي ‪cos‬‏ ثمانية على ‪𝑥‬‏ أس خمسة، فأوجد ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏.

لحل هذه المسألة التي تتضمن اشتقاقًا، سنستخدم قاعدة السلسلة؛ وذلك لأنها دالة مركبة، أو ما يعرف بدالة في دالة. تنص قاعدة السلسلة على أن ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑢‬‏ مضروبًا في ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏. تتمثل الخطوة الأولى في جعل ‪𝑢‬‏ يساوي ثمانية على ‪𝑥‬‏ أس خمسة. يمكن إعادة كتابة ذلك على صورة ثمانية ‪𝑥‬‏ أس سالب خمسة. اشتقاق ذلك بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ يعطينا سالب 40𝑥 أس سالب ستة. نضرب سالب خمسة في ثمانية ونطرح واحدًا من الأس. يمكن إعادة كتابة ذلك على صورة سالب 40 على ‪𝑥‬‏ أس ستة.

من ثم، ‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي سالب 40 على ‪𝑥‬‏ أس ستة. بالتعويض بـ ‪𝑢‬‏ في المعادلة الأصلية، نحصل على ‪𝑦‬‏ يساوي ‪cos 𝑢‬‏. نعلم أن مشتقة ‪cos 𝑥‬‏ تساوي سالب ‪sin 𝑥‬‏. هذا يعني أن اشتقاق ‪𝑦‬‏ يساوي ‪cos 𝑢‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑢‬‏ يعطينا ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑢‬‏ يساوي سالب ‪sin 𝑢‬‏.

لدينا الآن قيمتا ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑢‬‏ و‪d𝑢‬‏ على ‪d𝑥‬‏. ومن ثم ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ سيساوي حاصل ضرب هذين الحدين. وبما أننا نريد الإجابة بدلالة ‪𝑥‬‏، فيمكننا التعويض عن ‪𝑢‬‏ بثمانية على ‪𝑥‬‏ أس خمسة. وهكذا، ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي سالب 40 على ‪𝑥‬‏ أس ستة مضروبًا في سالب ‪sin‬‏ ثمانية على ‪𝑥‬‏ أس خمسة. نعلم أن ضرب حدين سالبين يعطينا ناتجًا موجبًا.

إذن، ‪d𝑦‬‏ على ‪d𝑥‬‏ يساوي 40 على ‪𝑥‬‏ أس ستة ‪sin‬‏ ثمانية على ‪𝑥‬‏ أس خمسة. وهذه هي مشتقة ‪cos‬‏ ثمانية على ‪𝑥‬‏ أس خمسة.