فيديو الدرس: استخدام المحددات لحساب المساحة الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم المحددات لحساب مساحة المثلث ومتوازي الأضلاع بمعلومية إحداثيات رءوسهما.

٢٤:٢٦

‏نسخة الفيديو النصية

استخدام المحددات لحساب المساحة

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف يمكننا استخدام المحددات لحساب مساحات مضلعات مختلفة. وسوف نناقش كيف يمكننا استخدام المحددات لحساب مساحات المثلثات بمعلومية إحداثيات رءوسها، وكيف يمكننا حساب مساحات متوازيات الأضلاع بمعلومية رءوسها أو متجهاتها التي تعرفها. كذلك سوف نناقش كيف يمكننا توسيع نطاق ما سنتناوله ليشمل المضلعات الأكثر تعقيدًا.

للبدء في مناقشة هذا الموضوع، علينا أولًا الإجابة عن سؤال مهم للغاية. ما معنى محدد المصفوفة؟ نحن نعرف تعريف المحدد، ونعرف أيضًا كيف نحسبه. لكننا لا نعرف ما يعنيه حقًا. هناك بالفعل الكثير من التفسيرات المختلفة لما يمكن أن يعنيه محدد المصفوفة. لكننا سنستعرض تفسيرًا واحدًا فقط من هذه التفسيرات.

سنبدأ بما نعنيه بمصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين، وهي المصفوفة ﻙ، ﻝ، ﻫ، ﻥ. محدد هذه المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين هو مساحة متوازي الأضلاع الذي تكون أضلاعه معرفة إما بصفي هذه المصفوفة أو بعموديها، مع أخذ الإشارة في الاعتبار. تبدو هذه العبارة معقدة للغاية. لكن إذا قسمناها إلى أجزاء، فسيكون فهمها أسهل كثيرًا. سنبدأ باختيار تعريف متوازي الأضلاع بصفي المصفوفة. وسنناقش كيفية تكوين متوازي الأضلاع هذا.

حسنًا، تتكون المصفوفة لدينا من صفين. الصف الأول هو ﻙ، ﻝ. أول شيء سنفعله هو تعريف المتجه ﻡ واحد، الذي له المركبة الأفقية ﻙ والمركبة الرأسية ﻝ. بعد ذلك، سنفعل الشيء نفسه مع الصف الثاني. وهذا يعطينا المتجه الثاني ﻡ اثنين. جدير بالذكر أنه يمكننا أيضًا اختيار عمودي المصفوفة لتعريف متوازي الأضلاع هذا. والفرق الوحيد هو أننا سنختار عمودي المصفوفة، لذا سنحصل على متجهي العمودين. لكننا سنتناول هنا مثال الصفين فقط.

يمكننا الآن، باستخدام هذين المتجهين، تعريف متوازي الأضلاع. إذا بدأنا من نقطة ورتبنا المتجهات بالصورة التالية، فسنحصل على متوازي أضلاع. يخبرنا تعريف المحدد بأن محدد هذه المصفوفة هو مساحة متوازي الأضلاع، مع أخذ الإشارة في الاعتبار. بعبارة أخرى، إذا سمينا متوازي الأضلاع هذا ﺽ، فإن مساحة ﺽ تساوي محدد هذه المصفوفة أو سالب واحد مضروبًا في محدد هذه المصفوفة. وذلك لأننا نعلم أن المحدد قد يعطينا قيمة سالبة. لكننا لا نريد قيمة سالبة للمساحة.

هذا يعطينا صيغة مفيدة لحساب مساحة أي متوازي أضلاع. وغالبًا ما ستلاحظ أن هذه الصيغة تكتب بطريقتين مختلفتين. سنوجد أولًا القيمة المطلقة للطرف الأيسر من هذه المعادلة. لذا، لن نحتاج إلى القيمة الموجبة أو السالبة. ومع ذلك، يفضل بعض الأشخاص استخدام هذا الترميز لمحدد المصفوفة. لذا، يمكنك ملاحظة أن هذه الصيغة مكتوبة في صورة موجب أو سالب في محدد المصفوفة. كل هذه الطرق تعني الشيء نفسه. وهو أننا نوجد قيمة محدد هذه المصفوفة ونأخذ القيمة الموجبة.

هناك أمران تجدر الإشارة إليهما هنا. أولًا، تذكر أنه كان بإمكاننا استخدام متجهي العمودين بدلًا من متجهي الصفين. وهذا سيعطينا النتيجة نفسها عندما ننظر إلى عمودي المصفوفة بدلًا من الصفين. والأمر الثاني الجدير بالذكر هو ما سيحدث إذا لم يشكل ﻡ واحد وﻡ اثنان متوازي أضلاع. على سبيل المثال، إذا كان ﻡ واحد وﻡ اثنان يشيران إلى الاتجاه نفسه تمامًا أو إلى اتجاهين متعاكسين أو كان أحد المتجهين ﻡ واحد وﻡ اثنين متجهًا صفريًا، فلن نحصل على شكل له مساحة. حيث ستكون مساحة هذا الشكل هي صفر. وهذا هو ما نعنيه بالضبط بأن قيمة المحدد تساوي صفرًا.

يتضح أيضًا أنه يمكننا توسيع نطاق تعريف المحدد ليشمل مصفوفات أكبر. محدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة هو حجم متوازي السطوح الذي يمثل نسخة ثلاثية الأبعاد من متوازي الأضلاع، مع أخذ الإشارة في الاعتبار، والذي تعرف أضلاعه بصفوف هذه المصفوفة أو أعمدتها. وفي الواقع، معرفة سبب صحة هذا التعريف خارج نطاق موضوع هذا الفيديو. لكن بافتراض أن هذا التعريف صحيح، وباستخدام بعض العمليات الجبرية والهندسية، يمكننا التوصل إلى نتيجة مفيدة للغاية.

إذا كنا نعرف إحداثيات رءوس المثلث ﺙ، فيمكننا حساب مساحته. مساحة ﺙ تساوي نصفًا في القيمة المطلقة لمحدد مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، حيث يمثل كل صف فيها زوجًا إحداثيًا، إلى جانب جزء إضافي قيمته واحد. مرة أخرى، إثبات هذه العبارة خارج نطاق موضوع هذا الفيديو. لكننا سنتعلم كيف نستخدم ذلك في بعض الأمثلة.

أوجد مساحة المثلث الموجود في الشكل الآتي باستخدام المحددات.

مطلوب منا في هذا السؤال إيجاد مساحة المثلث الموضح في الشكل. وذلك عن طريق استخدام المحددات. حسنًا، أول ما علينا فعله هو تذكر كيفية إيجاد مساحة المثلث باستخدام المحددات. نحن نتذكر أن كل ما علينا فعله هو إيجاد إحداثيات رءوسه الثلاثة، ثم استخدام الصيغة التالية. مساحة ﺙ تساوي نصفًا مضروبًا في القيمة المطلقة لمحدد مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، حيث يتكون كل صف في المصفوفة من إحداثيي الرأس بالإضافة إلى العدد واحد.

إذن، أول ما علينا فعله هو إيجاد الإحداثيات الثلاثة لرءوس المثلث. سنجد أن لدينا سالب واحد، سالب أربعة؛ وصفر، أربعة؛ وأربعة، سالب اثنين. وتجدر الإشارة هنا إلى أمر ما. لا يهم أي نقطة من هذه النقاط نسميها واحدًا أو اثنين أو ثلاثة. فكل ما يؤدي إليه ذلك هو تغيير إشارة المحدد. لكن بما أننا نوجد القيمة المطلقة لمحدد المصفوفة، فهذا لن يغير الإجابة.

لذا، سنختار ترقيم النقاط من اليسار إلى اليمين. وهذا يعطينا مساحة المثلث ﺙ تساوي نصفًا مضروبًا في القيمة المطلقة لمحدد هذه المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. لذا، فإن ما علينا فعله الآن هو إيجاد قيمة هذا المحدد. وهناك طرق مختلفة للقيام بذلك. سنستخدم المصفوفات الصغرى. وسنفك المحدد باستخدام العمود الأول لأنه يحتوي على صفر.

أولًا، سنبدأ بتذكر الإشارات التي علينا الضرب فيها. فنحصل على موجب، سالب، موجب. بعد ذلك، علينا إيجاد المصفوفات الصغرى. سنبدأ بإيجاد المصفوفة الصغرى الأولى عن طريق حذف الصف الأول والعمود الأول. فنحصل على سالب واحد مضروبًا في محدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين وعناصرها أربعة، واحد، سالب اثنين، واحد. الحد الثاني في المفكوك لدينا معامله يساوي صفرًا. لذا، ليس علينا أن نوجد قيمة ذلك. سننتقل إذن إلى الحد الثالث.

أولًا، نحن نعرف أنه علينا ضرب ذلك في أربعة. وعلينا إيجاد المصفوفة الصغرى عن طريق حذف العمود الأول والصف الثالث. فنحصل على أربعة مضروبًا في محدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين وعناصرها سالب أربعة، واحد، أربعة، واحد. والآن، كل ما علينا فعله هو إيجاد قيمتي محددي الرتبة الثانية هذين. أولًا، لدينا أربعة في واحد ناقص سالب اثنين في واحد. بعد ذلك، لدينا سالب أربعة في واحد ناقص أربعة في واحد.

لا يتبقى لنا الآن سوى إيجاد قيمة هذا المقدار. أولًا، سالب واحد مضروبًا في أربعة في واحد ناقص سالب اثنين في واحد يساوي سالب ستة. لدينا بعد ذلك أربعة في سالب أربعة في واحد ناقص أربعة في واحد يساوي سالب ٣٢. ويمكننا تبسيط ذلك لنحصل على نصف في القيمة المطلقة لسالب ستة ناقص ٣٢. سالب ستة ناقص ٣٢ يساوي سالب ٣٨. والقيمة المطلقة لسالب ٣٨ هي ٣٨. بعد ذلك، نضرب هذا في نصف لنحصل على ١٩. لكن تذكر أن ذلك يعطينا مساحة مثلث، وعليه، يمكننا كتابة الإجابة بالوحدات. ويجب كتابة هذا المقدار بالوحدات المربعة.

بذلك، نكون قد استطعنا أن نوضح أن مساحة المثلث الموجود في الشكل تساوي ١٩ وحدة مربعة. وجدير بالذكر أيضًا أنه كان من الممكن إيجاد مساحة هذا المثلث باستخدام الهندسة. وهذا سيوفر لنا طريقة جيدة للتأكد من صحة إجابتنا النهائية.

لنتناول الآن مثالًا على كيفية استخدام المحددات لمساعدتنا في إيجاد إحداثيي رأس مثلث.

إذا كانت مساحة المثلث الذي رءوسه هي ﻉ، صفر؛ وستة، صفر؛ وصفر، ثلاثة؛ تساوي تسع وحدات مربعة، فإن ﻉ يساوي (أ) صفرًا أو ١٢، (ب) صفرًا أو سالب ١٢، (ج) سالب ستة أو ستة، (د) سالب ١٢ أو ١٢.

يخبرنا السؤال أن مساحة المثلث تساوي تسع وحدات مربعة. ولدينا الإحداثيات الثلاثة لرءوس هذا المثلث. علينا استخدام هذه المعطيات لإيجاد القيمتين الممكنتين لـ ﻉ. تجدر الإشارة هنا إلى أن إحدى طرق القيام بذلك هي تحديد هذه النقاط الثلاثة على مخطط، ثم حساب المساحات الممكنة. وهذه الطريقة مناسبة بالتأكيد ويمكن استخدامها لإيجاد الإجابة الصحيحة. لكننا سنستخدم المحددات.

تذكر أنه يمكننا إيجاد المساحة ﻡ للمثلث بمعلومية رءوسه باستخدام الصيغة التالية. ‏‏ﻡ يساوي نصفًا مضروبًا في القيمة المطلقة لمحدد مصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، حيث يتكون كل صف في المصفوفة من زوج إحداثي بالإضافة إلى القيمة واحد. ولا يهم الترتيب الذي نختار به النقاط. لذا، سنرتبها من اليسار إلى اليمين. إذن، باستخدام الرءوس المعطاة في السؤال، نجد أن مساحة المثلث تساوي نصفًا في القيمة المطلقة لمحدد المصفوفة التالية من الرتبة ثلاثة في ثلاثة.

علينا بعد ذلك إيجاد قيمة هذا المحدد. وهناك طرق مختلفة للقيام بذلك. يمكننا ملاحظة أن أحد أعمدة المصفوفة يحتوي على صفرين. لذا، سنوجد قيمة هذا المحدد عن طريق فكه باستخدام العمود الثاني. وعلينا القيام بذلك من خلال إيجاد المصفوفات الصغرى. تذكر أن أول قيمتين هما صفر. لذلك، ليس علينا إيجاد هاتين القيمتين. كل ما علينا فعله هو إيجاد القيمة الأخيرة التي معاملها هو ثلاثة. وتذكر أننا نضرب هذه القيمة في سالب واحد أس ثلاثة زائد اثنين؛ لأنها تقع في الصف الثالث، العمود الثاني.

والآن، تذكر أنه علينا إيجاد قيمة محدد المصفوفة الصغرى التي نحصل عليها عن طريق حذف الصف الثالث والعمود الثاني. يمكننا ملاحظة أن هذه هي المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين وعناصرها ﻉ، واحد، ستة، واحد. بذلك، نكون قد أوضحنا أن مساحة المثلث تساوي نصفًا في القيمة المطلقة لسالب واحد أس ثلاثة زائد اثنين في ثلاثة في محدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين وعناصرها ﻉ، واحد، ستة، واحد.

كل ما علينا فعله الآن هو إيجاد قيمة هذا المقدار. أولًا، سالب واحد أس ثلاثة زائد اثنين يساوي سالب واحد. بعد ذلك، إذا حسبنا قيمة محدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين، فسنجد أنها تساوي ﻉ ناقص ستة. إذن، مساحة المثلث تساوي نصفًا في القيمة المطلقة لسالب ثلاثة في ﻉ ناقص ستة. ويمكننا تبسيط ذلك أكثر. فيمكننا أن نأخذ سالب ثلاثة خارج القيمة المطلقة. وتذكر أن هذا يعني أنها ستصبح موجب ثلاثة. ومن ثم، نحصل على ثلاثة على اثنين في القيمة المطلقة لـ ﻉ ناقص ستة.

تذكر أننا نعرف من السؤال أن مساحة المثلث تساوي تسعة. لذا، هذا المقدار يجب أن يساوي تسعة. علينا إذن حل معادلة تتضمن رمز القيمة المطلقة. سنبدأ بقسمة طرفي المعادلة على ثلاثة على اثنين. تسعة على ثلاثة على اثنين يساوي ستة. وبذلك نحصل على ستة يساوي القيمة المطلقة لـ ﻉ ناقص ستة.

تذكر أنه لحل المعادلات التي تتضمن رمز القيمة المطلقة، علينا إيجاد الحلين الموجب والسالب للقيمة المطلقة. وبإيجاد الحلين الموجب والسالب، نحصل على معادلتين علينا حلهما. ستة يساوي ﻉ ناقص ستة، وستة يساوي سالب واحد في ﻉ ناقص ستة. وهاتان المعادلتان هما معادلتان خطيتان يمكننا حلهما. فنحصل على ﻉ يساوي ١٢ أو ﻉ يساوي صفرًا. وهذا هو الخيار (أ). بذلك، نكون قد استطعنا أن نوضح أن ﻉ يساوي صفرًا أو ١٢.

جدير بالذكر أيضًا أنه يمكننا التأكد من صحة الإجابة بالتعويض بقيمتي ﻉ في هذا الزوج الإحداثي، وتمثيل هذه النقاط ثم حساب مساحة المثلث، وملاحظة أن الناتج يساوي تسعة. ويمكن أن تكون هذه طريقة جيدة للتأكد من صحة الإجابة.

لنتناول الآن طريقة بديلة لحساب مساحة مثلث باستخدام المحددات.

استخدم المحددات لحساب مساحة مثلث رءوسه اثنان، سالب اثنين؛ وأربعة، سالب اثنين؛ وصفر، اثنان عن طريق عرض المثلث في صورة نصف متوازي أضلاع.

إننا نريد إيجاد مساحة المثلث باستخدام المحددات. ولدينا إحداثيات رءوسه. لذلك، يمكننا القيام بذلك مباشرة باستخدام الصيغة التي لدينا. لكن السؤال لم يطلب منا استخدام هذه الصيغة. وإنما يطلب منا أن نفعل ذلك عن طريق عرض المثلث في صورة نصف متوازي أضلاع. للقيام بذلك، سنبدأ برسم النقاط الثلاثة لنتخيل كيف يمكن أن يبدو متوازي الأضلاع. إذا رسمنا النقاط الثلاثة ووصلنا بعضها ببعض، فإننا نحصل على مثلث بهذا الشكل. إذن، يصبح السؤال هو: كيف يمكننا تحويل ذلك إلى متوازي أضلاع؟

قد يبدو أنه لا توجد طريقة لذلك، إلا أن هناك ثلاث طرق بالفعل. فهناك طرق مختلفة للقيام بذلك. تتمثل إحدى هذه الطرق في فعل ذلك هندسيًا. لذا، دعونا نرسم نسخة مطابقة للمثلث. يمكننا تخيل الشكل إذا ألصقنا ضلعين معًا. إذا فعلنا ذلك، فسنحصل على شكل يبدو هكذا. ويمكننا إيجاد إحداثيي هذا الرأس باستخدام ما نعرفه عن المتجهات. هذا متوازي أضلاع مساحته تساوي ضعف مساحة المثلث الأصلي؛ لأنه يتكون من مثلثين متساويين في المساحة. لكن هذا ليس الضلع الوحيد الذي يمكننا اختياره. فعلى سبيل المثال، يمكننا اختيار هذا الضلع. إذا ألصقنا هذين المثلثين معًا على طول هذه الحافة، فسنحصل على شكل يشبه الشكل الآتي. يمكننا هنا أيضًا إيجاد إحداثيي هذا الرأس باستخدام ما نعرفه عن المتجهات.

مرة أخرى، مجموع مساحة هذا المثلث زائد مساحة المثلث المحدد باللون الأخضر يساوي ضعف مساحة المثلث الأصلي. إذن، نحصل على متوازي أضلاع مساحته تساوي ضعف مساحة المثلث. وأخيرًا، يمكننا فعل الشيء نفسه عن طريق إلصاق الحافتين الأخيرتين. وإذا فعلنا ذلك، فسنحصل على نتيجة مشابهة. حيث نحصل على متوازي أضلاع ثالث. ويمكننا إيجاد إحداثيي رأسه. ومساحة متوازي الأضلاع هذا تساوي ضعف مساحة المثلث الأصلي. لا يهم المثلث الذي نختاره. لكن لتسهيل الأمر، سنختار المثال التالي. جدير بالذكر أنه ليس علينا القيام بذلك هندسيًا. حيث يمكنك أيضًا فعل ذلك عن طريق اختيار ضلعين من أضلاع المثلث كمتجه. وهذا سيعطينا النتيجة نفسها.

يطلب منا السؤال إيجاد مساحة متوازي الأضلاع هذا. وذلك باستخدام المحددات. تذكر أننا نعرف كيفية إيجاد مساحة متوازي الأضلاع باستخدام المحددات. إذا عرفنا متوازي الأضلاع بمتجهين لضلعين فيه، وهما ﻡ واحد وﻡ اثنان، فإن مساحته ﻡ تساوي القيمة المطلقة لمحدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين وعناصرها ﻙ، ﻝ، ﻫ، ﻥ، والتي يكون متجها الصفين فيها هما صفي المصفوفة. ويمكننا أيضًا استخدام متجهي العمودين وعمودي المصفوفة بدلًا من ذلك. وهذا لن يغير الإجابة.

إذن، للإجابة عن هذا السؤال، علينا إيجاد المتجهين ﻡ واحد وﻡ اثنين. وهناك طرق مختلفة للقيام بذلك. لنبدأ بإيجاد ﻡ واحد. في المتجه ﻡ واحد، تبدأ المركبة ﺱ من اثنين وتنتهي عند صفر. لذا، فإن المركبة الأفقية أو التغير في ﺱ للمتجه ﻡ واحد يساوي صفرًا ناقص اثنين، وهو ما يساوي بالتأكيد سالب اثنين. يمكننا فعل الشيء نفسه مع المركبة الرأسية. حيث ينتهي الإحداثي ﺹ عند اثنين، ويبدأ من سالب اثنين. فنحصل على اثنين ناقص سالب اثنين، وهو ما يساوي أربعة. إذن ﻡ واحد هو المتجه سالب اثنين، أربعة. يمكننا بعد ذلك فعل الشيء نفسه لإيجاد المتجه ﻡ اثنين. ‏‏ﻡ اثنان يساوي اثنين، صفر.

أصبحنا الآن مستعدين لاستخدام الصيغة. مساحة متوازي الأضلاع تساوي القيمة المطلقة لمحدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين وعناصرها سالب اثنين، أربعة؛ اثنان، صفر، حيث يمثل الصف سالب اثنين، أربعة المتجه ﻡ واحد، بينما يمثل الصف اثنان، صفر المتجه ﻡ اثنين. ويمكننا إيجاد قيمة هذا المقدار. فنحصل على القيمة المطلقة لسالب اثنين في صفر ناقص أربعة في اثنين، وهو ما يساوي ثمانية. لكن تذكر أن هذه هي مساحة متوازي الأضلاع. وهي ضعف مساحة المثلث. لذا، علينا قسمة هذه القيمة على اثنين. إذن، سنقسم على اثنين. وبذلك، نجد أن مساحة المثلث تساوي أربعة.

تجدر الإشارة هنا إلى أنه ليس علينا أبدًا إيجاد الإحداثي الرابع لمتوازي الأضلاع. هذا لأن مساحة متوازي الأضلاع معرفة بالكامل من خلال المتجهات التي تكون متوازي الأضلاع.

دعونا نتناول الآن مثالًا على كيفية حساب مساحة مضلع أكثر تعقيدًا.

انظر إلى الشكل الرباعي الذي رءوسه ﻡ واحد، ثلاثة؛ وﺏ أربعة، اثنان؛ وﺟ ٤٫٥، خمسة؛ وﺩ اثنان، ستة. بتقسيمه إلى مثلثين كما هو موضح، احسب مساحة هذا الشكل الرباعي باستخدام المحددات.

لدينا هنا شكل رباعي محدد بأربعة رءوس موضحة في السؤال. وعلينا حساب مساحته باستخدام المحددات. يمكننا أن نلاحظ من الشكل الموضح أنه ليس متوازي أضلاع. لذا، سنقسم هذا الشكل الرباعي إلى مثلثين وسنحسب مساحة كل مثلث باستخدام المحددات. دعونا نبدأ بتذكر كيفية حساب مساحة المثلث باستخدام المحددات.

إننا نتذكر أنه إذا كنا نعرف إحداثيات رءوس المثلث الثلاثة، فإن مساحته تساوي نصفًا في القيمة المطلقة لمحدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة؛ حيث يمثل كل صف في هذه المصفوفة الزوج الإحداثي لأحد الرءوس، إلى جانب إحداثي إضافي قيمته واحد. ومطلوب منا تقسيم الشكل الرباعي إلى مثلثين؛ المثلث ﻡﺩﺟ والمثلث ﻡﺏﺟ. إذن، علينا تطبيق هذه الصيغة على كلا المثلثين.

فلنبدأ بإيجاد مساحة المثلث ﻡﺏﺟ، والتي سنكتبها في صورة ﻡﺏﺟ فقط. من الصيغة التي لدينا، علينا معرفة إحداثيات هذه الرءوس الثلاثة، وهي معطاة في السؤال. إذن، نكتب هذه الإحداثيات في المصفوفة ثم نضيف عمودًا آخر عناصره قيمتها واحد. وهذا يعطينا المقدار الآتي الذي يعبر عن مساحة المثلث ﻡﺏﺟ.

لإيجاد قيمة هذا المقدار، علينا حساب المحدد. وسنفعل ذلك عن طريق فك المحدد باستخدام العمود الثالث. أولًا، نوجد الإشارة التي علينا ضربها في كل عمود من هذه الأعمدة. فنحصل على موجب، سالب، موجب. إذن، المعاملات الثلاثة هي موجب واحد وسالب واحد وموجب واحد. بعد ذلك، علينا إيجاد محددات المصفوفات الصغرى الثلاثة. بحذف الصف الأول والعمود الثالث، نحصل على المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين وعناصرها أربعة، اثنان؛ ٤٫٥، خمسة. بعد ذلك، علينا أن نطرح محدد المصفوفة الصغرى الثانية. وأخيرًا، علينا جمع محدد المصفوفة الصغرى الثالثة. وهذا يعطينا المقدار الآتي الذي يساوي مساحة المثلث ﻡﺏﺟ.

كل ما علينا فعله الآن هو إيجاد قيمة كل محدد من هذه المحددات الثلاثة. لنبدأ بالمحدد الأول. حيث يصبح لدينا أربعة في خمسة ناقص ٤٫٥ في اثنين. وهذا يساوي ٢٠ ناقص تسعة، وهو ما يعطينا ١١. بحساب المحدد الثاني وتبسيطه، نحصل على خمسة ناقص ثلاثة في ٤٫٥، وهو ما يساوي سالب ١٧ على اثنين. لكن تذكر أننا نطرح هذه القيمة. وأخيرًا، علينا حساب المحدد الثالث. إنه يساوي اثنين في واحد ناقص ثلاثة في أربعة. وهذا يساوي اثنين ناقص ١٢؛ أي يساوي سالب ١٠. وهذا يعطينا مساحة ﻡﺏﺟ التي تساوي نصفًا في القيمة المطلقة لـ ١١ ناقص سالب ١٧ على اثنين زائد سالب ١٠. وإذا أوجدنا قيمة هذا المقدار، فسنجد أنه يساوي ١٩ على أربعة.

دعونا نتابع الحل ونفعل الشيء نفسه لإيجاد مساحة المثلث ﻡﺩﺟ. لكن هذه المرة، الرءوس الثلاثة هي ﻡ وﺟ وﺩ. تذكر أنه لاستخدام الصيغة التي لدينا، فإننا نكتب هذه الأزواج الإحداثية في المصفوفة ثم نكتب إحداثيًا إضافيًا قيمته واحد. فنجد أن مساحة ﻡﺩﺟ تساوي المقدار الآتي. وسنوجد قيمة ذلك بالطريقة نفسها. سنفك المحدد باستخدام العمود الثالث. وبالطبع، العمود الثالث سيكون موجبًا، سالبًا، موجبًا. لذا، علينا البدء بجمع محدد المصفوفة الصغرى الأولى عن طريق حذف الصف الأول والعمود الثالث. وهي المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين وعناصرها ٤٫٥، خمسة؛ اثنان، ستة. بعد ذلك، علينا طرح محدد المصفوفة الصغرى الثانية عن طريق حذف الصف الثاني والعمود الثالث. وهي المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين وعناصرها واحد، ثلاثة، اثنان، ستة. ونجمع بعد ذلك محدد المصفوفة الصغرى الثالثة، فنحصل على المقدار التالي الذي يعبر عن مساحة المثلث ﻡﺩﺟ.

والآن، كل ما علينا فعله هو إيجاد قيمة كل من هذه المحددات. المحدد الأول هو ستة في ٤٫٥ ناقص اثنين في خمسة، وهو ما يساوي ١٧. المحدد الثاني هو ستة في واحد ناقص اثنين في ثلاثة، وهو ما يساوي صفرًا. وبإيجاد قيمة المحدد الثالث، نحصل على سالب ١٧ على اثنين. وأخيرًا، يمكننا إيجاد قيمة هذا المقدار. فهو يساوي نصفًا في القيمة المطلقة لـ ١٧ ناقص ١٧ على اثنين، وهو ما يعطينا ١٧ على أربعة.

تذكر أن مساحة الشكل الرباعي لدينا ستساوي مجموع هاتين القيمتين. وإذا جمعنا هاتين القيمتين معًا ثم بسطنا الناتج، فإننا نجد أن مساحة الشكل الرباعي تساوي تسعة. هناك أمر مثير للاهتمام وجدير بالملاحظة فيما يخص هذه الصيغة. ماذا سيحدث إذا كانت مساحة المثلث تساوي صفرًا؟

حسنًا، لكي تكون المساحة مساوية لصفر، يجب ألا تعبر عن مساحة مثلث على الإطلاق. وبما أن المثلث يتكون من ثلاث نقاط لا تقع على الخط نفسه، فهذا يعني أن النقاط الثلاثة يجب أن تقع على خط واحد. بعبارة أخرى، تكون هذه النقاط على استقامة واحدة. لكن لننظر الآن إلى الصيغة التي لدينا. الجزء الوحيد الذي يمكن أن يساوي صفرًا في الصيغة هو محدد هذه المصفوفة. وهذه طريقة للتأكد من وقوع النقاط الثلاثة على استقامة واحدة.

لنلق نظرة على النقاط الرئيسية في هذا الفيديو. أولًا، أوضحنا أنه يمكننا إيجاد مساحة متوازي الأضلاع إذا كانت أضلاعه هي المتجهات ﻙ، ﻝ، ﻫ، ﻥ باعتبارها القيمة المطلقة لمحدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين وعناصرها ﻙ، ﻝ، ﻫ، ﻥ. عرفنا أيضًا أنه يمكننا استخدام متجهي العمودين بدلًا من ذلك. كما تعلمنا كيفية إيجاد مساحة مثلث بمعلومية إحداثيات رءوسه باستخدام المحددات. وعرفنا أيضًا أنه إذا كانت مساحة المثلث تساوي صفرًا، فيجب أن تقع رءوسه على استقامة واحدة. وهذه طريقة للتأكد من وقوع ثلاث نقاط على استقامة واحدة. وأخيرًا، عرفنا أنه يمكننا إيجاد مساحة المضلعات الأكثر تعقيدًا إذا تمكنا من تقسيم هذه المضلعات إلى مثلثات.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.