فيديو السؤال: إيجاد مساحة المضلعات المنتظمة الرياضيات • الصف الأول الثانوي

نسخة الفيديو النصية

أي من الآتي يمثل الصيغة التي تستخدم لحساب مساحة مضلع منتظم عدد أضلاعه ﻥ وطول كل منها ﺱ؟ الخيار (أ) ﻥﺱ تربيع مقسومًا على أربعة في ظتا ‏𝜋‏ على ﻥ. الخيار (ب) ﻥﺱ تربيع مقسومًا على أربعة في ظا ‏𝜋‏ على ﻥ. الخيار (ج) ﻥﺱ تربيع مقسومًا على اثنين ظا ‏𝜋‏ على ﻥ. الخيار (د) ﻥﺱ مقسومًا على أربعة ظا ‏𝜋‏ على ﻥ. الخيار (هـ) ﻥﺱ تربيع مقسومًا على أربعة في ظا ‏𝜋‏.

في هذا السؤال، مطلوب منا تذكر أي من الخيارات الخمسة المعطاة يمثل الصيغة التي تستخدم لحساب مساحة مضلع منتظم عدد أضلاعه ﻥ وطول كل منها ﺱ. وبالطبع، يمكننا الإجابة عن هذا السؤال من خلال استرجاع صيغة مساحة المضلع المنتظم. نتذكر أن مساحة مضلع منتظم عدد أضلاعه ﻥ وطول كل منها ﺱ وزاويته الداخلية مقيسة بوحدة الراديان تعطى بالصيغة ﻥﺱ تربيع على أربعة مضروبًا في ظتا ‏𝜋‏ على ﻥ.

وهذه الصيغة لا تتطابق تمامًا مع أي من الخيارات الخمسة المعطاة. لكن يمكننا إعادة كتابة هذه الصيغة من خلال تذكر أن الضرب في ظل تمام زاوية ما يكافئ القسمة على ظل هذه الزاوية. ومن ثم، نحصل على ﻥﺱ تربيع مقسومًا على أربعة في ظا ‏𝜋‏ على ﻥ، ويمكننا ملاحظة أن هذا يتوافق مع الخيار (ب). يمكننا التوقف عند هذه النقطة لأنه من المهم للغاية أن نحفظ هذه الصيغة جيدًا. لكن من المهم أيضًا أن نعرف من أين أتت هذه الصيغة.

إذن، هيا نستنتج هذه الصيغة من خلال تناول شكل خماسي منتظم طول ضلعه ﺱ. وقبل أن نبدأ بهذا الإثبات، يجدر بنا ملاحظة أنه يمكن تعميم هذا الإثبات على أي مضلع منتظم عدد أضلاعه ﻥ. ولكننا سنفترض أن لدينا مضلعًا خماسيًّا في هذه الحالة. لإيجاد مساحة هذا المضلع الخماسي، سنقسمه إلى خمسة مثلثات. وسنفعل ذلك عن طريق توصيل كل من رءوس هذا المضلع الخماسي بالمركز. وهنا، سيكون أمامنا العديد من الطرق المختلفة لإثبات أن جميع هذه المثلثات الخمسة متطابقة.

وإحدى هذه الطرق تتمثل في ملاحظة أن كل خط يمتد من الرأس إلى مركز المضلع الخماسي هو منصف للزاوية الداخلية للمضلع. وعليه، فإن جميع هذه الزوايا متساوية في القياس. ونعلم بالطبع أن لدينا مضلعًا خماسيًّا منتظمًا. إذن، أطوال جميع أضلاعه الخمسة تساوي ﺱ. وباستخدام مسلمة التطابق بزاويتين والضلع المحصور بينهما يمكننا إثبات أن هذه المثلثات الخمسة متطابقة. وعلى وجه التحديد، يمكننا أيضًا إثبات أن جميع هذه المثلثات الخمسة متساوية الساقين لأن كلًّا منها يتضمن زاويتين متساويتين في القياس. وبما أن هذه المثلثات الخمسة تشكل المضلع الخماسي وجميع المثلثات متطابقة، فإن مساحة المضلع الخماسي تساوي خمسة في مساحة أحد هذه المثلثات.

ويمكننا تذكر أن مساحة المثلث تساوي نصف طول القاعدة مضروبًا في ارتفاعه العمودي. باستخدام طول أحد الأضلاع ﺱ باعتباره قاعدة هذا المثلث، فإن مساحة أحد هذه المثلثات تساوي نصفًا في ﺱ مضروبًا في ﻉ. لإيجاد قيمة ﻉ، علينا إيجاد قياس الزاوية الواقعة عند مركز هذا المضلع الخماسي. نحن نعلم أن المثلثات الخمسة كلها متطابقة، ما يعني أن جميع الزوايا الخمس الواقعة عند مركز هذا المضلع الخماسي متساوية في القياس. وبما أن مجموع قياسات الزوايا الخمس يساوي دورة كاملة، فإن مجموع قياسها يساوي اثنين ‏𝜋‏. هذا يعني أن قياس كل زاوية لا بد أن يساوي اثنين ‏𝜋‏ على خمسة.

يمكننا الآن استخدام ذلك لإيجاد قياس إحدى زوايا المثلث القائم الزاوية الذي يتضمن ﻉ. علينا استخدام حقيقة أن العمود المنصف في مثلث متساوي الساقين ينصف الزاوية. إذن، قياس هذه الزاوية يساوي اثنين ‏𝜋‏ على خمسة مقسومًا على اثنين، وهو ما يساوي ‏𝜋‏ على خمسة. يمكننا رسم المثلث القائم الزاوية كما هو موضح. تذكر أننا نريد استخدام كل هذا لإيجاد تعبير يدل على ﻉ. لدينا الآن مثلث قائم الزاوية، ونعلم قياس إحدى زوايا هذا المثلث وطول أحد أضلاعه. وعلينا إيجاد طول ضلع آخر لهذا المثلث. يمكننا فعل ذلك باستخدام حساب المثلثات.

ولتطبيق حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية، علينا أولًا تسمية أضلاع هذا المثلث القائم الزاوية بالنسبة إلى الزاوية ‏𝜋‏ على خمسة. سنبدأ بتسمية الضلع المقابل للزاوية ‏𝜋‏ على خمسة. وهو الضلع الذي طوله ﺱ على اثنين. بعد ذلك، الضلع المقابل للزاوية القائمة هو الضلع الأطول في هذا المثلث القائم الزاوية. وهذا يعني أنه الوتر. وأخيرًا، الضلع المتبقي المجاور للزاوية ‏𝜋‏ على خمسة هو الضلع المجاور. لذا نريد إيجاد النسبة المثلثية التي تتضمن الضلع المقابل والضلع المجاور في المثلث القائم الزاوية. وهي دالة الظل.

حسنًا، بتذكر أن ظا 𝜃 يساوي طول الضلع المقابل مقسومًا على طول الضلع المجاور في المثلث القائم الزاوية، يمكننا التعويض عن 𝜃 بـ ‏𝜋‏ على خمسة. طول الضلع المقابل هو ﺱ على اثنين، وطول الضلع المجاور يساوي ﻉ. من ثم، يصبح لدينا ظا ‏𝜋‏ على خمسة يساوي ﺱ على اثنين مقسومًا على ﻉ.

نريد الآن إعادة ترتيب هذه المعادلة لإيجاد تعبير لـ ﻉ. نضرب طرفي المعادلة في ﻉ، ونقسم كلا الطرفين على ظا ‏𝜋‏ على خمسة. وهذا يعطينا ﻉ يساوي ﺱ مقسومًا على اثنين في ظا ‏𝜋‏ على خمسة.

والآن يمكننا التعويض بهذا التعبير الخاص بـ ﻉ في صيغة المساحة. لكن الطريقة الأسرع هي ضرب هذه المساحة في خمسة؛ لأننا نتذكر أن خمسة في هذه المساحة يساوي مساحة المضلع الخماسي المنتظم. إذن، بضرب طرفي هذه المعادلة في خمسة والتعويض بالتعبير الخاص بـ ﻉ، نجد أن مساحة المضلع الخماسي المنتظم تساوي خمسة على اثنين في ﺱ مضروبًا في ﺱ مقسومًا على اثنين ظا ‏𝜋‏ على خمسة. وهذا يعطينا خمسة ﺱ تربيع مقسومًا على أربعة ظا ‏𝜋‏ على خمسة. ويمكننا ملاحظة أن هذا يتطابق تمامًا مع التعبير المذكور بالخيار (ب)، حيث ﻥ يساوي خمسة.

تجدر الإشارة هنا إلى أن هذا الإثبات يمكن تعميمه على أي مضلع له عدد ﻥ من الأضلاع. وربما يكون الاختلافان الوحيدان في أن يكون لدينا العدد ﻥ من المثلثات المتطابقة، وأن قياس الزاوية الداخلية يساوي اثنين ‏𝜋‏ على ﻥ. وفي هذه الحالة، عندما نوجد المثلثات القائمة الزاوية بالمضلع، فإن قياس الزاوية التي نعرفها سيساوي ‏𝜋‏ مقسومًا على ﻥ. بعد ذلك، عند إيجاد تعبير لـ ﻉ، فإننا سنجد أن ﻉ يساوي ﺱ مقسومًا على اثنين في ظا ‏𝜋‏ على ﻥ. وأخيرًا، بعد إيجاد مساحة المضلع المنتظم الذي عدد أضلاعه ﻥ، سيتعين علينا ضرب التعبير في ﻥ. وبتطبيق كل هذه التغييرات على الإثبات لدينا، كنا سنثبت أن الصيغة المستخدمة لحساب مساحة مضلع منتظم عدد أضلاعه ﻥ وطول كل منها ﺱ هي ﻥﺱ تربيع مقسومًا على أربعة ظا ‏𝜋‏ على ﻥ، وهو الخيار (ب) أيضًا.