نسخة الفيديو النصية
متسلسلة هندسية حدها الأول ثلاثة، وأساس المتتابعة خمسة. أوجد مجموع أول ستة حدود.
حسنًا، المتسلسلة الهندسية هي متسلسلة توجد نسبة مشتركة (أو ما يعرف بأساس المتتابعة) بين حدودها. ولدينا صيغة عامة لإيجاد أي حد في متسلسلة هندسية. وتوضح الصيغة العامة أن ﺣﻥ يساوي ﺃ مضروبًا في ﺭ أس ﻥ ناقص واحد، حيث ﻥ هو رقم الحد، وﺃ هو الحد الأول، وﺭ هو أساس المتتابعة. حسنًا، نحن نعرف الآن المقصود بالمتسلسلة الهندسية، كما نعرف الصيغة العامة. دعونا نر ما المطلوب إيجاده.
مطلوب منا في هذا السؤال إيجاد مجموع الحدود الستة الأولى. ويمكننا فعل ذلك بطريقتين. الطريقة الأولى التي سنستخدمها هي استخدام صيغة. وتخبرنا هذه الصيغة أن مجموع أول عدد ﻥ من الحدود يساوي ﺃ مضروبًا في واحد ناقص ﺭ أس ﻥ على واحد ناقص ﺭ. حسنًا، في هذه المسألة، ﺃ يساوي ثلاثة؛ لأن الحد الأول هو ثلاثة. وﺭ يساوي خمسة. وذلك لأن أساس المتتابعة هو خمسة. وﻥ يساوي ستة؛ لأننا نريد إيجاد مجموع الحدود الستة الأولى.
ومن ثم، إذا عوضنا بهذه القيم، فسيصبح لدينا مجموع الحدود الستة الأولى يساوي ثلاثة مضروبًا في واحد ناقص خمسة أس ستة على واحد ناقص خمسة. وهذا يساوي ثلاثة في سالب ١٥٦٢٤ على سالب أربعة، ما يساوي ١١٧١٨. ومن ثم، يمكننا قول إن مجموع الحدود الستة الأولى هو ١١٧١٨. حسنًا، لقد فعلنا ذلك باستخدام الصيغة. وكانت هذه هي الطريقة الأولى. ولكننا ذكرنا أن هناك طريقة أخرى يمكننا استخدامها.
الطريقة الأخرى هي إيجاد الحدود الستة الأولى ثم جمعها معًا. إننا نعلم أن الحد الأول ﺃ، أو ﺣ واحد، يساوي ثلاثة. إذن، إذا استخدمنا الصيغة العامة التي لدينا لإيجاد الحد الثاني، فسنجد أن ﺣ اثنين، أي الحد الثاني، يساوي ثلاثة. وهذه هي قيمة ﺃ، أي الحد الأول؛ مضروبة في خمسة، وهو أساس المتتابعة؛ أس اثنين ناقص واحد. وقد كتبنا اثنين لأن ترتيب الحد هو الثاني، لذا كتبنا اثنين، ثم ناقص واحد.
إذن، هذا يعني أن هذا الحد سيساوي ثلاثة مضروبًا في خمسة. وهذا لأن اثنين ناقص واحد يساوي واحدًا. وخمسة أس واحد يساوي خمسة، وذلك يعطينا ١٥. إذن، هذا هو الحد الثاني. والآن، يمكننا الانتقال إلى الحد الثالث. حسنًا، الحد الثالث يساوي ثلاثة في خمسة أس ثلاثة ناقص واحد، وهو ما يساوي ثلاثة مضروبًا في خمسة تربيع. وبما أن خمسة تربيع يساوي ٢٥، فسيصبح لدينا ثلاثة مضروبًا في ٢٥، ما يساوي ٧٥.
لدينا بعد ذلك، الحد الرابع يساوي ثلاثة مضروبًا في خمسة أس أربعة ناقص واحد، وهو ما يساوي ثلاثة مضروبًا في خمسة تكعيب. وخمسة تكعيب يساوي ١٢٥؛ أي إن ثلاثة مضروبًا في ١٢٥ يساوي ٣٧٥. وبعد ذلك، يكون الحدان التاليان هما ١٨٧٥، أي ثلاثة في خمسة أس أربعة؛ و٩٣٧٥، أي ثلاثة في خمسة أس خمسة. إذن، كل ما علينا فعله الآن هو جمع هذه القيم معًا.
لدينا ثلاثة زائد خمسة يساوي ثمانية، زائد خمسة يساوي ١٣، زائد خمسة يساوي ١٨، زائد خمسة يساوي ٢٣، زائد خمسة، يساوي ٢٨. إذن، نضع ثمانية ثم نحتفظ باثنين. ثم لدينا واحد وسبعة، ومجموعهما يساوي ثمانية. زائد سبعة يساوي ١٥. زائد سبعة يساوي ٢٢. زائد سبعة يساوي ٢٩. زائد اثنين يساوي ٣١. إذن، نضع واحدًا في خانة العشرات ونحتفظ بثلاثة. ولدينا بعد ذلك، ثلاثة زائد ثمانية، ما يساوي ١١. زائد ثلاثة يساوي ١٤. زائد ثلاثة، وهو ما يساوي ١٧. إذن، نضع سبعة ونحتفظ بواحد. ثم لدينا واحد زائد تسعة يساوي ١٠، زائد واحد. وبذلك نحصل على ناتج نهائي يساوي ١١٧١٨، وهو الناتج نفسه الذي حصلنا عليه باستخدام الطريقة الأولى. إذن، مجموع الحدود الستة الأولى هو ١١٧١٨.
