فيديو السؤال: كتابة المعادلات الخطية في صورتها القياسية

نسخة الفيديو النصية

أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين واحد، واحد وثلاثة، أربعة. وضح إجابتك في الصورة القياسية.

تكتب معادلات الخط المستقيم عادة في صورة: 𝑦 يساوي 𝑚𝑥 زائد 𝑏، حيث 𝑚 هو ميل هذا الخط و𝑏 يساوي الجزء المقطوع من المحور 𝑦. هذا يعني أننا سنحتاج إلى معرفة الميل والجزء المقطوع من المحور 𝑦 لكتابة هذه المعادلة. صيغة إيجاد الميل بين نقطتين هي 𝑦 اثنان ناقص 𝑦 واحد على 𝑥 اثنين ناقص 𝑥 واحد. التغير في 𝑦 على التغير في 𝑥. دعونا نبدأ من هنا.

يمكننا أن نسمي النقطتين: النقطة الأولى 𝑥 واحد، 𝑦 واحد والنقطة الثانية 𝑥 اثنان، 𝑦 اثنان. نعوض بالمعلومات المعطاة. ‏𝑦 اثنان ناقص 𝑦 واحد يصبح أربعة ناقص واحد. و𝑥 اثنان ناقص 𝑥 واحد يصبح ثلاثة ناقص واحد. أربعة ناقص واحد يساوي ثلاثة. ثلاثة ناقص واحد يساوي اثنين. الميل يساوي ثلاثة على اثنين. دعونا نستخدم صيغة الميل والمقطع لإيجاد الجزء المقطوع من المحور 𝑦.

‏𝑦 يساوي ثلاثة على اثنين 𝑥 زائد 𝑏. سنأخذ إحدى النقطتين ونعوض بها عن 𝑥 و𝑦. لا يهم أي النقطتين نستخدم طالما التزمنا باستخدامها. علينا استخدام إحداثي 𝑥 وإحداثي 𝑦 لنفس النقطة. إذا استخدمنا 𝑥 اثنين، 𝑦 اثنين، فإن أربعة يساوي ثلاثة على اثنين في ثلاثة زائد 𝑏. ثلاثة على اثنين في ثلاثة يساوي تسعة على اثنين. نكتب زائد 𝑏 بالأسفل. ثم نكتب الأربعة.

نحاول إيجاد قيمة 𝑏، ما يعني أن علينا تحريك تسعة على اثنين إلى الطرف الآخر من المعادلة. نطرح تسعة على اثنين من كلا الطرفين. يمكن كتابة أربعة ناقص تسعة على اثنين في صورة ثمانية على اثنين ناقص تسعة على اثنين. ثمانية على اثنين ناقص تسعة على اثنين يساوي سالب نصف، ما يساوي 𝑏.

بالعودة إلى صيغة الميل والمقطع، نعوض بثلاثة على اثنين هنا. والجزء المقطوع من المحور 𝑦، وهو سالب نصف، عوضنا به عن 𝑏. علينا أن نكون حريصين هنا لأن صيغة الجزء المقطوع من المحور 𝑦 ليست هي الصورة القياسية للمعادلات الخطية. تكتب المعادلات الخطية في الصورة القياسية وفقًا للنمط 𝐴𝑥 زائد 𝐵𝑦 يساوي 𝐶. والآن علينا أن نأخذ صيغة الميل والمقطع ونحولها إلى الصورة القياسية لنحصل على القيمة الثابتة بمفردها.

يمكنني فعل ذلك عن طريق طرح ثلاثة على اثنين 𝑥 من طرفي المعادلة. على اليمين، نحذفهما معًا ليتبقى لنا سالب نصف يساوي 𝑦 ناقص ثلاثة على اثنين 𝑥. سنكتبها بالأعلى لنفسح المكان هنا. وهناك شيء آخر علينا أن نعرفه عن 𝐴، و𝐵، و𝐶، وهو أن هذه القيم يجب أن تكون أعدادًا صحيحة. يجب ألا تكون كسورًا. قيمتا 𝐵 و𝐶 لدينا في المعطيات في صورة كسور. لكن إذا ضربنا كلا طرفي المعادلة في اثنين، يمكننا التخلص من هذه الكسور.

‏𝑦 في اثنين يساوي اثنين 𝑦. ثلاثة على اثنين في اثنين يساوي ثلاثة. سالب نصف في اثنين يساوي سالب واحد. الشيء التالي الذي لاحظناه في الصورة القياسية هو أننا نضيف 𝐴𝑥 زائد 𝐵𝑦. في معادلتنا، نطرح حد 𝑥 من حد 𝑦. نريد أن يكون حد 𝑥 هو الحد الرئيسي. ونريده أن يكون موجبًا. نريد أن تكون قيمة 𝐴 موجبة. إذن، نضرب كلا طرفي المعادلة في سالب واحد. سالب واحد في اثنين 𝑦 يساوي سالب اثنين 𝑦. سالب واحد في سالب ثلاثة 𝑥 يساوي موجب ثلاثة 𝑥. سالب واحد في سالب واحد يساوي واحد. خطوتنا الأخيرة هنا ستكون تبديل مكان حدي 𝑥 و𝑦.

لدينا الآن ثلاثة 𝑥 ناقص اثنين 𝑦 يساوي واحد. الصورة القياسية لمعادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين واحد، واحد وثلاثة، أربعة هي ثلاثة 𝑥 ناقص اثنين 𝑦 يساوي واحد. تذكر أن ما نبحث عنه هنا هو حد 𝑥 موجب. ويجب أن يكون كل من 𝐴، و𝐵، و𝐶 أعدادًا صحيحة. لا يمكن أن تكون كسورًا.