فيديو السؤال: إيجاد معادلة المماس للمنحنى المعرف ضمنيًّا عند نقطة باستخدام الاشتقاق الضمني الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد معادلة المماس للمنحنى تسعة ﺱ تكعيب ناقص ستة ﺱ تربيع زائد ستة ﺱ ناقص ﺹ تربيع ناقص ﺹ زائد اثنين يساوي صفرًا عند النقطة صفر، واحد.

نحن نريد معرفة معادلة خط المماس للمنحنى، وهذا يتطلب منا معرفة ميله وهو ما نتوصل إليه عن طريق اشتقاق المعادلة المعطاة. ومعرفة ميل خط المماس ليس كافيًا لمعرفة معادلته. ولكن تذكر المسألة النقطة التي يكون عندها الخط مماسًّا للمنحنى. وبالتالي يمر خط المماس عبر هذه النقطة. وهكذا بعد إيجادنا لميل خط المماس، يمكننا استخدام هذه النقطة لإيجاد معادلة خط المماس بصيغة الميل ونقطة.

حسنًا، لنوجد أولًا الميل. نقوم بذلك عن طريق اشتقاق معادلة المنحنى ضمنيًّا بالنسبة إلى ﺱ. وبعبارة أخرى، فإننا نشتق طرفي المعادلة بالنسبة إلى ﺱ. ونجد أن إيجاد مشتقات الحدود الثلاثة الأولى أمر بسيط. فنستخدم حقيقة أن مشتقة ﺃﺱ أس ﻥ بالنسبة إلى ﺱ تساوي ﺃ في ﻥ في ﺱ أس ﻥ ناقص واحد. وهكذا، نحصل على ٢٧ﺱ تربيع ناقص ١٢ﺱ زائد ستة.

لكن مشتقة ﺹ تربيع بالنسبة إلى ﺱ صعبة بعض الشيء. فعلينا تطبيق قاعدة السلسلة. لنفترض أن ﺩ تساوي ﺹ تربيع، وعندها سنحصل على ﺩ على ﺩﺹ في المتغير ﺹ تربيع في ﺩﺹ على ﺩﺱ وﺩ على ﺩﺹ في المتغير ﺹ تربيع يساوي اثنين ﺹ. وبوضع كل هذا معًا، نحصل على اثنين ﺹ في ﺩﺹ على ﺩﺱ. ومشتقة ﺹ بالنسبة إلى ﺱ أسهل بكثير. فهي مجرد ﺩﺹ على ﺩﺱ. ومشتقة اثنين بالنسبة إلى ﺱ هي صفر، تمامًا مثل مشتقة الصفر بالنسبة إلى ﺱ.

والآن أصبح لدينا معادلة تحتوي على ﺩﺹ على ﺩﺱ. ويمكننا إعادة ترتيبها لمحاولة إيجاد قيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ. ونفعل هذا عن طريق أخذ العامل المشترك لـ ﺩﺹ على ﺩﺱ من الحدين اللذين يحتويان عليه، ولنتذكر أن نتعامل بحرص مع علامات الطرح. والآن نود أن نطرح الحدود الأخرى لنجعلها في الطرف الآخر. وأخيرًا، نقسم على سالب اثنين ﺹ زائد واحد. وهكذا نحصل على قيمة ﺩﺹ على ﺩﺱ بدلالة ﺱ وﺹ.

نحن نريد معرفة معادلة المماس عند النقطة صفر، واحد. إذن نجد أن قيمة ﺱ تساوي صفرًا وقيمة ﺹ تساوي واحدًا. وبالتعويض نحصل على التالي. وبالتبسيط نحصل على سالب ستة على سالب ثلاثة، وهذا يساوي اثنين. إذن فإن ميل المماس هو اثنان. وبعد إيجاد ميل المماس، نستخدمه مع حقيقة أن المماس يمر بالنقطة صفر، واحد، لإيجاد معادلة المماس.

هذه هي المعادلة العامة للخط المستقيم، الذي يمر عبر النقطة ﺱ صفر، ﺹ صفر، وميله ﻡ. وبالتعويض بالقيم الموجودة لدينا نجد أن ﺹ ناقص واحد يساوي اثنين في ﺱ ناقص صفر. وعليه فإن ﺹ ناقص واحد يساوي اثنين ﺱ أو بإعادة الترتيب، نحصل على ﺹ ناقص اثنين ﺱ ناقص واحد يساوي صفرًا.

وكالمعتاد، نجد معادلة المماس للمنحنى من خلال اشتقاق معادلة المنحنى أولًا لإيجاد ميل المماس. ومن ثم، نستخدم قيمة المنحدر مع نقطة تماس المنحنى مع المماس في معادلة نقطة الميل للخط المستقيم.