فيديو: إيجاد الحجوم باستخدام طريقة الشرائح

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيفية استخدام التكامل لإيجاد حجم مجسم باستخدام مقطع عرضي متغير.

١٥:٥٩

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الدرس، سوف نتعلم كيفية استخدام التكامل لإيجاد حجم مجسم باستخدام مقطع عرضي متغير. سنستخدم ما يسمى بطريقة الشرائح وسنبدأ بتذكير أنفسنا ببعض الأفكار التي يتعين علينا تطبيقها. وسوف نناقش كيفية استخدام هذه الطريقة ومواضع استخدامها. بعد ذلك، سنستعرض بعض الأمثلة.

نعلم أن المساحة هي قياس الحيز الذي تغطيه منطقة أو شكل ثنائي الأبعاد. على سبيل المثال، المستطيل الذي طولا ضلعيه ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏، مساحته تساوي ‪𝑎‬‏ في ‪𝑏‬‏. والدائرة التي نصف قطرها ‪𝑟‬‏، مساحتها تساوي ‪𝜋𝑟‬‏ تربيع. وشبه المنحرف الذي طولا ضلعيه ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ وارتفاعه ‪ℎ‬‏، مساحته تساوي ‪ℎ‬‏ على اثنين في ‪𝑎‬‏ زائد ‪𝑏‬‏. وتذكر أن المساحة تقاس بالوحدات المربعة.

الحجم هو قياس نستخدمه لإيجاد مقدار الحيز الذي يشغله مجسم في فضاء ثلاثي الأبعاد. على سبيل المثال، متوازي المستطيلات الذي أحرفه ‪𝑎‬‏، و‪𝑏‬‏، و‪ℎ‬‏، حجمه يساوي ‪𝑎‬‏ في ‪𝑏‬‏ في ‪ℎ‬‏. والكرة التي نصف قطرها ‪𝑟‬‏، حجمها يساوي أربعة على ثلاثة ‪𝜋𝑟‬‏ تكعيب. والأسطوانة الدائرية التي نصف قطرها ‪𝑟‬‏ وارتفاعها ‪ℎ‬‏، حجمها يساوي ‪𝜋𝑟‬‏ تربيع في ‪ℎ‬‏. تذكر أن الحجم يقاس بالوحدات المكعبة.

نعلم أيضًا أنه إذا كان لدينا منحنيا الدالتين ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ و‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏، ونريد إيجاد المساحة بين المنحنيين لقيم ‪𝑥‬‏ الواقعة بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏، فإن المساحة تساوي التكامل من ‪𝑎‬‏ إلى ‪𝑏‬‏ لـ ‪𝑓‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑔‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. سنوسع نطاق هذه الفكرة ونستخدم التكامل المحدد لإيجاد حجوم المجسمات ثلاثية الأبعاد.

يمكننا فعل ذلك من خلال تقسيم المجسم إلى عدد لا نهائي من المقاطع العرضية، واستخدام التكامل لإيجاد مجموع مساحات المقاطع العرضية أو الشرائح. إذن، حجم شكل ثلاثي الأبعاد يساوي التكامل المحدد لمساحة المقاطع العرضية بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. لكن، قبل أن نبدأ بإيجاد التكامل، دعونا ندقق النظر في كيفية إجراء ذلك هندسيًا.

لدينا هنا أسطوانة لها قاعدتان نصف دائريتين متوازيتين ومتعامدتين على الجانب. وطول الجانب يساوي ‪ℎ‬‏. إذا أخذنا مقطعًا عرضيًا من أي مكان على طول ‪ℎ‬‏، فإن مساحات جميع المقاطع العرضية تكون متساوية. والحجم يساوي مساحة المقطع العرضي مضروبًا في الطول ‪ℎ‬‏. ومن ثم يكون إيجاد الحجم سهلًا إذا كانت مساحة المقطع العرضي ثابتة؛ وبذلك تكون لدينا صيغة للمساحة. أما إذا كانت مساحة المقاطع العرضية للمجسم غير ثابتة، فيمكننا استخدام طريقة الشرائح والتكامل المحدد لحساب الحجم. لنر كيف يمكننا القيام بذلك.

افترض أن لدينا دائرة معرفة بالمعادلة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي ‪𝑟‬‏ تربيع ويقع مركزها عند نقطة الأصل. الدائرة هي قاعدة المجسم. الآن، افترض أن المقاطع العرضية عبارة عن مثلثات متساوية الأضلاع أحد أحرفها وتر في الدائرة. والمقاطع العرضية عمودية على المحور ‪𝑥‬‏. لإيجاد حجم المجسم الذي ينشأ عن هذه المثلثات، والذي قاعدته على شكل الدائرة، سنجعل ‪𝐴‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ هي مساحة المثلث الذي يقطع المحور ‪𝑥‬‏ عند النقطة ‪𝑥‬‏. وتتغير مساحة المثلث بتغير قيمة ‪𝑥‬‏.

إذا قسمنا المجسم إلى شرائح ذات مقاطع عرضية؛ حيث يكون عرض كل شريحة ‪𝛥𝑥‬‏، وإذا أسمينا هذه الشريحة ‪𝑆𝑖‬‏، فإن حجم هذه الشريحة يساوي تقريبًا مساحة المقطع العرضي عند ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑥𝑖‬‏ ستار في ‪𝛥𝑥‬‏. حيث ‪𝑥𝑖‬‏ ستار هي نقطة عينة تقع بين ‪𝑥𝑖‬‏ ناقص واحد و‪𝑥𝑖‬‏. ومن ثم، فإن القيمة التقديرية لإجمالي حجم المجسم تساوي مجموع حجوم هذه المقاطع العرضية للشرائح التي عددها ‪𝑛‬‏. هذه مجرد قيمة تقديرية بالتأكيد. وكلما زاد عدد المقاطع العرضية للشرائح ‪𝑛‬‏، وقلت قيمة ‪𝛥𝑥‬‏، قل سمكها أكثر وأكثر.

وعليه، فإننا نعرف حجم المجسم بالكامل على أنه نهاية هذا المجموع حيث يقترب ‪𝑛‬‏ من ما لا نهاية. نعلم أن هذه هي نهاية مجموع ريمان، وهي عبارة عن تكامل محدد. يمكننا الآن تعريف حجم المجسم ‪𝑆‬‏ ما بين ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ و‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑏‬‏، الذي مساحة المقطع العرضي له ‪𝐴‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ عمودية على المحور ‪𝑥‬‏، حيث ‪𝐴‬‏ دالة متصلة، على أنه التكامل ما بين ‪𝑎‬‏ و‪𝑏‬‏ للدالة ‪𝐴‬‏ لـ ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏.

من المهم تذكر أن هذا هو حجم المجسم عندما تكون مساحة المقطع العرضي عمودية على المحور ‪𝑥‬‏. أما إذا كانت المقاطع العرضية عمودية على المحور ‪𝑦‬‏، فإن حدي التكامل يصبحان قيمتين لـ ‪𝑦‬‏، كما أن المساحات ستكون عبارة عن دوال في المتغير ‪𝑦‬‏؛ وبذلك يصبح التكامل نفسه بالنسبة إلى ‪𝑦‬‏. قبل أن نبدأ بمثال، دعونا ندون الطريقة التي سنستخدمها.

عند إيجاد حجوم المجسمات باستخدام طريقة الشرائح، أول ما علينا فعله هو تحديد قاعدة المجسم. وبعدها، نحدد شكل المقاطع العرضية ونحاول رسم الشكل الذي لدينا. ويكون علينا بعد ذلك إيجاد صيغة لمساحة المقطع العرضي. تذكر أنه إذا كان القطاع العرضي عموديًا على المحور ‪𝑥‬‏، فستكون المساحة عبارة عن دالة في المتغير ‪𝑥‬‏. وإذا كان القطاع العرضي عموديًا على المحور ‪𝑦‬‏، فستكون المساحة عبارة عن دالة في المتغير ‪𝑦‬‏. وبالمثل، إذا كان القطاع العرضي عموديًا على المحور ‪𝑧‬‏، فستكون المساحة عبارة عن دالة في المتغير ‪𝑧‬‏. بعد ذلك، لإيجاد حجم المجسم، نوجد قيمة التكامل لمساحة المقطع العرضي خلال فترة مناسبة. وتكون فترة التكامل معرفة بواسطة قاعدة المجسم. الآن، لنر مثالًا.

استخدم طريقة الشرائح لإيجاد حجم المجسم الذي قاعدته المنطقة التي تقع داخل الدائرة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي اثنين والتي يقع مركزها عند نقطة الأصل، إذا كانت المقاطع العرضية عبارة عن مثلثات متساوية الأضلاع عمودية على المحور ‪𝑥‬‏.

المطلوب منا هو إيجاد حجم المجسم الذي قاعدته هي المنطقة داخل الدائرة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي اثنين التي مركزها عند نقطة الأصل؛ حيث تكون المقاطع العرضية عبارة عن مثلثات متساوية الأضلاع عمودية على المحور ‪𝑥‬‏. دعونا أولًا نرسم القاعدة والمقاطع العرضية. القاعدة هي الدائرة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي اثنين. هذا يعني أن نصف القطر ‪𝑟‬‏ تربيع يساوي اثنين؛ ما يعني أن نصف القطر ‪𝑟‬‏ يساوي موجب أو سالب الجذر التربيعي لاثنين.

والمقاطع العرضية عبارة عن مثلثات متساوية الأضلاع عمودية على المحور ‪𝑥‬‏. يمكن تحديد قمة المجسم على الرسم بتتبع رءوس هذه المثلثات. تذكر أننا نريد حساب حجم المجسم. وهو يساوي التكامل المحدد لمساحات المقاطع العرضية بين الحدين المعرفين بواسطة حدود القاعدة. وعليه، فإن مهمتنا الأولى هي حساب مساحة المثلثات.

تذكر أن مساحة المثلث تساوي نصف طول القاعدة في الارتفاع. في المثال لدينا القاعدة تساوي اثنين ‪𝑦‬‏؛ لأنها مقسمة إلى نصفين بواسطة المحور ‪𝑥‬‏. وبما أن هذا المثلث متساوي الأضلاع، فإن طول كل ضلع من أضلاعه يساوي اثنين ‪𝑦‬‏. الآن، تذكر أنه نظرًا لأن المقاطع العرضية عمودية على المحور ‪𝑥‬‏، علينا إيجاد المساحة باعتبارها دالة في المتغير ‪𝑥‬‏. للقيام بذلك، علينا أولًا إيجاد الارتفاع ‪ℎ‬‏ بدلالة ‪𝑦‬‏. وباستخدام معادلة تعريف القاعدة، يمكننا إيجاد المساحة باعتبارها دالة في المتغير ‪𝑥‬‏.

لإيجاد الارتفاع ‪ℎ‬‏، دعونا نستخدم نظرية فيثاغورس. وتنص على أنه في المثلث قائم الزاوية الذي أضلاعه ‪𝑎‬‏، و‪𝑏‬‏، و‪𝑐‬‏، ‪𝑎‬‏ تربيع زائد ‪𝑏‬‏ تربيع يساوي ‪𝑐‬‏ تربيع. وهذا يعني أن ‪ℎ‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي اثنين ‪𝑦‬‏ الكل تربيع في هذه الحالة. وهذا يساوي أربعة ‪𝑦‬‏ تربيع. إذن، ‪ℎ‬‏ تربيع يساوي أربعة ‪𝑦‬‏ تربيع ناقص ‪𝑦‬‏ تربيع؛ أي ثلاثة ‪𝑦‬‏ تربيع؛ ومن ثم فإن ‪ℎ‬‏ — الذي هو عبارة عن طول — يساوي موجب الجذر التربيعي لثلاثة في ‪𝑦‬‏.

باستخدام صيغة مساحة المثلث، نجد أن مساحة المقطع العرضي مثلث الشكل تساوي نصفًا في اثنين ‪𝑦‬‏ في الجذر التربيعي لثلاثة ‪𝑦‬‏. بحذف العددين اثنين معًا، نجد أن المساحة تساوي الجذر التربيعي لثلاثة في ‪𝑦‬‏ تربيع. وفقًا لمعادلة الدائرة، لدينا ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي اثنين. وهذا يعني أن ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي اثنين ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع. ولذا، إذا عوضنا بقيمة ‪𝑦‬‏ في المساحة، فسنحصل على المساحات كدالة في المتغير ‪𝑥‬‏، وعليه فالمساحة تساوي الجذر التربيعي لثلاثة في اثنين ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع.

تذكر أن الحجم يساوي تكامل المساحة حيث يكون حدا التكامل معرفين بواسطة حدود القاعدة. في هذه المسألة، الحدان هما سالب الجذر التربيعي لاثنين واثنين. إذن، الحجم يساوي التكامل ما بين سالب جذر اثنين وجذر اثنين للجذر التربيعي لثلاثة في اثنين ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. بما أن الجذر التربيعي لثلاثة عدد ثابت، فيمكننا إخراجه خارج علامة التكامل. إذن، يصبح التكامل الجذر التربيعي لثلاثة في التكامل ما بين سالب جذر اثنين وجذر اثنين لاثنين ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏.

يمكننا أيضًا استخدام تماثل الدائرة لتسهيل الأمر. وفقًا لتماثل الدائرة، يمكننا تغيير الحد السفلي إلى صفر وضرب التكامل في اثنين. إذن، الحجم الآن يساوي اثنين في الجذر التربيعي لثلاثة في التكامل من صفر إلى الجذر التربيعي لاثنين في اثنين ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. تكامل اثنين بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ يساوي اثنين ‪𝑥‬‏ من صفر إلى جذر اثنين. وتكامل ‪𝑥‬‏ تربيع بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ يساوي واحدًا على ثلاثة ‪𝑥‬‏ تكعيب بين الحدين صفر وجذر اثنين.

إذن، الحجم يساوي اثنين في الجذر التربيعي لثلاثة مضروبًا في اثنين ‪𝑥‬‏ ناقص ‪𝑥‬‏ تكعيب على ثلاثة من صفر إلى جذر اثنين. هذا يساوي اثنين في الجذر التربيعي لثلاثة في اثنين في جذر اثنين ناقص جذر اثنين تكعيب على ثلاثة ناقص صفر ناقص صفر. بحساب قيمة ذلك، نحصل على ثمانية في الجذر التربيعي لستة على ثلاثة.

إذن، حجم المجسم الذي قاعدته هي المنطقة داخل الدائرة ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑦‬‏ تربيع يساوي اثنين التي مركزها عند نقطة الأصل، حيث المقاطع العرضية عبارة عن مثلثات متساوية الأضلاع عمودية على المحور ‪𝑥‬‏، يساوي ثمانية في جذر ستة على ثلاثة وحدة مكعبة. وهكذا نكون أوجدنا الحجم من خلال إيجاد مساحات المقاطع العرضية مثلثة الشكل بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. بعد ذلك، كاملنا هذه المساحة على الفترة المعرفة بواسطة القاعدة.

لنجرب ذلك في مثال آخر.

استخدم طريقة الشرائح لإيجاد حجم المجسم الذي قاعدته المنطقة التي تقع أسفل القطع المكافئ ‪𝑦‬‏ يساوي أربعة ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع في الربع الأول، والمقاطع العرضية لشرائحه تتخذ شكل مربعات عمودية على المحور ‪𝑥‬‏ ويقع أحد أحرفها في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏.

نريد إيجاد حجم مجسم قاعدته هي المنطقة الواقعة أسفل القطع المكافئ ‪𝑦‬‏ يساوي أربعة ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع. ننظر إلى الربع الأول. نعلم أن المجسم يتضمن شرائح ذات مقاطع عرضية تتخذ شكل مربعات عمودية على المحور ‪𝑥‬‏ ويقع أحد أحرفها في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏. ولذا، فإن أول ما يمكننا القيام به هو رسم القطع المكافئ ‪𝑦‬‏ يساوي أربعة ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع. و‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا؛ ومن ثم نحصل من المعادلة على ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي أربعة. إذن، القطع المكافئ يقطع المحور ‪𝑥‬‏ عند ‪𝑥‬‏ يساوي سالب اثنين واثنين. وعندما ‪𝑥‬‏ يساوي صفرًا، فإن ‪𝑦‬‏ يساوي أربعة. إذن، القطع المكافئ يتقاطع مع المحور ‪𝑦‬‏ عند ‪𝑦‬‏ يساوي أربعة.

قاعدة المجسم هي المنطقة الواقعة أسفل القطع المكافئ في الربع الأول. المقاطع العرضية للمجسم عبارة عن مربعات عمودية على المحور ‪𝑥‬‏ ويقع أحد أحرفها في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏. لإيجاد الحجم، نوجد قيمة التكامل لمساحات المقاطع العرضية حيث يكون حدا التكامل معرفين بواسطة القطع المكافئ: الحد السفلي هو صفر، والحد العلوي هو اثنان.

نعلم أن مساحة مربع طول ضلعه ‪𝑎‬‏ تساوي ‪𝑎‬‏ تربيع. في المثال لدينا، طول كل ضلع من أضلاع المربع يساوي ‪𝑦‬‏. وتعتمد قيمة ‪𝑦‬‏ على موضع التقاء المربع بالمحور ‪𝑥‬‏. إذن، مساحة كل مربع تساوي ‪𝑦‬‏ تربيع. وبما أن ‪𝑦‬‏ يساوي أربعة ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع، فإن مساحة المقطع العرضي تساوي أربعة ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع الكل تربيع. إذن، حصلنا على مساحة المقطع العرضي كدالة في المتغير ‪𝑥‬‏. ومن ثم، فإن الحجم يساوي التكامل من صفر إلى اثنين لأربعة ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع الكل تربيع بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏.

لتسهيل التكامل، يمكننا فك القوس. وبذلك، نحصل على التكامل ما بين صفر واثنين لـ ‪16‬‏ ناقص ثمانية ‪𝑥‬‏ تربيع زائد ‪𝑥‬‏ أس أربعة بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. تكامل ‪16‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ ما بين صفر واثنين يساوي ‪16𝑥‬‏ من صفر إلى اثنين. وتكامل سالب ثمانية ‪𝑥‬‏ تربيع بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏ يساوي سالب ثمانية في ‪𝑥‬‏ أس ثلاثة مقسومًا على ثلاثة ما بين صفر واثنين. وتكامل ‪𝑥‬‏ أس أربعة يساوي ‪𝑥‬‏ أس خمسة مقسومًا على خمسة من صفر إلى اثنين.

بحساب قيمة ذلك، نحصل على ‪16‬‏ في اثنين ناقص ثمانية في ثمانية على ثلاثة زائد اثنين أس خمسة على خمسة ناقص صفر. بحساب قيمة ذلك، نحصل على ‪256‬‏ مقسومًا على ‪15‬‏. إذن، حجم المجسم، الذي قاعدته هي المنطقة التي تقع أسفل القطع المكافئ ‪𝑦‬‏ يساوي أربعة ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع في الربع الأول؛ حيث تتخذ المقاطع العرضية لشرائحه شكل مربعات عمودية على المحور ‪𝑥‬‏ ويقع أحد أحرفها في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏، يساوي ‪256‬‏ مقسومًا على ‪15‬‏ وحدة مكعبة.

في هذا المثال، كانت الشرائح عبارة عن مربعات عمودية على المحور ‪𝑥‬‏ ويقع أحد أحرفها في المستوى ‪𝑥𝑦‬‏. لنلق نظرة على مثال آخر، ولكن هذه المرة ستكون المقاطع العرضية عمودية على المحور ‪𝑦‬‏.

استخدم طريقة الشرائح لإيجاد حجم المجسم الذي قاعدته المنطقة التي تقع أسفل القطع المكافئ ‪𝑦‬‏ يساوي تسعة ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع وأعلى المحور ‪𝑥‬‏؛ حيث تتخذ الشرائح العمودية على المحور ‪𝑦‬‏ شكل مربعات.

المطلوب منا هو إيجاد حجم مجسم قاعدته معرفة بواسطة القطع المكافئ ‪𝑦‬‏ يساوي تسعة ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع وتقع أعلى المحور ‪𝑥‬‏. شرائح المجسم عمودية على المحور ‪𝑦‬‏ وهي عبارة عن مربعات. دعونا أولًا نرسم منطقة قاعدة المجسم. القطع المكافئ لدينا ‪𝑦‬‏ يساوي تسعة ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع؛ ولذا عندما ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا، فإن ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي تسعة؛ ومن ثم فإن ‪𝑥‬‏ يساوي موجب أو سالب ثلاثة. عندما ‪𝑥‬‏ يساوي صفرًا، فإن ‪𝑦‬‏ يساوي تسعة. وهذه هي النقطة التي تقطع فيها الدالة المحور ‪𝑦‬‏.

المنطقة التي تقع أسفل هذا المنحنى وأعلى المحور ‪𝑥‬‏ تشكل قاعدة المجسم. والمقاطع العرضية عبارة عن مربعات. وهذه المربعات عمودية على المحور ‪𝑦‬‏. طول الضلع الواحد في كل مربع يساوي اثنين ‪𝑥‬‏. وتعتمد قيمة ‪𝑥‬‏ على موضع تقاطع المربع مع المحور ‪𝑦‬‏. وعليه، فإن مساحة المقطع العرضي مربع الشكل تساوي اثنين ‪𝑥‬‏ في اثنين ‪𝑥‬‏؛ أي تساوي أربعة ‪𝑥‬‏ تربيع. لكن، حجم المجسم لدينا يساوي التكامل على المحور ‪𝑦‬‏ ما بين ‪𝑦‬‏ يساوي صفرًا وتسعة لمساحة المقاطع العرضية مربعة الشكل باعتبارها دالة في المتغير ‪𝑦‬‏. ولذا، علينا تحويل المساحة إلى دالة لـ ‪𝑦‬‏.

نعلم أن ‪𝑦‬‏ يساوي تسعة ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع، وهذا يعني أن ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي تسعة ناقص ‪𝑦‬‏. إذن، المساحة كدالة في المتغير ‪𝑥‬‏ تساوي أربعة ‪𝑥‬‏ تربيع، وعليه فإن أربعة ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي تسعة ناقص ‪𝑦‬‏ في أربعة. بعبارة أخرى، أربعة ‪𝑥‬‏ تربيع يساوي أربعة في تسعة ناقص ‪𝑦‬‏؛ ولذا فإن المساحة لدينا تساوي أربعة في تسعة ناقص ‪𝑦‬‏. يمكننا الآن حساب الحجم، وهو يساوي التكامل ما بين صفر وتسعة لأربعة في تسعة ناقص ‪𝑦‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑦‬‏.

يمكننا إخراج العدد أربعة خارج علامة التكامل؛ لأنه مضاعف ثابت. نعلم أن تكامل تسعة بالنسبة إلى ‪𝑦‬‏ يساوي تسعة في ‪𝑦‬‏. كما نعلم أن تكامل سالب ‪𝑦‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑦‬‏ يساوي سالب ‪𝑦‬‏ تربيع على اثنين. وعليه، فإن الحجم يساوي أربعة في تسعة ‪𝑦‬‏ ناقص ‪𝑦‬‏ تربيع على اثنين ما بين صفر وتسعة. هذا يساوي أربعة في تسعة في تسعة ناقص تسعة تربيع على اثنين ناقص صفر. ويعطينا ذلك أربعة في ‪81‬‏ ناقص ‪40.5‬‏، وهو ما يساوي ‪162‬‏. إذن، حجم المجسم، الذي قاعدته المنطقة التي تقع أسفل القطع المكافئ ‪𝑦‬‏ يساوي تسعة ناقص ‪𝑥‬‏ تربيع وأعلى المحور ‪𝑥‬‏، حيث تكون الشرائح عمودية على المحور ‪𝑦‬‏ وعبارة عن مربعات، يساوي ‪162‬‏ وحدة مكعبة.

الآن، لنذكر أنفسنا بالنقاط الأساسية لإيجاد حجم مجسم باستخدام طريقة الشرائح. أول ما علينا فعله هو تحديد قاعدة المجسم. وبعدها نحدد شكل المقطع العرضي للمجسم ثم نرسم كلًا من المقطع العرضي والقاعدة. وبعد ذلك، نوجد صيغة مساحة المقطع العرضي. إذا كان المقطع العرضي عموديًا على المحور ‪𝑥‬‏، فستكون المساحة عبارة عن دالة في المتغير ‪𝑥‬‏. وإذا كان المقطع العرضي عموديًا على المحور ‪𝑦‬‏، فستكون المساحة عبارة عن دالة في المتغير ‪𝑦‬‏. وإذا كان المقطع العرضي عموديًا على المحور ‪𝑧‬‏، فستكون المساحة عبارة عن دالة في المتغير ‪𝑧‬‏.

لإيجاد الحجم، نكامل مساحة المقطع العرضي على فترة معرفة بواسطة منطقة القاعدة. إذا كانت المقاطع العرضية عمودية على المحور ‪𝑥‬‏، فإن الحجم يساوي التكامل ما بين ‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑎‬‏ و‪𝑥‬‏ يساوي ‪𝑏‬‏ للمساحة، التي هي عبارة عن دالة في المتغير ‪𝑥‬‏ بالنسبة إلى ‪𝑥‬‏. وإذا كانت المقاطع العرضية عمودية على المحور ‪𝑦‬‏، فإن حدي التكامل يصبحان قيمتين لـ ‪𝑦‬‏، كما أن المساحة ستكون دالة في المتغير ‪𝑦‬‏ ونوجد التكامل بالنسبة إلى ‪𝑦‬‏. وإذا كانت المقاطع العرضية عمودية على المحور ‪𝑧‬‏، فإن حدي التكامل يصبحان قيمتين لـ ‪𝑧‬‏، وستكون دالة المساحة عبارة عن دالة في المتغير ‪𝑧‬‏، ونوجد التكامل بالنسبة إلى ‪𝑧‬‏. وبناء عليه، فإن الخطوات الأساسية لإيجاد الحجم هي: تحديد قاعدة المجسم، وشكل المقطع العرضي، وموضع هذا المقطع العرضي بالنسبة إلى المحاور.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.