نسخة الفيديو النصية
استخدام المحددات لحساب المساحة
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم المحددات لحساب مساحة المثلث ومتوازي الأضلاع بمعلومية إحداثيات رءوسهما. على وجه التحديد، سنناقش كيفية حساب مساحة المثلث في المستوى بمعلومية إحداثيات رءوسه، وكيفية حساب مساحة متوازي الأضلاع في المستوى بمعلومية إحداثيات ثلاثة من رءوسه. وسنناقش كذلك كيف يمكننا توسيع نطاق هذه الطريقة لإيجاد مساحة المضلعات الأكثر تعقيدًا في المستوى باستخدام التقسيم إلى مثلثات.
في البداية، يمكننا إيجاد مساحة مثلث تقع رءوسه عند ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وﺱ اثنين، ﺹ اثنين؛ وﺱ ثلاثة، ﺹ ثلاثة؛ باستخدام المحددات. يمكن إيجاد مساحة هذا المثلث باستخدام الصيغة: نصف القيمة المطلقة لمحدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، وعناصرها: ﺱ واحد، ﺹ واحد، واحد؛ ﺱ اثنان، ﺹ اثنان، واحد؛ ﺱ ثلاثة، ﺹ ثلاثة، واحد. نحن هنا نأخذ القيمة المطلقة للمحدد؛ وذلك لضمان ألا تكون الإجابة قيمة سالبة.
تجدر الإشارة أيضًا إلى أنه يمكننا تسمية الرءوس بأي ترتيب نختاره؛ لأن هذا سيؤدي فقط إلى التبديل بين صفوف هذه المصفوفة. وعندئذ ستتغير الإشارة؛ لكن ذلك لا يهم ما دمنا سنأخذ القيمة المطلقة للمحدد. يمكننا إثبات أن هذه الصيغة صحيحة عن طريق فك المحدد وإعادة الترتيب لتوضيح أننا نحصل على مقدار يعبر عن مساحة المثلث ﺙ. لكن، هذه عملية طويلة ويقع شرحها خارج نطاق هذا الفيديو.
بدلًا من ذلك، يمكننا ملاحظة أن هذه الصيغة مفيدة لأنها تتطلب منا معرفة رءوس المثلث فقط، في حين تتطلب منا طرق مثل صيغة هيرون معرفة أطوال أضلاع المثلث أو حسابها. هيا نتناول مثالًا على تطبيق هذه الطريقة لإيجاد مساحة مثلث في المستوى الإحداثي.
أوجد مساحة المثلث الموجود في الشكل الآتي باستخدام المحددات.
في هذا السؤال، لدينا شكل لمثلث في المستوى الإحداثي ومطلوب منا إيجاد مساحته باستخدام المحددات. يمكننا إيجاد مساحة هذا المثلث مباشرة باستخدام الصيغة: نصف طول القاعدة في الارتفاع العمودي، أو بتطبيق صيغة هيرون. لكن السؤال طلب منا إيجادها باستخدام المحددات.
يمكننا إذن تذكر أن المثلث الذي تقع رءوسه عند ﺱ واحد، ﺹ واحد؛ وﺱ اثنين، ﺹ اثنين؛ وﺱ ثلاثة، ﺹ ثلاثة تعطى مساحته بالصيغة: نصف القيمة المطلقة لمحدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، وعناصرها: ﺱ واحد، ﺹ واحد، واحد؛ ﺱ اثنان، ﺹ اثنان، واحد؛ ﺱ ثلاثة، ﺹ ثلاثة، واحد. ومن ثم، لإيجاد مساحة هذا المثلث باستخدام المحددات، علينا إيجاد إحداثيات رءوسه. يمكننا فعل ذلك باستخدام الشكل المعطى. تقع الرءوس عند صفر، خمسة؛ وأربعة، خمسة؛ وثلاثة، سالب أربعة.
الآن، يمكننا إيجاد مقدار يعبر عن المساحة عن طريق التعويض بإحداثيات الرءوس في الصيغة؛ حيث نلاحظ أنه يمكننا تسمية إحداثيات كل نقطة بأي ترتيب نختاره؛ لأن هذا لن يغير سوى إشارة المحدد. نجد أن المساحة تساوي نصف القيمة المطلقة لمحدد المصفوفة التي رتبتها ثلاثة في ثلاثة، وعناصرها: صفر، خمسة، واحد؛ أربعة، خمسة، واحد؛ ثلاثة، سالب أربعة، واحد.
هناك عدة طرق يمكن من خلالها حساب قيمة المحدد. إحدى الطرق هي فك المحدد باستخدام الصف الأول للحصول على المقدار الآتي. يمكننا إيجاد قيمة هذا المقدار؛ ومن ثم نحصل على نصف القيمة المطلقة لسالب ٣٦، وهي ١٨ وحدة مربعة. تجدر الإشارة إلى أنه يمكننا التحقق من إجابتنا عن طريق إيجاد طول القاعدة والارتفاع العمودي من الشكل. في هذه الحالة، نلاحظ أن طول الضلع الأفقي هو أربعة، وارتفاع هذا المثلث هو تسعة.
إذن، يمكننا إيجاد المساحة باستخدام الصيغة: نصف طول القاعدة في الارتفاع العمودي؛ أي نصف في أربعة مضروبًا في تسعة، وهو ما يساوي ١٨ وحدة مربعة. وبهذا، نكون قد تحققنا من أن مساحة المثلث المعطى في الشكل هي ١٨ وحدة مربعة.
في المثال التالي، سنرى كيف يمكننا إيجاد إحداثيات رأس مثلث ناقصة باستخدام مساحته والمحددات.
املأ الفراغ. إذا كانت مساحة المثلث الذي رءوسه هي ﺡ، صفر؛ وستة، صفر؛ وصفر، ثلاثة تساوي تسع وحدات مربعة، فإن ﺡ يساوي (فراغ). الخيار أ: صفر أو سالب ١٢. الخيار ب: صفر أو ١٢. الخيار ج: سالب ستة أو ستة. الخيار د: ١٢ أو سالب ١٢.
في هذا السؤال، لدينا إحداثيات رءوس مثلث تحتوي على إحداثي واحد مجهول، ولدينا مساحة هذا المثلث. نحن نريد استخدام هذه المعطيات لإيجاد القيمتين الممكنتين لهذا الإحداثي المجهول. يمكننا فعل ذلك باستخدام أي من طرق حساب مساحة المثلث. لكن بما أن لدينا الرءوس، فسنفعل ذلك باستخدام المحددات.
نتذكر أنه يمكن حساب مساحة مثلث باستخدام الصيغة: نصف في القيمة المطلقة لمحدد المصفوفة من الرتبة ثلاثة في ثلاثة، وعناصرها: ﺱ واحد، ﺹ واحد، واحد؛ ﺱ اثنان، ﺹ اثنان، واحد؛ ﺱ ثلاثة، ﺹ ثلاثة، واحد؛ حيث ﺱﻥ وﺹﻥ هما إحداثيا كل رأس في المثلث لكل قيمة من قيم ﻥ.
يمكننا التعويض بإحداثيات رءوس المثلث والمساحة التي تساوي تسعة في هذه الصيغة للحصول على المعادلة الآتية. بعد ذلك، يمكننا إيجاد قيمة ﺡ عن طريق الفك وعزل ﺡ في أحد طرفي المعادلة. يمكن إيجاد قيمة المحدد بعدة طرق. أسهل طريقة هي ملاحظة أن العمود الثاني يحتوي على صفرين. ومن ثم، فإن فك المحدد باستخدام هذا العمود سيعطينا حدًّا واحدًا فقط لا يساوي صفرًا.
لقد حصلنا على نصف القيمة المطلقة لسالب ثلاثة في ﺡ ناقص ستة. ويمكن تبسيط ذلك أكثر عن طريق أخذ سالب ثلاثة عاملًا مشتركًا خارج القيمة المطلقة. يعني هذا أن العامل سيصبح موجب ثلاثة، ثم نحصل على المقدار الآتي. هذا المقدار يساوي مساحة المثلث؛ وهي تسعة. عندئذ، يمكن إيجاد قيمة ﺡ عن طريق إعادة الترتيب. أولًا، نقسم كلا طرفي المعادلة على ثلاثة على اثنين. وهذا يعطينا: ستة يساوي القيمة المطلقة لـ ﺡ ناقص ستة.
بعد ذلك، يمكننا حل معادلة القيمة المطلقة هذه عن طريق تكوين معادلتين. لدينا إما ستة يساوي ﺡ ناقص ستة وإما ستة يساوي سالب واحد في ﺡ ناقص ستة. بحل كل معادلة على حدة، نجد أن ﺡ يساوي ١٢ أو ﺡ يساوي صفرًا. نلاحظ إذن أن هذه النتيجة معطاة في الخيار ب.
حتى الآن تعاملنا فقط مع إيجاد مساحة المثلث باستخدام المحددات. لكن من الممكن توسيع نطاق هذه الفكرة لتشمل أي مضلع في المستوى. أحد الأمثلة المفيدة على ذلك هو تطبيق هذه الطريقة على متوازيات الأضلاع.
لنفترض أن لدينا متوازي أضلاع؛ حيث نعلم إحداثيات ثلاثة من رءوسه. يمكننا تقسيم متوازي الأضلاع إلى مثلثين متطابقين باستخدام قطره. بعد ذلك، يمكننا استخدام صيغة مساحة المثلث التي تستخدم المحددات لإيجاد مقدار يعبر عن مساحة متوازي الأضلاع.
أولًا، نلاحظ أن مساحة متوازي الأضلاع ﺽ تساوي ضعف مساحة أحد المثلثين المتطابقين ﺙ، اللذين يكونان متوازي الأضلاع. بعد ذلك، نوجد مساحة المثلث الذي له رءوس معلومة باستخدام الصيغة التي تتضمن المحدد للحصول على المقدار الآتي. نلاحظ أنه يمكننا حذف نصف في اثنين لنحصل على واحد. وبذلك، نحصل على صيغة لمساحة متوازي الأضلاع باستخدام إحداثيات ثلاثة رءوس منه.
يمكننا في الواقع تبسيط هذه الصيغة وكذلك تبسيط صيغة مساحة المثلث أكثر عن طريق التفكير في خواص المحددات ومساحة الأشكال المتطابقة. على سبيل المثال، يمكننا نقل إحداثيات أحد رءوس متوازي الأضلاع إلى نقطة الأصل. في هذه الحالة، سننقل متوازي الأضلاع بمقدار ﺱ واحد من الوحدات أفقيًّا وﺹ واحد من الوحدات رأسيًّا، مع تحديد الاتجاهات من خلال إشارات هذه الإحداثيات. يمكننا إيجاد الإحداثيات الدقيقة للنقطتين الموضحتين بتطبيق التحويلات. على سبيل المثال، ﺃ يساوي ﺱ ثلاثة ناقص ﺱ واحد. لكننا سنسمي هاتين النقطتين ﺃ، ﺏ وﺟ، ﺩ، كما هو موضح.
الآن، يمكننا تطبيق صيغة مساحة متوازي الأضلاع الذي له ثلاثة رءوس معلومة للحصول على المقدار الآتي الذي يعبر عن المساحة. لكن، بما أننا نقلنا رأسًا واحدًا ليصبح عند نقطة الأصل، فإنه يمكننا ملاحظة أن أحد صفوف هذه المصفوفة هو: صفر، صفر، واحد. بعد ذلك، يمكننا فك المحدد باستخدام هذا الصف لتبسيط المقدار. نجد أن المساحة تساوي القيمة المطلقة لمحدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين، وعناصرها: ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ. بإمكاننا استخدام أي من هاتين الصيغتين لإيجاد مساحة متوازي الأضلاع في المستوى بمعلومية رءوسه، كما سنرى في المثال التالي.
استخدم المحددات لحساب مساحة متوازي أضلاع رءوسه واحد، واحد؛ وسالب أربعة، خمسة؛ وسالب اثنين، ثمانية؛ وثلاثة، أربعة.
في هذا السؤال، لدينا إحداثيات الرءوس الأربعة لمتوازي أضلاع في المستوى، ومطلوب منا استخدام المحددات لحساب مساحة متوازي الأضلاع هذا. توجد طريقتان يمكننا استخدامهما، وسنستعرض كلتيهما.
يمكننا البدء بتذكر أنه يمكن حساب مساحة متوازي الأضلاع بإيجاد القيمة المطلقة لمحدد المصفوفة الموضحة هنا، التي يتكون كل صف فيها من إحداثيات أحد الرءوس وعنصر أخير قيمته واحد. يمكننا اختيار أي ثلاثة رءوس لحساب مساحة متوازي الأضلاع هذا. من الجيد عادة اختيار الرءوس التي إحداثياتها تساوي صفرًا لتسهيل حساب المفكوك. نحصل على المقدار الآتي الذي يعبر عن المساحة. يمكننا بعد ذلك إيجاد قيمة هذا المقدار عن طريق فك المحدد باستخدام الصف الأول ثم حساب قيمته. بفعل ذلك، نجد أن المساحة تساوي ٢٣ وحدة مربعة.
الطريقة الثانية التي يمكننا استخدامها هي نقل أحد رءوس متوازي الأضلاع ليصبح عند نقطة الأصل. على سبيل المثال، يمكننا نقل كل رأس بمقدار وحدة واحدة إلى اليسار ووحدة واحدة لأسفل، لكننا نحتاج إلى تطبيق ذلك على ثلاثة رءوس فقط. بعد ذلك، يمكننا استخدام حقيقة أنه إذا كان لمتوازي الأضلاع رأس واحد عند نقطة الأصل، ورأس عند ﺃ، ﺏ، ورأس عند ﺟ، ﺩ؛ فإن مساحته تعطى بالقيمة المطلقة لمحدد المصفوفة التي عناصرها ﺃ، ﺏ، ﺟ، ﺩ لإيجاد مساحة متوازي الأضلاع هذا. نعوض بإحداثيات النقطتين المنقولتين في هذه الصيغة للحصول على المقدار الآتي الذي يمكننا إيجاد قيمته. نأخذ القيمة المطلقة للفرق بين حاصلي ضرب القطرين، لنحصل على ٢٣ وحدة مربعة.
في المثال التالي، سنرى كيف يمكننا توسيع هذه العملية لتشمل أي مضلع في المستوى باستخدام التقسيم إلى مثلثات.
انظر إلى الشكل الرباعي الذي رءوسه ﺃ واحد، ثلاثة؛ وﺏ أربعة، اثنان؛ وﺟ ٤٫٥، خمسة؛ وﺩ اثنان، ستة. بتقسيمه إلى مثلثين كما هو موضح، احسب مساحة هذا الشكل الرباعي باستخدام المحددات.
نحن نريد إيجاد مساحة هذا الشكل الرباعي باستخدام مساحتي المثلثين والمحددات. يمكننا البدء بتذكر أن مساحة المثلث تساوي نصف القيمة المطلقة لمحدد المصفوفة التي يعطى كل صف فيها بواسطة إحداثيي أحد الرءوس وعنصر أخير قيمته واحد. يمكننا تطبيق ذلك على كل مثلث على حدة.
لنبدأ بـ ﺙ واحد، وهو المثلث ﺃﺟﺩ. نعوض بإحداثيات هذه النقاط المعطاة في الصيغة للحصول على المقدار الآتي. بعد ذلك، يمكننا فك المحدد باستخدام الصف الأول في المصفوفة لنحصل على المقدار الآتي، وهو ما يساوي ٤٫٢٥ وحدات مربعة.
علينا تطبيق العملية نفسها على المثلث الآخر. يمكننا فعل ذلك بالتعويض بإحداثيات ﺃ وﺏ وﺟ في الصيغة بأي ترتيب للحصول على المقدار الآتي. بعد ذلك، يمكننا فك المحدد باستخدام الصف الأول؛ ومن ثم نجد أن مساحة المثلث ﺃﺏﺟ تساوي ٤٫٧٥ وحدات مربعة. أخيرًا، يمكننا إيجاد مساحة الشكل الرباعي عن طريق جمع مساحتي المثلثين معًا. نجد أن مساحته تساوي تسع وحدات مربعة. يمكننا تطبيق هذه العملية على أي شكل رباعي له رءوس معلومة عن طريق تقسيمه إلى مثلثات. وهذا يسمى التثليث.
توجد خاصية أخيرة مفيدة يمكننا التفكير فيها عن طريق الاستعانة بصيغتي المساحة باستخدام المحددات.
لنفترض أن محدد المصفوفة الآتية يساوي صفرًا. نحن نعلم أن هذا المحدد يخبرنا بمساحة متوازي الأضلاع الذي تقع ثلاثة رءوس به عند هذه الإحداثيات؛ بعبارة أخرى، يخبرنا هذا المحدد بأن هذه المساحة تساوي ضعف مساحة المثلث الذي به هذه الرءوس. لكي يساوي هذا المحدد صفرًا، يجب أن تساوي مساحة الشكلين أنفسهما صفرًا. هذا غير ممكن إلا إذا كانت النقاط الثلاث تقع على خط مستقيم. ومن ثم، فإن هذا يعطينا طريقة للتحقق من إذا ما كانت النقاط الثلاث تقع على استقامة واحدة. تجدر الإشارة أيضًا إلى أن هذه الخاصية تعمل عملًا عكسيًّا. إذا كانت النقاط الثلاث تقع على استقامة واحدة، فإن مساحة المثلث، الذي به هذه الرءوس، تساوي صفرًا. إذن، محدد هذه المصفوفة يجب أن يساوي صفرًا.
لنتناول مثالًا أخيرًا على استخدام هذه الخاصية للتحقق من وقوع ثلاث نقاط معطاة على استقامة واحدة.
باستخدام المحددات، حدد مجموعة النقاط الواقعة على استقامة واحدة مما يأتي. الخيار أ: ﺃ سالب ستة، أربعة؛ ﺏ سالب ثمانية، أربعة؛ ﺟ ثلاثة، ١٠. الخيار ب: ﺃ سالب ١٠، سالب أربعة؛ ﺏ سالب ثمانية، سالب اثنين؛ ﺟ سالب خمسة، واحد. الخيار ج: ﺃ سالب ثلاثة، ستة؛ ﺏ ثمانية، سالب سبعة؛ ﺟ سالب ثلاثة، سالب ثمانية. الخيار د: ﺃ سالب ١٠، سالب ستة؛ ﺏ سالب اثنين، واحد؛ ﺟ صفر، سالب تسعة.
بداية، نتذكر أنه يمكننا التحقق من وقوع ثلاث نقاط على استقامة واحدة في المستوى الإحداثي باستخدام المحددات. على وجه التحديد، إذا كان محدد هذه المصفوفة يساوي صفرًا، فإن النقاط الثلاث ستقع على استقامة واحدة. وإذا كانت النقاط الثلاث تقع على استقامة واحدة، فإن محدد هذه المصفوفة سيساوي صفرًا.
ومن ثم، يمكننا اختبار وقوع أي ثلاث نقاط على استقامة واحدة عن طريق إيجاد قيمة محدد كل مصفوفة ناتجة عن النقاط الثلاث. بالتعويض بالإحداثيات المعطاة في الخيار أ في هذه المصفوفة، نحصل على محدد المصفوفة الآتية من الرتبة ثلاثة في ثلاثة. يمكننا إيجاد قيمة محدد هذه المصفوفة عن طريق فكه باستخدام الصف الأول، وبإيجاد قيمته نحصل على سالب ١٢. هذه القيمة لا تساوي صفرًا؛ إذن النقاط الثلاث لا تقع على استقامة واحدة.
يمكننا اتباع العملية نفسها مع النقاط الثلاث المذكورة في الخيار ب. نعوض بإحداثياتها في المصفوفة، ثم نفك المحدد باستخدام الصف الأول، ونحسب قيمته؛ فنحصل إذن على صفر. بما أن محدد هذه المصفوفة يساوي صفرًا، فإنه يمكننا استنتاج أن النقاط يجب أن تقع على استقامة واحدة.
لمزيد من التحقق، يمكننا أن نتحقق أيضًا من الخيارين الأخيرين بالطريقة نفسها. بالنسبة إلى النقاط الثلاث المذكورة في الخيار ج، نجد أن محدد هذه المصفوفة هو سالب ١٥٤. إذن، النقاط الثلاث لا تقع على استقامة واحدة. بالمثل، نجد في الخيار د أن محدد المصفوفة الناتجة هو سالب ٩٤. ومن ثم، فإن النقاط المذكورة في الخيار ب هي فقط التي تقع على استقامة واحدة.
لنستعرض الآن النقاط الرئيسية في هذا الدرس. أولًا، لقد رأينا أنه يمكننا حساب مساحة مثلث من إحداثيات رءوسه باستخدام المحدد. مساحة المثلث تساوي نصف القيمة المطلقة لمحدد المصفوفة التي يتكون كل صف فيها من إحداثيي أحد الرءوس في المثلث والعنصر الأخير الذي قيمته واحد. يمكننا أيضًا تقسيم أي مضلع إلى مثلثات ثم استخدام هذه الصيغة لإيجاد مساحة كل مثلث باستخدام إحداثيات رءوسه. هذا يتيح لنا إيجاد مساحة أي مضلع باستخدام المحددات من إحداثيات رءوسه.
رأينا أيضًا أنه يمكننا إيجاد مساحة متوازي الأضلاع من إحداثيات أي ثلاثة من رءوسه باستخدام المحددات. يمكننا تبسيط صيغتي المحددين هاتين إلى محددين لمصفوفتين من الرتبة اثنين في اثنين عن طريق نقل الشكلين؛ بحيث يقع أحد رءوسهما عند نقطة الأصل.
أخيرًا، رأينا أنه يمكننا التحقق من وقوع النقاط على استقامة واحدة في المستوى باستخدام المحددات. على وجه التحديد، إذا كانت ثلاث نقاط تقع على استقامة واحدة في المستوى، فإن مساحة المثلث الذي يتخذ هذه النقاط رءوسًا له تساوي صفرًا. ومن ثم، لا بد أن تساوي صيغة المساحة صفرًا أيضًا. هذا يكافئ القول بأن محدد المصفوفة يساوي صفرًا. النتيجة نفسها صحيحة بصورة عكسية. إذا كان هذا المحدد يساوي صفرًا، فلا بد أن تقع النقاط الثلاث على استقامة واحدة.
