تم إلغاء تنشيط البوابة. يُرجَى الاتصال بمسؤول البوابة لديك.

فيديو الدرس: تطبيقات قانون نيوتن الثاني: كتلتان معلقتان من بكرة الرياضيات

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل المسائل المتعلقة بحركة نظام مكون من جسمين معلقين رأسيًا عن طريق خيط يمر على بكرة ملساء.

١٨:٤٢

‏نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نحل المسائل المتعلقة بحركة نظام مكون من جسمين معلقين رأسيًا عن طريق خيط يمر على بكرة ملساء. وسوف نحل هذه المسائل باستخدام قانون نيوتن الثاني للحركة، وحساب محصلة القوى، وباستخدام معادلات الحركة أو المعادلات التي تربط الإزاحة والسرعة والعجلة والزمن.

ينص قانون نيوتن الثاني أن القوة المحصلة المؤثرة على جسم تساوي كتلته مضروبة في عجلته. ويكتب هذا بالصيغة ﻕ تساوي ﻙﺟ. في هذا الفيديو، سوف نقيس الكتلة بالكيلوجرام أو بالجرام. ونقيس عجلة الجسم بالمتر لكل ثانية مربعة أو بالسنتيمتر لكل ثانية مربعة. للتحويل بين هاتين الوحدتين، نتذكر أنه يوجد ١٠٠٠ جرام في الكيلوجرام الواحد. ويوجد ١٠٠ سنتيمتر في المتر الواحد. إذن، ١٠٠ سنتيمتر لكل ثانية مربعة يساوي مترًا واحدًا لكل ثانية مربعة. القوى المؤثرة على الجسم تقاس بالنيوتن أو الداين. عندما تكون الكتلة بالكيلوجرام والعجلة بالمتر لكل ثانية مربعة، ستكون القوة بالنيوتن. وبالمثل، سيعطينا ضرب كتلة بالجرام في عجلة بالسنتيمتر لكل ثانية مربعة قوة بالداين.

سنعرف الآن كيف يمكننا استخدام قانون نيوتن الثاني لحل المسائل التي تتضمن نظامًا مكونًا من جسمين وبكرة ملساء. في النظام الموضح في الشكل، لدينا خيط خفيف غير مرن يمر على بكرة ملساء. ويتصل طرفا الخيط بجسمين كتلتهما ﻙ واحد وﻙ اثنين بالكيلوجرام، على الترتيب. ولكل منهما قوة تؤثر لأسفل تساوي الكتلة مضروبة في عجلة الجاذبية. ونظرًا لأن الخيط ليس له كتلة ولا يوجد احتكاك بينه وبين البكرة، فسينتج من الكتلتين قوتا شد متساويتان تؤثران لأعلى. عند ترك النظام ليتحرك، فإن الجسم الأثقل وزنًا سيتحرك بعجلة لأسفل، أما الجسم الأخف وزنًا فسيتحرك بعجلة لأعلى. وبما أن الخيط غير مرن، فستكون العجلتان متساويتين في المقدار.

يمكننا الآن استخدام قانون نيوتن الثاني. مجموع القوى المحصلة يساوي الكتلة مضروبة في العجلة. يتحرك الجسم الأيسر لأعلى. إذا افترضنا أن هذا هو الاتجاه الموجب لهذا الجسم، فإن مجموع القوى يساوي ﺵ ناقص ﻙ واحد ﺩ. ويساوي هذا الكتلة مضروبة في العجلة. نحصل على المعادلة ﺵ ناقص ﻙ واحد ﺩ يساوي ﻙﺟ. يمكننا الآن تكرار هذه العملية مع الجسم الثاني. يتحرك هذا الجسم لأسفل، ونفترض أنه الاتجاه الموجب. مجموع القوى المحصلة سيساوي ﻙ اثنين ﺩ ناقص ﺵ. ويساوي هذا حرف ﻙ اثنين، أي كتلة الجسم، مضروبة في العجلة ﺟ. لدينا الآن معادلتان آنيتان.

في الأسئلة التالية، سنتمكن من حلهما لحساب أي قيم مجهولة. في السؤال الأول، علينا حساب العجلة.

جسمان كتلتاهما ١٢ كيلوجرامًا و١٨ كيلوجرامًا متصلان بطرفي خيط خفيف غير مرن يمر على بكرة ملساء. أوجد عجلة النظام. علمًا بأن ﺩ تساوي ٩٫٨ مترًا لكل ثانية مربعة.

يمكننا البدء برسم النظام كما هو موضح. كتلتا الجسمين هما ١٢ كيلوجرامًا و١٨ كيلوجرامًا على الترتيب. وهذا يعني أنهما ستؤثران لأسفل بقوتين مقدارهما ١٢ﺩ و١٨ﺩ، حيث عجلة الجاذبية تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة. ونظرًا لأن لدينا خيطًا خفيفًا يمر على بكرة ملساء، فإن مقداري الشد الرأسيين سيكونان متساويين. بمجرد ترك النظام ليتحرك، سيتحرك الجسم الأثقل وزنًا الذي كتلته ١٨ كيلوجرامًا بعجلة لأسفل، بينما يتحرك الجسم الذي كتلته ١٢ كيلوجرامًا بعجلة لأعلى. وبما أن الخيط غير مرن، فسيكون مقدارا العجلتين متساويين.

يمكننا الآن استخدام قانون نيوتن الثاني، ﻕ تساوي ﻙﺟ، لتكوين معادلتين آنيتين. يتحرك الجسم ﺃ بعجلة رأسيًا لأعلى. إذن، مجموع القوى المؤثرة عليه يساوي ﺵ ناقص ١٢ﺩ. نفترض أن الاتجاه الموجب هو الاتجاه الرأسي لأعلى. وسيساوي هذا ١٢ﺟ، أي الكتلة مضروبة في العجلة. يتحرك الجسم ﺏ بعجلة لأسفل، ونتعامل مع هذا على أنه الاتجاه الموجب. وهذا يعني أن مجموع القوى يساوي ١٨ﺩ ناقص ﺵ. وهو ما يساوي ١٨ﺟ.

لدينا الآن معادلتان آنيتان، ويمكننا حذف ﺵ لحساب العجلة ﺟ عن طريق جمع المعادلة واحد والمعادلة اثنين. سالب ١٢ﺩ زائد ١٨ﺩ يساوي ستة ﺩ، و١٢ﺟ زائد ١٨ﺟ يساوي ٣٠ﺟ. يمكننا بعد ذلك قسمة طرفي هذه المعادلة على ٣٠، فيصبح لدينا ﺟ تساوي ستة ﺩ مقسومًا على ٣٠. باعتبار أن ﺩ تساوي ٩٫٨، يمكننا كتابة هذا على الآلة الحاسبة، وهو ما يعطينا الناتج ١٫٩٦. عجلة النظام تساوي ١٫٩٦ متر لكل ثانية مربعة. يمكننا التعويض بهذه القيمة في المعادلة واحد أو المعادلة اثنين لحساب مقدار الشد، لكن هذا غير مطلوب في هذا السؤال.

في سؤالنا التالي، علينا حساب كتلة أحد الجسمين.

كتلتان ﻙ واحد و٨٨ جرامًا معلقتان بطرفي خيط خفيف يمر فوق بكرة ملساء. أوجد قيمة ﻙ واحد، علمًا بأنه عندما تحرك النظام من السكون هبطت الكتلة الأخرى لأسفل مسافة ١١٫٧٦ مترًا في ثانيتين. اعتبر أن عجلة الجاذبية ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

نبدأ بتمثيل النظام كما هو موضح. تخبرنا المسألة بأن الكتلتين تساويان ﻙ و٨٨ جرامًا. ونتذكر أنه يوجد ١٠٠٠ جرام في الكيلوجرام الواحد، وبما أن عجلة الجاذبية معطاة بالمتر لكل ثانية مربعة، يجب أن تكون الكتلة بالكيلوجرام. ‏‏٨٨ جرامًا يساوي ٠٫٠٨٨ كيلوجرامًا. هذا يعني أن القوتين المؤثرتين على الجسمين لأسفل هما ﻙﺩ و‎٠٫٠٨٨ﺩ. لدينا خيط خفيف وبكرة ملساء، وهو ما يعني أن مقداري الشد الرأسيين سيكونان متساويين. سيتحرك النظام بأكمله بالعجلة نفسها، ونعلم أن الجسم الذي كتلته ٨٨ جرامًا يهبط لأسفل. ويعني هذا أن الجسم الذي كتلته ﻙ سيتحرك بعجلة لأعلى.

يمكننا الآن استخدام قانون نيوتن الثاني، ﻕ تساوي ﻙﺟ، لتكوين معادلتين للجسم ﺃ والجسم ﺏ. يتحرك الجسم ﺃ بعجلة رأسيًا إلى أعلى. إذن، مجموع القوى المؤثرة عليه يساوي ﺵ ناقص ﻙ واحد ﺩ. ويساوي هذا ﻙﺟ. ويتحرك الجسم ﺏ بعجلة لأسفل. إذن، مجموع القوى المؤثرة عليه يساوي ‎٠٫٠٨٨ﺩ ناقص ﺵ. نفترض أن الاتجاه لأسفل موجب. مرة أخرى، هذا يساوي الكتلة مضروبة في العجلة. في هذه المرحلة، لدينا ثلاث قيم مجهولة: مقدار الشد وكتلة الجسم ﺃ وعجلة النظام. علينا استخدام المعلومة التي تخبرنا أن الجسم الذي كتلته ٨٨ جرامًا هبط مسافة ١١٫٧٦ مترًا في ثانيتين.

يمكننا استخدام معادلات العجلة المنتظمة لحساب قيمة العجلة. وهي معادلات تربط بين الإزاحة التي تساوي في هذه الحالة أحد عشر، وستة وسبعين من مائة مترًا. وبين السرعة الابتدائية، والسرعة النهائية، والعجلة، والزمن، وهو في هذه المسألة ثانيتان. نعرف أن ﻑ تساوي ﻉ صفر ﻥ زائد نصف ﺟﻥ تربيع. بالتعويض بالقيم التي لدينا، يصبح لدينا ١١٫٧٦ يساوي صفرًا مضروبًا في اثنين زائد نصف مضروبًا في ﺟ مضروبًا في اثنين تربيع. نبسط الطرف الأيسر إلى اثنين ﺟ، وهذا يساوي ١١٫٧٦. بقسمة طرفي هذه المعادلة على اثنين، نحصل على ﺟ تساوي ٥٫٨٨. إذن عجلة النظام، عند تركه ليتحرك، تساوي ٥٫٨٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

بالتعويض بهذه القيمة وبقيمة ﺩ تساوي ٩٫٨ في معادلة الجسم ﺃ، نحصل على ﺵ ناقص ٩٫٨ﻙ يساوي ٥٫٨٨ﻙ. وبإضافة ٩٫٨ﻙ إلى طرفي هذه المعادلة، نحصل على ﺵ يساوي ١٥٫٦٨ﻙ. وسنسمي هذه المعادلة واحد. وبالتعويض بقيمة العجلة في معادلة الجسم ﺏ، نحصل على ٠٫٨٦٢٤ ناقص ﺵ يساوي ٠٫٥١٧٤٤. بإعادة ترتيب هذه المعادلة، نحصل على قيمة ﺵ تساوي ٠٫٣٤٤٩٦. يمكننا الآن التعويض بقوة الشد، التي تساوي ٠٫٣٤٤٩٦ نيوتن، في المعادلة واحد. قوة الشد هذه تساوي ‎١٥٫٦٨ﻙ. بقسمة الطرفين على ١٥٫٦٨، نجد أن ﻙ تساوي ٠٫٠٢٢. وهذه هي كتلة الجسم بالكيلوجرام. بضرب هذه الإجابة في ١٠٠٠، يمكننا التحويل إلى الجرام، أي نفس وحدة الكتلة الأخرى. الكتلة ﻙ تساوي ٢٢ جرامًا.

في السؤال الأخير، سنحسب القوة المبذولة على بكرة.

جسمان كتلتاهما ﻙ جرام وﻙ زائد ٥٦ جرام، ربط أحدهما بالآخر بواسطة خيط خفيف يمر على بكرة ملساء مثبتة. ترك النظام ليتحرك من السكون عندما كان الجسمان في مستوى أفقي واحد. بعد ثانية واحدة، أصبحت المسافة الرأسية بينهما ١٢٨ سنتيمترًا. أوجد قيمة القوة المبذولة على البكرة عندما كان الجسمان في حالة حركة. اعتبر أن عجلة الجاذبية ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

دعونا نبدأ برسم المسألة كما هو موضح. كتلتا الجسمين هما ﻙ جرام وﻙ زائد ٥٦ جرام. هذا يعني أن كلًا منهما يؤثر بقوة كتلة متجهة لأسفل مضروبة في عجلة الجاذبية. ونلاحظ أن عجلة الجاذبية معطاة بالمتر لكل ثانية مربعة. وبما أن الكتلتين معطاتان بالجرام والمسافة بالسنتيمتر، علينا تحويل الجاذبية إلى سنتيمتر لكل ثانية مربعة. ولأن كل متر يتكون من ١٠٠ سنتيمتر، فإن عجلة الجاذبية تساوي ٩٨٠ سنتيمترًا لكل ثانية مربعة. لدينا خيط خفيف يمر على بكرة ملساء. ومن ثم سيكون مقدارا الشد الرأسيان متساويين. عندما يترك النظام ليتحرك، يكون مقدارا عجلة كلا الجسمين متساويين. سيتحرك الجسم ذو الكتلة ﻙﺩ بعجلة لأعلى، ويتحرك الجسم ذو الكتلة ﻙ زائد ٥٦ﺩ بعجلة لأسفل.

نعلم أن الجسمين يبدآن الحركة من المستوى الأفقي نفسه، وبعد ثانية واحدة، تصبح المسافة بينهما ١٢٨ سنتيمترًا. ويعني هذا أن كل جسم قد قطع مسافة ٦٤ سنتيمترًا، لكن أحدهما اتجه لأسفل والآخر اتجه لأعلى. يمكننا استخدام معادلات الحركة أو المعادلات التي تربط بين الإزاحة والسرعة والعجلة والزمن لحساب العجلة. نعلم أن السرعة الابتدائية كانت صفر متر لكل ثانية، حيث بدأ الجسم في حالة سكون، والزمن لدينا مقداره ثانية واحدة. سنستخدم المعادلة ﻑ تساوي ﻉ صفر ﻥ زائد نصف ﺟﻥ تربيع. بالتعويض بالقيم التي لدينا، نحصل على ٦٤ يساوي صفرًا مضروبًا في واحد زائد نصف مضروبًا في ﺟ مضروبًا في واحد تربيع. نبسط الطرف الأيسر ليصبح نصف ﺟ. يمكننا بعد ذلك ضرب طرفي المعادلة في اثنين، لنحصل على ﺟ تساوي ١٢٨. إذن عجلة النظام تساوي ١٢٨ سنتيمترًا لكل ثانية مربعة.

خطوتنا التالية هي استخدام قانون نيوتن الثاني، وهو القوة تساوي الكتلة مضروبة في العجلة. وبما أن الجسم ﺃ يتحرك بعجلة لأعلى، فإن مجموع القوى يساوي ﺵ ناقص ﻙﺩ. وهذا يساوي ﻙﺟ. يمكننا التعويض بقيمتي ﺩ وﺟ. وبإضافة ‎٩٨٠ﻙ إلى طرفي هذه المعادلة، نحصل على ﺵ يساوي ١١٠٨ﻙ. وبما أن الجسم ﺏ يتحرك بعجلة لأسفل، سنعتبره الاتجاه الموجب. ويعطينا هذا المعادلة ﻙ زائد ٥٦ﺩ ناقص ﺵ يساوي ﻙ زائد ٥٦ﺟ. بالتعويض بقيمتي ﺩ وﺟ والتعويض عن ﺵ بـ ١١٠٨ﻙ، نحصل على ٩٨٠ﻙ زائد ٥٤٨٨٠ ناقص ١١٠٨ﻙ يساوي ١٢٨ﻙ زائد ٧١٦٨. بالتبسيط بتجميع الحدود المتشابهة، نجد أن ٢٥٦ﻙ يساوي ٤٧٧١٢.

يمكننا بعد ذلك قسمة الطرفين على ٢٥٦، فنحصل على ﻙ واحد تساوي ١٨٦٫٣٧٥ جرامًا. ونستخدم هذه القيمة لحساب الشد ﺵ. ‏‏١١٠٨ مضروبًا في ١٨٦٫٣٧٥ يساوي ٢٠٦٥٠٣٫٥. بما أن الكتلتين بالجرام والعجلة بالسنتيمتر لكل ثانية مربعة، فإن قياس الشد سيكون بالداين. لكن هذا ليس الحل النهائي، لأننا نريد مقدار القوة المبذولة على البكرة. وهذا يساوي اثنين ﺵ؛ لأنه يوجد قوتا شد مبذولتان على البكرة. إذن، مقدار القوة المبذولة على البكرة يساوي ٤١٣٠٠٧ داين.

سنلخص الآن النقاط الأساسية في هذا الفيديو. عند حل مسائل عن حركة نظام مكون من جسمين معلقين رأسيًا بخيط، نستخدم قانون نيوتن الثاني، وهو ﻕ تساوي ﻙﺟ، حيث ﻕ هي القوة المحصلة، وﻙ واحد هي الكتلة، وﺟ هي العجلة. ونستخدم المعادلات الآنية لحساب أي قيم مجهولة. رأينا أيضًا أنه من المهم استخدام الوحدات الصحيحة، سواء الكيلوجرام والمتر لكل ثانية مربعة والنيوتن، أو الجرام والسنتيمتر لكل ثانية مربعة والداين. كما استخدمنا معادلات الحركة لمساعدتنا في حل المسائل الأكثر تعقيدًا. وتربط هذه المعادلات بين المسافة والسرعة والزمن.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.