فيديو السؤال: تكامل الدوال المثلثية التي تتضمن مقلوبات دوال مثلثية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد تكامل سالب ستة جا سبعة ﺱ زائد اثنين في قا تربيع ستة ﺱ ناقص واحد بالنسبة إلى ﺱ.

في هذا السؤال، مطلوب منا حساب تكامل ثلاثة حدود منفصلة. اثنان من هذه الحدود دالتان مثلثيتان، والحد الثالث ثابت. نحن نعلم كيفية حساب تكامل الحدود الثلاثة كل على حدة. ومن ثم، وباستخدام خواص التكامل، يمكننا حساب التكامل لكل حد. ويعطينا هذا تكامل سالب ستة جا سبعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ زائد تكامل اثنين قا تربيع ستة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ زائد تكامل سالب واحد بالنسبة إلى ﺱ.

قبل أن نحسب كل تكامل على حدة، دعونا نبدأ بإخراج العامل الثابت من كل حد من حدود التكامل. نخرج العامل سالب ستة من التكامل الأول، والعامل اثنين من التكامل الثاني، والعامل سالب واحد من التكامل الثالث لنحصل على المقدار التالي. والآن، نحن جاهزون لحساب كل تكامل على حدة. هيا نبدأ بالتكامل الأول.

علينا إيجاد تكامل دالة الجيب. ولفعل ذلك، نتذكر النتيجة التالية. لأي ثابت حقيقي ﺃ لا يساوي صفرًا، تكامل جا ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب واحد على ﺃ مضروبًا في جتا ﺃﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. في الدالة التي لدينا، قيمة ﺃ تساوي سبعة. وبالتعويض بسبعة في النتيجة لدينا، نحصل على سالب واحد على سبعة مضروبًا في جتا سبعة ﺱ. وبالرغم من أننا نستطيع إضافة ثابت التكامل لكل حد من حدود التكامل، فإننا سنقوم بتجميعها في النهاية على أي حال. لذلك، من الأسهل إضافة ثابت واحد للتكامل في نهاية المقدار. وأخيرًا، علينا ضرب المقدار في العامل الموجود خارج التكامل. وهذا يعطينا سالب واحد في سالب ستة على سبعة مضروبًا في جتا سبعة ﺱ.

والآن، دعونا نحسب التكامل الثاني، تكامل قا تربيع ستة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. ولفعل ذلك، نتذكر النتيجة التالية. لأي ثابت حقيقي ﺃ لا يساوي صفرًا، تكامل قا تربيع ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ يساوي واحدًا على ﺃ مضروبًا في ظا ﺃﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. وهذه المرة، قيمة ﺃ تساوي ستة. ونتذكر أن لدينا العامل اثنين خارج التكامل. بالتعويض بـ ﺃ يساوي ستة في هذه النتيجة، ثم الضرب في اثنين، نحصل على اثنين في سدس ظا ستة ﺱ.

وفي النهاية، علينا حساب التكامل الأخير، وهو تكامل واحد بالنسبة إلى ﺱ. ثمة طرق مختلفة لفعل ذلك. على سبيل المثال، يمكننا استخدام قاعدة القوة للتكامل. ومع ذلك، فمن الأسهل تذكر أن مشتقة أي دالة خطية تساوي معامل ﺱ. إذن، مشتقة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ تساوي واحدًا. وهذا يعني أن ﺱ هو المشتقة العكسية للواحد. وبهذا، فإنه عند إيجاد تكامل ثابت، سنضربه في ﺱ. تذكر أننا نطرح هذه القيمة، أي أن علينا طرح ﺱ. وأخيرًا، تذكر أن علينا إضافة ثابت التكامل في نهاية المقدار.

بعد ذلك، كل ما علينا فعله هو تجميع كل هذه الحدود معًا للحصول على المقدار الناتج من التكامل. ثم يمكننا تبسيط المعاملات التي لدينا. وبهذا، نحصل على ستة على سبعة في جتا سبعة ﺱ زائد ثلث ظا ستة ﺱ ناقص ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ. وأخيرًا، نعيد ترتيب الحدود بكتابة الحد سالب ﺱ في أول المقدار. وهذا يعطينا الإجابة النهائية. وجدنا أن تكامل سالب ستة جا سبعة ﺱ زائد اثنين قا تربيع ستة ﺱ ناقص واحد بالنسبة إلى ﺱ يساوي سالب ﺱ زائد ستة على سبعة في جتا سبعة ﺱ زائد ثلث ظا ستة ﺱ زائد ثابت التكامل ﺙ.