فيديو السؤال: إيجاد مساحة منطقة أسفل منحنى دالة جذرية الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

افترض أن ﺩ معرفة بالدالة ﺩﺱ تساوي الجذر التكعيبي لخمسة ﺱ زائد ١٥. أوجد، لأقرب جزء من الألف، مساحة المنطقة المحددة بالمنحنى ﺹ يساوي ﺩﺱ، والمحور ﺱ، والمستقيم ﺱ يساوي سالب اثنين.

قبل أن نبدأ في الحل، من المنطقي رسم المنحنى المعطى بالصورة ﺹ يساوي ﺩﺱ. يمكننا أولًا إيجاد الموقع التقريبي للجزء المقطوع من المحور ﺹ بأن نجعل ﺱ يساوي صفرًا. بذلك، نحصل على ﺩ لصفر تساوي الجذر التكعيبي لـ ١٥. هذا يعطينا ٢٫٥ تقريبًا. وبالمثل، عندما نفترض أن ﺩﺱ تساوي صفرًا، يمكننا إيجاد موقع أي جزء مقطوع من المحور ﺱ. هذا يعطينا الجذر التكعيبي لخمسة ﺱ زائد ١٥ يساوي صفرًا. يمكننا بعد ذلك تكعيب الطرفين ثم طرح ١٥ من كليهما لنحصل على خمسة ﺱ يساوي سالب ١٥. وبقسمة كلا الطرفين على خمسة، نجد أن ﺱ يساوي سالب ثلاثة.

الشكل العام للمنحنى يشبه كثيرًا شكل منحنى الدالة التكعيبية، لكنه منعكس حول المستقيم ﺹ يساوي ﺱ. وعليه، نرى أن الدالة ﺩﺱ تساوي الجذر التكعيبي لخمسة ﺱ زائد ١٥ تبدو بهذا الشكل. مطلوب منا في السؤال إيجاد مساحة المنطقة المحددة بالمنحنى لدينا، والمحور ﺱ، والمستقيم ﺱ يساوي سالب اثنين، لأقرب جزء من الألف. لذا، سنضيف المستقيم ﺱ يساوي سالب اثنين إلى الشكل لدينا. وهو خط رأسي يقطع المحور ﺱ عند سالب اثنين. ومن ثم، سنحسب مساحة المنطقة المظللة الموضحة لدينا.

لكن كيف يمكننا إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بين منحنى والمحور ﺱ؟ حسنًا، بافتراض أن هذه المساحة كلها تقع أعلى المحور ﺱ، وأن لها الحدين ﺃ وﺏ حيث ﺏ أكبر من أو يساوي ﺃ، فإن المساحة تساوي التكامل المحدد بين ﺃ وﺏ للدالة ﺩﺱ بالنسبة إلى ﺱ. نتذكر أيضًا أنه إذا كان جزء من المساحة يقع أسفل المحور ﺱ، فعلينا الانتباه أكثر قليلًا. هذا لأنه علينا تقسيم المنطقة وإيجاد القيمة المطلقة لتكامل جزئها الذي يقع أسفل المحور ﺱ. في هذا السؤال، تقع المنطقة كلها أعلى المحور ﺱ فقط. لذا، كل ما علينا فعله هو إيجاد تكامل هذا الجزء.

بعبارة أخرى، هذه المساحة تساوي التكامل المحدد بين سالب ثلاثة وسالب اثنين للجذر التكعيبي لخمسة ﺱ زائد ١٥ بالنسبة إلى ﺱ. لقد اخترنا هنا أن يكون سالب ثلاثة وسالب اثنين هما الحدين؛ لأنهما يمثلان القيمتين الصغرى والعظمى لـ ﺱ، حيث توجد المنطقة المطلوب إيجاد مساحتها. والآن، كيف سنحسب هذا التكامل؟ نلاحظ أن الدالة التي سيجرى عليها التكامل هي دالة مركبة، لكن مشتقة الدالة الداخلية خمسة ﺱ زائد ١٥ هي مجرد ثابت. هذا يوضح لنا أنه يمكننا استخدام التكامل بالتعويض.

على وجه التحديد، سنفترض أن الدالة الداخلية هي ﻉ. إذن، ﻉ يساوي خمسة ﺱ زائد ١٥. وﺩﻉ على ﺩﺱ؛ أي مشتقة هذه الدالة بالنسبة إلى ﺱ، تساوي خمسة. عند تطبيق التكامل بالتعويض، سنتعامل مع ﺩﻉ على ﺩﺱ على أنها كسر بالرغم من أنها ليست كذلك. بعبارة أخرى، نقول إن خمس ﺩﻉ يساوي ﺩﺱ. نعوض بعد ذلك عن خمسة ﺱ زائد ١٥ بـ ﻉ. وبما أن هذا جذر تكعيبي، فسنكتبه على الصورة ﻉ أس ثلث. وبالمثل، يمكننا التعويض عن ﺩﺱ بخمس ﺩﻉ. بذلك، نجد أن المساحة لدينا تساوي تكاملًا محددًا لخمس ﻉ أس ثلث ﺩﻉ.

لكن ما قيمة كل من الحدين العلوي والسفلي؟ لحساب قيمتي هذين الحدين، نعوض بـ ﺱ يساوي سالب اثنين وﺱ يساوي سالب ثلاثة في المقدار المعبر عن ﻉ. دعونا نسم الحد العلوي ﻉ واحد، ولإيجاد قيمته سنفترض أن ﺱ يساوي سالب اثنين. بذلك، نحصل على خمسة في سالب اثنين زائد ١٥، وهذا يساوي خمسة. وبالمثل، يمكننا إيجاد الحد السفلي بالتعويض بـ ﺱ يساوي سالب ثلاثة. ومن ثم، نحصل على خمسة في سالب ثلاثة زائد ١٥، وهذا يساوي صفرًا.

إذن، المساحة لدينا تساوي التكامل المحدد بين صفر وخمسة لخمس في ﻉ أس ثلث ﺩﻉ. يمكننا أن نأخذ العامل خمسًا خارج التكامل إذا أردنا ذلك، وبذلك تصبح الخطوة الآتية أبسط قليلًا. والآن، نوجد تكامل ﻉ أس ثلث بالنسبة إلى ﻉ عن طريق إضافة واحد إلى الأس، ثم القسمة على هذه القيمة الجديدة. بهذا، ﻉ أس ثلث يصبح ﻉ أس أربعة أثلاث مقسومًا على أربعة أثلاث، وهذا يساوي ثلاثة أرباع ﻉ أس أربعة أثلاث.

نعوض الآن بـ ﻉ يساوي خمسة وﻉ يساوي صفرًا في هذا المقدار ثم نوجد الفرق بينهما. عندما نفعل ذلك، نجد أن المساحة لدينا تساوي خمسًا مضروبًا في ثلاثة أرباع في خمسة أس أربعة على ثلاثة ناقص ثلاثة أرباع في صفر أس أربعة على ثلاثة. الجزء الثاني من هذا المقدار يساوي صفرًا بالتأكيد. لذا، سنكتب على الآلة الحاسبة خمسًا في ثلاثة أرباع في خمسة أس أربعة على ثلاثة. بذلك، نحصل على ١٫٢٨٢٤٨ وهكذا مع توالي الأرقام. مطلوب منا في السؤال إيجاد هذه القيمة لأقرب جزء من الألف؛ أي لأقرب ثلاث منازل عشرية. وهذا يساوي ١٫٢٨٢. إذن، مساحة المنطقة لدينا، لأقرب جزء من الألف، تساوي ١٫٢٨٢ وحدة مساحة.