فيديو السؤال: إيجاد الاحتمال الشرطي | نجوى فيديو السؤال: إيجاد الاحتمال الشرطي | نجوى

فيديو السؤال: إيجاد الاحتمال الشرطي الرياضيات • الصف الثالث الثانوي

يحضر ٢٤٠ شخصًا دروسًا في العلوم. يدرس ١٠٤ أشخاص الكيمياء، و١٣٢ شخصًا يدرسون الأحياء، و٦٨ منهم يدرسون المادتين معًا. ما احتمال وجود شخص يدرس الكيمياء، بشرط أن يدرس الأحياء؟

٠٨:٢٣

نسخة الفيديو النصية

يحضر ٢٤٠ شخصًا دروسًا في العلوم. يدرس ١٠٤ أشخاص الكيمياء، و١٣٢ شخصًا يدرسون الأحياء، و٦٨ منهم يدرسون المادتين معًا. ما احتمال وجود شخص يدرس الكيمياء، بشرط أن يدرس الأحياء؟

إن الكلمة الأساسية في هذه المسألة هي كلمة «بشرط»، وهي توضح لنا أننا نبحث عن احتمال شرطي، أي الاحتمال الشرطي أن يدرس شخص ما الكيمياء علمًا بأنه يدرس الأحياء. يمكن التعبير عن الاحتمالات الشرطية باستخدام رمز الخط الرأسي. وتكتب بالصيغة: احتمال وقوع ﺟ، أي دراسة الكيمياء، بشرط وقوع ﺏ، أي دراسة الأحياء.

لمساعدتنا في الإجابة عن هذه المسألة، دعونا ننظم المعطيات الموجودة لدينا باستخدام شكل فن. لدينا دائرتان متداخلتان على شكل فن، تحتوي إحداهما عدد الطلاب الذين يدرسون الكيمياء وتحتوي الأخرى عدد الطلاب الذين يدرسون الأحياء. يمثل الجزء المتداخل في شكل فن الطلاب الذين يدرسون كلًّا من الكيمياء والأحياء، في حين أن الجزء الموجود داخل شكل فن لكن خارج الدائرتين يمثل الطلاب الذين لا يدرسون الكيمياء ولا الأحياء. ربما يدرس هؤلاء الأشخاص الفيزياء.

والآن، هيا نضف المعطيات الموجودة في المسألة على شكل فن. نعلم أن هناك ١٠٤ أشخاص يدرسون الكيمياء، و١٣٢ شخصًا يدرسون الأحياء، لكن المعطى الأساسي هو أنه يوجد ٦٨ شخصًا يدرسون المادتين. ويعني هذا أن العدد في مركز الشكل، أو الجزء المتداخل أو تقاطع الكيمياء والأحياء، هو ٦٨.

نعلم أن هناك ١٠٤ أشخاص يدرسون الكيمياء. ولكن العدد ١٠٤ هو إجمالي عدد الأشخاص الذين يدرسون الكيمياء. أي إنه يتضمن ٦٨ شخصًا يدرسون الأحياء أيضًا. إذن، عدد الأشخاص الذين يدرسون الكيمياء فقط هو ١٠٤ ناقص ٦٨. وهو ما يساوي ٣٦. ونعلم أن هناك ١٣٢ شخصًا يدرسون الأحياء. وبالمثل، العدد ١٣٢ يتضمن ٦٨ شخصًا يدرسون الكيمياء أيضًا. إذن، عدد الأشخاص الذين يدرسون الأحياء فقط هو ١٣٢ ناقص ٦٨. وهذا يساوي ٦٤.

وأخيرًا، بالنسبة إلى العدد الذي يقع خارج الدائرتين، لكنه لا يزال داخل مخطط فن، فهو يمثل هؤلاء الأشخاص الذين لا يدرسون الكيمياء ولا الأحياء. ويمكننا إيجاد عددهم بطرح القيم الثلاث التي حسبناها بالفعل من الإجمالي ٢٤٠. ويعطينا ذلك ٧٢.

والآن، بعد أن رسمنا شكل فن، يمكننا إيجاد قيمة الاحتمال المطلوب. سنتناول طريقتين لذلك. الطريقة الأولى هي الطريقة البديهية. تذكر أن المطلوب منا هو إيجاد احتمال أن يدرس شخص ما الكيمياء، بشرط أن يدرس الأحياء، وهو ما يعني أننا نعرف بالفعل أن هذا الشخص يدرس الأحياء. ويعني هذا أننا لم نعد نتعامل مع المجموعة الكاملة المكونة من ٢٤٠ شخصًا. بل لدينا مجموعة جزئية من هذه المجموعة؛ وهي المجموعة التي تدرس الأحياء. وتتكون من جميع الأشخاص داخل الدائرة الوردية. عدد الأشخاص في الدائرة هو ٦٨ زائد ٦٤. وهو ما يساوي ١٣٢. وهو العدد الذي أخبرتنا المسألة بأنهم يدرسون الأحياء. وسنختار واحدًا من بين ١٣٢ شخصًا، أي إن الاحتمال سيكون كسرًا مقامه ١٣٢.

في البسط، سيكون لدينا عدد الأشخاص الذين يدرسون الكيمياء أيضًا. وهو عدد الأشخاص في الجزء المتداخل بين الدائرتين. وهو ٦٨. إذا عرفنا أن الشخص الذي اخترناه يدرس الأحياء، فسيعني هذا أن هناك ١٣٢ شخصًا محتملًا. ونعرف أن ٦٨ منهم يدرسون الكيمياء أيضًا. إذن، احتمال أن يدرس الشخص الكيمياء بشرط أن يدرس الأحياء هو ٦٨ على ١٣٢. ويجب تبسيط هذا الكسر بقسمة البسط والمقام على أربعة، لكي نحصل على الكسر المبسط ١٧ على ٣٣.

والآن، لنلق نظرة على الطريقة الثانية، وهي طريقة أقرب إلى القواعد الرياضية، حيث نستخدم فيها صيغة الاحتمال الشرطي. تنص صيغة الاحتمال الشرطي على أن احتمال وقوع الحدث ﺃ، بشرط وقوع الحدث ﺏ، يساوي احتمال تقاطع الحدثين ﺃ وﺏ. أي احتمال وقوع ﺃ وﺏ معًا، مقسومًا على احتمال ﺏ.

إذا افترضنا أن ﺏ هنا يمثل الأحياء واستخدمنا الحرف ﺟ بدلًا من الحرف ﺃ في الصيغة ليمثل الكيمياء، فسنجد أن احتمال أن يدرس شخص الكيمياء بشرط أن يدرس الأحياء يساوي احتمال أن يدرس الشخص الكيمياء والأحياء مقسومًا على احتمال دراسته للأحياء فقط. يمكننا استخدام شكل فن أو معطيات المسألة لإيجاد قيمة هذين الاحتمالين.

تذكر أنه يوجد ٢٤٠ شخصًا إجمالًا. إذن، سيكون كل احتمال كسرًا مقامه ٢٤٠. عدد الأشخاص الذين يدرسون الكيمياء والأحياء هو ٦٨. وعليه، فإن احتمال تقاطع ﺟ وﺏ يساوي ٦٨ على ٢٤٠. وعدد الأشخاص الذين يدرسون الأحياء، بغض النظر عما إذا كانوا يدرسون الكيمياء أو لا، هو ١٣٢. إذن، احتمال أن يدرس شخص الأحياء يساوي ١٣٢ على ٢٤٠.

والآن يمكننا التعويض بهذين الاحتمالين في صيغة الاحتمال الشرطي. ولكي لا نضع الكسرين أحدهما فوق الآخر، سنجري عملية قسمة عادية، ٦٨ على ٢٤٠ مقسومًا على ١٣٢ على ٢٤٠. تذكر أنه إذا أردنا القسمة على كسر، فعلينا عكس هذا الكسر، وإجراء الضرب بدلًا من القسمة. إذن تصبح العملية الحسابية ٦٨ على ٢٤٠ مضروبًا في ٢٤٠ على ١٣٢.

ولكن قبل الضرب، يمكننا إجراء بعض عمليات الحذف. يتكرر العامل ٢٤٠ في مقام الكسر الأول وفي بسط الكسر الثاني. إذن، يحذفان ويحل محلهما العدد واحد. وبإجراء عملية الضرب، سنحصل على ٦٨ مضروبًا في واحد على واحد مضروبًا في ١٣٢. وهو ما يساوي ٦٨ على ١٣٢. لاحظ أن هذا الناتج مماثل للاحتمال غير المبسط الذي وجدناه باستخدام الطريقة الأولى. لذا، سوف نبسط الكسر بالطريقة نفسها لنحصل على ١٧ على ٣٣.

إذن، استخدمنا طريقتين لنجد أن الاحتمال الشرطي أن يدرس شخص الكيمياء بشرط أن يدرس الأحياء يساوي ١٧ على ٣٣. ولا يمكن تبسيط هذا الكسر أكثر من ذلك؛ حيث لا يوجد عوامل مشتركة بين البسط والمقام إلا الواحد.

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في الحصص المباشرة على نجوى كلاسيز وحقق التميز الدراسي بإرشاد وتوجيه من مدرس خبير!

  • حصص تفاعلية
  • دردشة ورسائل
  • أسئلة امتحانات واقعية

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية