نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نعرف الأنواع المختلفة من المستويات الإحداثية، وكيف نعرف إحداثيات نقطة، وكيف نمثل النقاط على المستوى. تستخدم المستويات الإحداثية بشكل خاص لتحديد موقع شيء باستخدام إحداثياته في المستوى. على الأرض، نستخدم عادة نظام الإحداثيات الجغرافي الذي يعتمد على خطوط العرض والطول. وفي الهندسة، يطلق على المستوى الإحداثي الأكثر شيوعًا اسم «المستوى الإحداثي العياري المتعامد». وهو المستوى الذي تكون فيه المحاور متعامدة والمسافات متساوية. في هذا الفيديو، سوف نتناول المستويات الإحداثية من هذا النوع وبعض المستويات الإحداثية البديلة أيضًا.
دعونا نبدأ بالتعريف العام لمستوى إحداثي. يتكون المستوى الإحداثي من أي ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة ﻭ; ﺱ, ﺹ؛ حيث ﻭ هو نقطة الأصل، والخط ﻭﺱ هو المحور ﺱ مع اتجاهه الموجب في اتجاه ﻭﺱ، والخط ﻭﺹ هو المحور ﺹ مع اتجاهه الموجب في اتجاه ﻭﺹ. طول القطعة المستقيمة ﻭﺱ هو وحدة طول المحور ﺱ. وطول القطعة المستقيمة ﻭﺹ هو وحدة طول المحور ﺹ. ووفقًا لهذا التعريف نجد أن المستوى الإحداثي العياري المتعامد هو مستوى إحداثي خاص؛ حيث محوره ﺱ، وهو ﻭﺱ، عمودي على محوره ﺹ، وهو ﻭﺹ؛ وحيث تتساوى وحدتا الطول ﻭﺱ وﻭﺹ.
حسنًا، بالعودة إلى الحالة العامة، لنأخذ ثلاث نقاط عشوائية ليست على استقامة واحدة؛ ﻭ وﺱ وﺹ، كما هو موضح. إذا أردنا استخدام تلك النقاط لتكوين مستوى إحداثي، فإننا نرسم الخطين ﻭﺱ وﻭﺹ لتكوين المحورين ﺱ وﺹ على الترتيب، وإنشاء شبكة بها خطوط موازية لكلا المحورين ومتباعدة بمقدار وحدات الطول ﻭﺱ وﻭﺹ. يطلق على المستوى الإحداثي الموضح «مستوى إحداثي مائل». إنه يتميز بأن المحاور ليست متعامدة وبأن الشبكة تشكل متوازيات أضلاع. هناك نوع آخر من المستويات الإحداثية؛ وهو المستوى الإحداثي المتعامد. في هذه الحالة، يكون المحوران ﻭﺱ وﻭﺹ، أي المحوران ﺱ وﺹ، عموديين على الرغم من أن وحدتي الطول ﻭﺱ وﻭﺹ قد لا تكونان متساويتين. هذه الشبكة تشكل مستطيلات. وأخيرًا، المستوى الإحداثي العياري المتعامد هو المستوى الذي يكون فيه المحوران ﻭﺱ وﻭﺹ عموديين، وتتساوى فيه وحدتا الطول ﻭﺱ وﻭﺹ، وتشكل الشبكة مربعات.
جدير بالذكر أيضًا أننا عادة ما نمثل المستويات الإحداثية باستخدام محور أفقي ﺱ بغرض التيسير. لنلق نظرة الآن على مثال حول كيفية استخدام التعريفات لتحديد أنواع مختلفة من المستويات الإحداثية.
ﺃﺏﺟ مثلث متساوي الساقين له زاوية قائمة عند ﺏ. النقاط ﺩ وﻫ وﻭ هي نقاط المنتصف للقطع المستقيمة ﺃﺟ وﺃﺏ وﺏﺟ، على الترتيب. توجد ثلاثة أجزاء في هذا السؤال. يسألنا الجزء الأول: أي من المستويات المعطاة مستوى إحداثي عياري متعامد؟ يسألنا الجزء الثاني: أي من المستويات الآتية مستوى متعامد، لكنه ليس مستوى إحداثيًّا عياريًّا متعامدًا؟ والجزء الثالث يسأل: أي المستويات الآتية يمثل مستوى إحداثيًّا مائلًا؟
لذا دعونا نلق نظرة على الجزء الأول. أي من المستويات الآتية مستوى إحداثي عياري متعامد؟ هل هو الخيار (أ) ﺃ; ﻫ, ﺩ؟ أم الخيار (ب) ﺏ; ﺟ, ﻫ؟ أم الخيار (ج) المستوى ﺏ; ﻭ, ﻫ؟ أم الخيار (د) ﺃ; ﺏ, ﺟ؟ أم الخيار (هـ) المستوى ﺟ; ﺃ, ﺏ؟
للإجابة عن ذلك، نتذكر أنه عند تعريف مستوى إحداثي ﻭ; ﺱ, ﺹ، فإن النقطة الأولى المعطاة هي نقطة الأصل للمستوى الإحداثي. الخط الواصل من نقطة الأصل إلى النقطة الثانية، أي الخط ﻭﺱ، يمثل المحور ﺱ، والخط الواصل من نقطة الأصل حتى النقطة الثالثة؛ أي الخط ﻭﺹ يمثل المحور ﺹ. في الجزء الأول، نبحث عن مستوى إحداثي عياري متعامد، وهو المستوى الذي يكون فيه المحوران متعامدين، والطولان من نقطة الأصل إلى النقطتين ﺱ وﺹ. وهو ما يعني تساوي وحدتي الطول. حسنًا، دعونا نبدأ بمراجعة كل خيار من الخيارات المعطاة لنرى أيها يحقق معيار التعامد.
في الخيار (أ)، نقطة الأصل هي النقطة ﺃ. والمحوران هما الخطان ﺃﻫ وﺃﺩ. لكن بما أن المثلث ﺃﺏﺟ يكون زاوية قائمة عند الزاوية ﺏ، فإن الزاوية ﺩﺃﺏ لا يمكن أن تكون زاوية قائمة. لا بد من أن تكون أقل من ٩٠ درجة، ومن ثم لا يمكن أن يكون المحوران متعامدين. ولذا، يمكننا استبعاد الخيار (أ). في الخيار (ب)، ﺏ هي نقطة الأصل، والمحوران هما ﺏﺟ وﺏﻫ. وبما أن المثلث ﺃﺏﺟ قائم الزاوية عند ﺏ، فإن المحورين ﺏﺟ وﺏﻫ بالفعل متعامدان. لذا فإن المعيار الأول، أي معيار التعامد، قد تحقق في الخيار (ب). وبما أن المثلث ﺃﺏﺟ متساوي الساقين، فإن وحدتي الطول ﺏﺟ وﺏﻫ غير متساويتين. طولا الضلعين ﺏﺃ وﺏﺟ متساويان. لكن ﺏﻫ يساوي نصف طول ﺏﺃ فقط. وهو نصف طول ﺏﺟ. وبما أن وحدتي الطول غير متساويتين، فإنه يمكننا استبعاد الخيار (ب).
والآن بالنظر إلى الخيار (ج)، نجد مرة أخرى أن ﺏ هي نقطة الأصل. المحوران لدينا في هذه الحالة هما ﺏﻭ وﺏﻫ. ونجد أنه بما أن ﺏ هي نقطة الأصل، فإن المحورين متعامدان. وبذلك، تحقق المعيار الأول. وبما أن ﻭ وﻫ نقطتا المنتصف لـ ﺏﺟ وﺏﺃ على الترتيب، والمثلث متساوي الساقين؛ فإننا نعرف أن طولي الضلعين ﺏﺃ وﺏﺟ متساويان. لدينا ﺏﻫ يساوي واحدًا على اثنين ﺏﺃ. وﺏﻭ يساوي نصف ﺏﺟ؛ وعليه فإن هذه القيم متساوية. ومن ثم، بالنسبة إلى الخيار (ج)، يتحقق المعيار الثاني أيضًا. إنه تساوي وحدتي الطول. وعليه، فالمستوى الإحداثي المعرف في الخيار (ج) هو مستوى إحداثي عياري متعامد.
إذا نظرنا إلى الخيارين المتبقيين، وهما (د) و(هـ)، فإن نقطة الأصل تكون عند النقطة ﺃ في الخيار (د). إذن كما هو الحال في الخيار (أ)، يمكننا استبعاد ذلك؛ لأن الزاوية ﺃ ليست زاوية قائمة، ومن ثم فإن المحاور ليست متعامدة. هذا يعني أن المحورين ﺃﺏ وﺃﺟ غير متعامدين. وأخيرًا، في الخيار (هـ) لدينا ﺟ باعتبارها نقطة الأصل. والمحوران هما ﺟﺃ وﺟﺏ. إذن، لا يمكن أن يكون قياس الزاوية بينهما ٩٠ درجة. وهذا يعني أن المحورين غير متعامدين. ومن ثم، يمكننا استبعاد الخيار (هـ). ومن ثم، فإن إجابة الجزء الأول من السؤال: «أي من المستويات المعطاة مستوى إحداثي عياري متعامد؟» هي الخيار (ج). وهو المستوى ﺏ; ﻭ, ﻫ.
ننتقل الآن إلى الجزء الثاني من السؤال: أي من المستويات الآتية مستوى متعامد، لكنه ليس مستوى إحداثيًّا عياريًّا متعامدًا؟ الخيار (أ) المستوى ﺏ; ﻭ, ﻫ؟ أم الخيار (ب) المستوى ﺏ; ﺟ, ﺃ؟ أم الخيار (ج) المستوى ﺩ; ﺏ, ﺟ؟ أم الخيار (د) المستوى ﺃ; ﺏ, ﺟ؟ أم الخيار (هـ) المستوى ﺏ; ﻭ, ﺃ؟
في المستوى المتعامد، يكون المحوران متعامدين. لكن بما أن المستوى الذي نريد إيجاده ليس عياريًّا متعامدًا، فإن وحدات الطول لن تكون متساوية. لذا دعونا ننظر إلى الخيارات الخمسة. في الخيارات (أ) و(ب) و(هـ) تكون ﺏ هي نقطة الأصل. يتضمن الخيار (أ) المحورين ﺏﻭ وﺏﻫ. هذان المحوران متعامدان بالفعل، ومن ثم تحقق المعيار الأول. يتضمن الخيار (ب) المحورين ﺏﺟ وﺏﺃ. هذان المحوران متعامدان، ومن ثم يحقق الخيار (ب) المعيار الأول. ويتضمن الخيار (هـ) المحورين ﺏﻭ وﺏﺃ. هذان المحوران متعامدان أيضًا؛ لذا يتحقق المعيار الأول للتعامد في الخيار (هـ) أيضًا.
والآن، الخيار (ج) به ﺩ هي نقطة الأصل. وبما أن المثلث ﺃﺏﺟ متساوي الساقين، فإن النقطة ﺩ هي العمود المنصف لـ ﺃﺟ. وهذا يعني أن المحورين ﺩﺏ وﺩﺟ متعامدان بالفعل. إذن، المحوران في الخيار (ج) متعامدان. بالنظر الآن إلى الخيار (ﺩ)، نجد أن نقطة الأصل هي النقطة ﺃ. بالنسبة إلى المحورين ﺃﺏ وﺃﺟ، نعلم أن قياس الزاوية بينهما لا يمكن أن يكون ٩٠ درجة. إذن في هذه الحالة، يمكننا استبعاد الخيار (د).
إذن ما زالت لدينا الخيارات (أ) و(ب) و(ج) و(هـ) لننظر فيها. نحن نعلم أننا لا نريد أن تكون وحدات الطول متساوية؛ بحيث لا يكون المستوى الإحداثي مستوى إحداثيًّا عياريًّا متعامدًا. إذن، لنلق نظرة على هذه الخيارات الأربعة المتبقية. في الخيار (أ)، وحدتا الطول هما ﺏﻭ وﺏﻫ. الآن ﺏﻭ هو نقطة منتصف ﺏﺟ، إذن ﺏﻭ يساوي نصف ﺏﺟ. وﺏﻫ هو نقطة المنتصف لـ ﺏﺃ، إذن ﺏﻫ يساوي نصف ﺏﺃ. لكن بما أن المثلث ﺃﺏﺟ هو مثلث متساوي الساقين، فإن ﺏﺃ يساوي ﺏﺟ. إذن، واحد على اثنين ﺏﺟ يساوي واحدًا على اثنين ﺏﺃ. وهذا يعني أن ﺏﻭ يساوي ﺏﻫ بالفعل. هذا يعني أن وحدتي الطول في الخيار (أ) متساويتان. إذن، يمكننا استبعاد الخيار (أ). ووفقًا للمنطق نفسه، يمكننا استبعاد الخيار (ب). وبما أن الضلعين ﺏﺃ وﺏﺟ هما الضلعان المتساويان في المثلث المتساوي الساقين، إذن الخيار (ب) لا يحقق المعيار الثاني. ويمكننا استبعاد الخيار (ب).
بعد ذلك، بالنظر إلى الخيار (ج)، نجد أن وحدتي الطول هما الطولان ﺩﺏ وﺩﺟ. وإذا فكرنا في المثلثات، فإن المثلث ﺃﺏﺟ هو مثلث متساوي الساقين، وهو ما يعني أن الزاوية ﺏﺃﺟ تساوي الزاوية ﺏﺟﺃ، وهذا يساوي ٤٥ درجة. وبما أن القطعة المستقيمة ﺩﺏ تنصف الزاوية ﺃﺏﺟ، التي تساوي ٩٠ درجة، فإننا نجد أن قياس الزاوية ﺟﺏﺩ يساوي ٩٠ على اثنين؛ أي ٤٥ درجة. إذن، أصبحنا ننظر الآن إلى المثلث ﺏﺟﺩ. هذا أيضًا مثلث متساوي الساقين. وبذلك، يكون طولا الضلعين ﺩﺏ وﺩﺟ متساويين في الواقع. هذا يعني أن وحدتي الطول في الخيار (ج) متساويتان. ومن ثم، يمكننا استبعاد الخيار (ج)؛ لأن الخيار (ج) يمثل مستوى إحداثيًّا عياريًّا متعامدًا.
وأخيرًا بالنظر إلى الخيار (هـ)، لدينا ﺏ نقطة للأصل، والمحوران ﺏﻭ وﺏﺃ. ونعرف بالفعل أن ﺏﻭ يساوي نصف ﺏﺃ؛ لأن ﺏﺃ يساوي ﺏﺟ، وﻭ هو نقطة منتصف ﺏﺟ. إذن في الخيار (هـ) وحدتا الطول غير متساويتين، والمستوى الممثل في (هـ) ليس عياريًّا متعامدًا، ولكنه متعامد. وعليه، فإن إجابة الجزء الثاني هي الخيار (هـ)؛ أي المستوى ﺏ; ﻭ, ﺃ.
والآن لنلق نظرة على الجزء الثالث. إنه يسأل: أي المستويات الآتية يمثل مستوى إحداثيًّا مائلًا؟ الخيار (أ) المستوى ﺩ; ﺏ, ﺟ؟ أم الخيار (ب) المستوى ﺏ; ﺟ, ﺩ؟ أم الخيار (ج) المستوى ﺏ; ﺟ, ﺃ؟ أم الخيار (د) المستوى ﺩ; ﺏ, ﺃ؟ أم الخيار (هـ) المستوى ﻫ; ﺏ, ﺩ؟
إذن نحن نبحث عن مستوى إحداثي مائل يمثل مستوى إحداثيًّا محاوره ليست متعامدة. نرى أن نقطة الأصل في الخيار (أ) هي النقطة ﺩ. ومحوراها هما ﺩﺏ وﺩﺟ. وقد رأينا بالفعل أن هذين المحورين متعامدان. إذن يمكننا استبعاد الخيار (أ). في الخيار (ب)، نقطة الأصل عند ﺏ، والمحوران هما ﺏﺟ وﺏﺩ. وقد رأينا بالفعل أن قياس الزاوية بين هذين المحورين لا يساوي ٩٠ درجة. ومن ثم، فإن المحورين في الخيار (ب) غير متعامدين. إذن، (ب) يمثل مستوى إحداثيًّا مائلًا.
نقطة الأصل في الخيار (ج) تقع عند ﺏ بمحورين ﺏﺟ وﺏﺃ. هذان المحوران متعامدان؛ لذا يمكننا استبعاد الخيار (ج). نقطة الأصل في الخيار (د) تقع عند ﺩ، ولها المحوران ﺩﺏ وﺩﺃ، وهما متعامدان. يمكننا إذن استبعاد الخيار (د). وأخيرًا، تقع نقطة الأصل في الخيار (هـ) عند النقطة ﻫ، ولها المحوران ﻫﺏ وﻫﺩ. بما أن هذين المحورين متعامدان، فإنه يمكننا استبعاد الخيار (هـ). من بين الخيارات الموجودة لدينا، المستوى (ب) فقط مستوى إحداثي مائل.
إجابة الجزء الأول هي الخيار (ج)؛ المستوى ﺏ; ﻭ, ﻫ. إجابتنا عن الجزء الثاني هي الخيار (هـ)؛ وهو المستوى ﺏ; ﻭ, ﺃ. وإجابة الجزء الثالث هي الخيار (ب)؛ وهو المستوى ﺏ; ﺟ, ﺩ.
والآن بعد أن عرفنا الأنواع الثلاثة من المستويات الإحداثية، دعونا نر الآن كيف يمكننا تعريف الإحداثيات في مستوى إحداثي. بمعلومية المستوى الإحداثي ﻭ; ﺱ, ﺹ، يتم وصف موضع أي نقطة ﻡ في المستوى من خلال إحداثياتها. ويرمز للإحداثيات بالرمزين ﺱﻡ وﺹﻡ. وهنا يكون ﺱﻡ هو العدد الحقيقي على المحور ﺱ عند نقطة تقاطع الخط المستقيم الموازي للمحور ﺹ عبر ﻡ. وﺹﻡ هو العدد الحقيقي على المحور ﺹ عند نقطة تقاطع الخط المستقيم الموازي للمحور ﺱ عبر ﻡ.
إذا نظرنا إلى مستوى إحداثي مائل، على سبيل المثال، فسنجد أن إحداثيات النقطة ﻡ هي: ﺱﻡ وﺹﻡ. ونحن نلاحظ في التعريف في المستوى ﻭ; ﺱ, ﺹ أن النقطة ﺱ إحداثياتها: واحد، صفر؛ وأن إحداثيات النقطة ﺹ: صفر، واحد. دعونا نلق نظرة على مثال أخير على مستوى إحداثي عياري متعامد.
ﺃ وﺏ هما نقطتان في مستوى إحداثي عياري متعامد مع محور أفقي موجب ﺱ يشير إلى اليمين ومحور رأسي موجب ﺹ يشير لأعلى. وحدات طول المحورين معطاة في الشبكة. إذا كانت إحداثيات ﺃ هي: واحدًا، اثنين، فما إحداثيات ﺏ؟
النقطتان ﺃ وﺏ في مستوى إحداثي عياري متعامد. وهو مستوى وحدات طوله معطاة باستخدام الشبكة. والآن نتذكر أن المستوى الإحداثي العياري المتعامد هو المستوى ﻭ; ﺱ, ﺹ، الذي يكون محوراه ﻭﺱ وﻭﺹ متعامدين، وهما المحوران ﺱ وﺹ، ووحدتا طوليهما ﻭﺱ وﻭﺹ متساويتين. لإيجاد إحداثيات النقطة ﺏ، علينا أولًا تحديد موضع نقطة الأصل في المستوى الإحداثي. يمكننا فعل ذلك باستخدام النقطة ﺃ المعطاة. نعلم أن إحداثيات ﺃ هي: واحد، اثنان. هذا يعني أن ﺃ يقع على بعد وحدة واحدة على يمين نقطة الأصل، وعلى بعد وحدتين للأعلى من نقطة الأصل. إذا نظرنا بطريقة عكسية، نجد أن نقطة الأصل تقع على بعد وحدة واحدة إلى اليسار من ﺃ ووحدتين للأسفل من ﺃ.
إذا أوجدنا موضع ﺏ بالنسبة إلى نقطة الأصل هذه، فسنجد أن النقطة ﺏ تقع على بعد وحدة طول واحدة على يسار نقطة الأصل ﻭ، أي سالب واحد وحدة، وتقع على المحور الأفقي أو المحور ﺱ؛ وهو ما يعني لدينا صفرًا من الوحدات في اتجاه المحور ﺹ. إذن، إحداثيات ﺏ هي: سالب واحد، صفر.
رأينا كيف نعرف مستوى إحداثيًّا مائلًا، أو متعامدًا، أو عياريًّا متعامدًا، وكيف نعرف نقطة في مثل هذا المستوى. هيا نكمل هذا الفيديو من خلال تلخيص بعض النقاط الرئيسية التي تناولناها.
يتكون المستوى الإحداثي من أي ثلاث نقاط ليست على استقامة واحدة ﻭ; ﺱ, ﺹ؛ حيث ﻭ هو نقطة الأصل، والخط ﻭﺱ هو المحور ﺱ مع اتجاه موجب ﻭﺱ، وﻭﺹ هو المحور ﺹ مع اتجاه موجب ﻭﺹ. طولا القطعتين المستقيمتين ﻭﺱ وﻭﺹ يمثلان وحدتي طول المحورين ﺱ وﺹ، على الترتيب. هناك ثلاثة أنواع رئيسية من المستويات الإحداثية. إنها: المستوى المائل؛ حيث المحاور غير متعامدة، والمستوى المتعامد؛ حيث تكون المحاور متعامدة، لكن لا تكون وحدات الطول متساوية بالضرورة، والمستوى العياري المتعامد؛ حيث تكون المحاور متعامدة ووحدات الطول متساوية.
المستوى العياري المتعامد هو المستوى الإحداثي القياسي المستخدم في الرياضيات. يحدد موضع أي نقطة ﻡ في المستوى الإحداثي ﻭ; ﺱ, ﺹ، من خلال إحداثياتها ﺱﻡ وﺹﻡ؛ حيث ﺱﻡ هو العدد الحقيقي على المحور ﺱ عند نقطة تقاطع الخط الموازي للمحور ﺹ عبر ﻡ. وﺹﻡ هو العدد الحقيقي على المحور ﺹ عند نقطة تقاطع الخط الموازي للمحور ﺱ عبر ﻡ.
