نسخة الفيديو النصية
أوجد مدى الدالة د 𝜃 يساوي ١٤ على خمسة جا أربعة 𝜃 وطول دورتها برسم الدالة الواقعة بين صفر واثنين 𝜋.
هيا نبدأ بتذكر ما نعنيه بمدى وطول دورة الدالة. في حين أن المجال هو مجموعة القيم التي يمكننا إدخالها في الدالة، فإن المدى هو القيمة المخرجة. إنها جميع القيم الممكنة لـ د 𝜃 نفسها. كما نعلم أن دالة الجيب دورية. وهو ما يعني أنها تتكرر. والزمن الدوري لها هو الزمن المستغرق لإكمال دورة كاملة.
يوضح لنا هذا السؤال أن علينا رسم الدالة بين صفر واثنين 𝜋. قبل أن نفعل ذلك، هيا نتذكر كيف يبدو منحنى د 𝜃 يساوي جا 𝜃. يبدو الأمر قريبًا لهذا الشكل. بين صفر واثنين 𝜋، يكمل التمثيل البياني لـ جا 𝜃 دورة كاملة واحدة. وهذا يعني أن طول فترة التمثيل البياني د 𝜃 تساوي جا 𝜃 هو اثنان 𝜋.
نظرًا لأن التمثيل البياني له تماثل دوراني، يمكننا القول إنه يقطع المحور 𝜃 عند 𝜋 وله قمة عند 𝜋 على اثنين، أي قيمة عظمى محلية عند 𝜋 على اثنين، وقيمة صغرى محلية عند ثلاثة 𝜋 على اثنين. وعندما يحدث ذلك، تكون د 𝜃 تساوي واحدًا وسالب واحد، على الترتيب. إذن، منحنى الدالة د 𝜃 يساوي جا 𝜃 له مدى من سالب واحد إلى واحد، وطول دوري مقداره اثنان 𝜋 راديان.
لنتذكر الآن ما نعرفه عن تحويل التمثيلات البيانية. إذا كان ﺹ يساوي د ﺱ تمثيلًا بيانيًّا، فسيكون التمثيل البياني ﺹ يساوي د ﺃ ﺱ؛ حيث ﺃ ثابت، هو صورة مكبرة من التمثيل البياني الأصلي في اتجاه ﺱ بمعامل قياس يساوي واحدًا على ﺃ. وبالمثل، التمثيل البياني لـ ﺹ يساوي ﺏ في د ﺱ هو عبارة عن تكبير أيضًا. لكنه هذه المرة في الاتجاه ﺹ. إنه تمدد رأسي بمعامل قياس ﺏ.
التمثيل البياني لدينا هو جا أربعة 𝜃 مضروبًا في ١٤ على خمسة. هذا يعني أنه أفقيًّا في اتجاه ﺱ، تمدد بمعامل قياس يساوي ربعًا، لكن رأسيًّا، تمدد بمعامل قياس يساوي ١٤ على خمسة. هذا يعني أن أي قيمة عظمى ستحدث عندما تكون د 𝜃 تساوي ١٤ على خمسة، وتقع القيم الصغرى عندما تكون د 𝜃 تساوي سالب ١٤ على خمسة.
معامل القياس الأفقي الذي يساوي ربعًا، يعني أن الدورة الأصلية ستتكرر أربع مرات في الفترة نفسها. وسيبدو الأمر بهذا الشكل. هذه المرة نلاحظ أن المدى من سالب ١٤ على خمسة إلى ١٤ على خمسة. والطول الدوري هو ربع الطول الدوري الأصلي. إنه 𝜋 على اثنين راديان. مدى د 𝜃 يساوي ١٤ على خمسة جا أربعة 𝜃 هو الفترة المغلقة من سالب ١٤ على خمسة إلى ١٤ على خمسة، وطول دورته يساوي 𝜋 على اثنين راديان.