نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نفرق بين السرعة المنتظمة والسرعة المتوسطة. دعونا نبدأ بالتفكير فيما يعنيه تحرك جسم ما بسرعة منتظمة أو ثابتة. لنفترض أن لدينا جسمًا هنا، وأمامه مجموعة من العلامات التي تميز مسافات محددة. عند الزمن صفر ثانية، يكون الجسم هنا. لكن لنفترض بعد ذلك أنه بعد ثانية واحدة، يكون الجسم هنا. وعند ثانيتين، يكون هنا. وهنا بعد ثلاث ثوان، ثم أربع ثوان، وخمس ثوان. إذن بمرور كل ثانية من الزمن، يتحرك الجسم مسافة إضافية مقدارها متر واحد. وعندما يقطع جسم متحرك مسافات متساوية خلال فترات زمنية متساوية، نقول إنه يتحرك بسرعة ثابتة؛ بعبارة أخرى، سرعته لا تتغير.
لكننا في الحياة الواقعية نعلم أن العديد من الأجسام المتحركة لا تتحرك بسرعة ثابتة. لنفترض أن لدينا جسمًا آخر هنا. إذا تحرك هذا الجسم لثانية واحدة، فسيكون موضعه الجديد على مسافة متر واحد. لكن بعد مرور ثانيتين، يصبح الجسم هنا على مسافة أربعة أمتار. وأخيرًا، سنقول إنه عند ثلاث ثوان، يصبح الجسم على مسافة خمسة أمتار. في هذه الحالة، الفترات الزمنية المتساوية، أي ثانية واحدة ثم ثانيتان ثم ثلاث ثوان، لا تقابلها مسافات متساوية. ومن ثم، نعلم أن هذا الجسم الثاني لا يتحرك بسرعة ثابتة. لكن ما زال بإمكاننا فهم شيء ما عن المعدل الذي يتحرك به الجسم.
يمكننا فعل ذلك من خلال حساب ما يسمى بالسرعة المتوسطة لهذا الجسم. ونفعل ذلك عن طريق جمع كل المسافات التي تحركها الجسم خلال كل فترة من الفترات الزمنية التي مدتها ثانية واحدة. سنبدأ بالفترة الأولى من صفر ثانية إلى ثانية واحدة. الفترة الزمنية هي ثانية واحدة، وخلال هذا الزمن تحرك الجسم مسافة مقدارها متر واحد. ننتقل بعد ذلك إلى الفترة الزمنية التالية. عندما نحسب السرعة المتوسطة، نحتفظ بما يمكن أن نطلق عليه المجموع التراكمي لكل الفترات الزمنية وكل المسافات المقطوعة المقابلة. هذه الفترة الزمنية الثانية، مثل الفترة الزمنية الأولى، تساوي ثانية واحدة. ولكن خلال الفترة الثانية، يتحرك الجسم من متر واحد إلى أربعة أمتار. وهي مسافة كلية مقدارها ثلاثة أمتار.
ننتقل بعد ذلك إلى الفترة الأخيرة. هنا أيضًا سنضيف الفترة الزمنية الأخيرة والمسافة الأخيرة. خلال هذه الفترة الأخيرة التي مدتها ثانية واحدة، يقطع الجسم مسافة مقدارها متر واحد، من نهاية المتر الرابع إلى نهاية المتر الخامس. إذا جمعنا كل قيم البسط وكل قيم المقام في هذا الكسر، فسنحصل على واحد زائد ثلاثة زائد واحد، أي خمسة أمتار، وواحد زائد واحد زائد واحد، أي ثلاث ثوان. لاحظ أن هذا الناتج بوحدة المتر لكل ثانية. وهي وحدة قياس السرعة. إذن السرعة المتوسطة لهذا الجسم الثاني تساوي خمسة أثلاث متر لكل ثانية.
يمكننا استخدام هذا المثال لكتابة معادلة عامة لحساب السرعة المتوسطة لأي جسم. إذا أطلقنا على السرعة المتوسطة للجسم ﻉ، فسنجد أنها تساوي التغير الكلي في المسافة التي قطعها الجسم مقسومًا على التغير الكلي في الزمن المنقضي. عندما نرى معادلة تتضمن كمية متغيرة، نمثل هذا التغير غالبًا باستخدام هذا الرمز. واسم هذا الرمز هو دلتا (Δ). وهو حرف من حروف الأبجدية اليونانية. في حالة السرعة المتوسطة، بما أننا نتحدث عن تغير في المسافة مقسومًا على تغير في الزمن، يمكننا كتابة ذلك باستخدام الرمز Δ. فهي تساوي Δﻑ على Δﺯ. السرعة المتوسطة للجسم تساوي التغير الكلي في المسافة التي يقطعها هذا الجسم مقسومًا على التغير في الزمن الذي يتحرك خلاله.
نظرًا لأن هذه معادلة السرعة المتوسطة، يمكننا استخدامها حتى عندما لا يتحرك الجسم بسرعة ثابتة كما هو الحال هنا. في الحقيقة، مثل هذه الحالات هي التي تكون فيها السرعة المتوسطة أكثر فائدة. يمكن استخدام هذه المعادلة لحساب السرعات غير الثابتة، وكذلك السرعات الثابتة. بعد أن عرفنا كل ذلك، دعونا نتدرب على حساب السرعة المتوسطة من خلال بعض الأمثلة.
يتحرك جسم أزرق وجسم برتقالي على شبكة من خطوط تفصلها مسافات متساوية. يتحرك كلا الجسمين لمدة خمس ثوان. توضح الأسهم المسافات التي تحركها كل جسم كل ثانية. أي جسم ملون له سرعة متوسطة أكبر؟
نلاحظ هنا أن هذين الجسمين الأزرق والبرتقالي يتحركان على شبكة من المربعات. ليس معلومًا لدينا طول ضلع كل مربع في هذه الشبكة، لكننا نعلم أن هذه المسافة مساوية لعرض المربع. يمكننا إذن افتراض أن جميع أضلاع مربعات الشبكة متساوية في الطول. بالنسبة إلى هذين الجسمين، يوضح كل سهم المسافة التي يقطعها الجسم كل ثانية. على سبيل المثال، قطع الجسم البرتقالي في الثانية الأولى هذه المسافة، ثم في الثانية الثانية قطع هذه المسافة، وفي الثانية الثالثة هذه المسافة، وهكذا. على مدار الفترة البالغة خمس ثوان، نلاحظ أن الجسم البرتقالي قطع واحدًا، اثنين، ثلاثة، أربعة، خمسة مربعات من الشبكة. وقد فعل ذلك من خلال التحرك بمقدار مربع واحد في كل ثانية من الزمن.
على الجانب الآخر، يتحرك الجسم الأزرق بمقدار مربع واحد في الثانية الأولى، ثم يكرر ذلك في الثانية الثانية. لكن خلال الثانية الثالثة، نلاحظ أنه يتحرك بمقدار مربعين من الشبكة. وخلال كل من الثانيتين الرابعة والخامسة، يتحرك بمقدار نصف مربع. وكما هو الحال مع الجسم البرتقالي، يتحرك الجسم الأزرق خلال خمس ثوان بمقدار واحد، اثنين، ثلاثة، أربعة، خمسة مربعات. هذه الحقيقة مهمة لمقارنة السرعة المتوسطة لهذين الجسمين. بوجه عام، السرعة المتوسطة للجسم ﻉ تساوي التغير في المسافة التي يقطعها هذا الجسم مقسومًا على التغير في الزمن الذي يتحرك خلاله.
للمقارنة بين السرعة المتوسطة لهذين الجسمين، سنحسب المسافة الكلية التي قطعها كل منهما مقسومة على الزمن الكلي الذي تحرك خلاله كل منهما. في حالة الجسم البرتقالي، رأينا أنه تحرك خمسة مربعات في خمس ثوان. قطع الجسم الأزرق أيضًا مسافة كلية مقدارها خمسة مربعات في خمس ثوان. وعلى الرغم من أن الجسم البرتقالي فعل ذلك من خلال التحرك بسرعة ثابتة في حين تحرك الجسم الأزرق بسرعة غير ثابتة، فإن السرعة المتوسطة لكل منهما خلال الرحلة كلها متساوية. إذن لنجيب عن السؤال، نقول إن كلا الجسمين له نفس السرعة المتوسطة. هذا لأنه، في المتوسط، قطع كل جسم المسافة نفسها خلال الفترة الزمنية ذاتها.
لنتناول الآن مثالًا آخر.
كانت السيارة اللعبة الموضحة تسير بسرعة منتظمة قبل أن نبدأ في قياس سرعتها عن طريق تسجيل موضعها كل ثانية. ما السرعة المتوسطة للسيارة أثناء الزمن الذي قيست خلاله سرعة السيارة؟
بالنظر إلى الشكل، نعلم أنه حتى هذه اللحظة التي بدأ فيها القياس، كانت السيارة تتحرك بسرعة منتظمة أو ثابتة. هذا يعني أنها قطعت مسافات متساوية خلال فترات زمنية متساوية. لكن دعونا نر ما حدث بعد أن بدأنا في قياس حركة السيارة. بعد ثانية واحدة من الزمن، قطعت السيارة مسافة مقدارها متر واحد. لكن لننظر إلى هذا. بعد ثانيتين من الزمن، يصبح موضع السيارة هنا، وهي مسافة أكبر من متر واحد بدءًا من موضعها بعد ثانية واحدة. وبعد ذلك، خلال الثانية الأخيرة من الزمن المقيس، قطعت السيارة مسافة ما بحيث تكون المسافة الكلية من لحظة بدء القياس مساوية لمتر واحد زائد متر واحد زائد متر واحد، أي ثلاثة أمتار.
على مدار الثواني الثلاثة التي قيست فيها حركة السيارة، نريد أن نعرف سرعتها المتوسطة. يمكننا بدء الحل لإيجاد هذه القيمة بتذكر أن السرعة المتوسطة للجسم ﻉ تساوي التغير في المسافة مقسومًا على التغير في الزمن. تجدر الإشارة هنا إلى أن هذه التغيرات التي نتحدث عنها هي تغيرات كلية. هذا يعني أنه في حالة السيارة، Δﻑ هو التغير الكلي في المسافة التي تقطعها السيارة. وهذا يساوي ثلاثة أمتار كما رأينا. ثم Δﺯ هو التغير الكلي المقابل في الزمن، ونلاحظ أن الزمن الكلي المنقضي يساوي ثلاث ثوان.
إذن Δﻑ يساوي ثلاثة أمتار، وΔﺯ يساوي ثلاث ثوان. عندما نحسب قيمة هذا الكسر، نجد السرعة المتوسطة للسيارة خلال الفترة الزمنية المقيسة. ثلاثة على ثلاثة يساوي واحدًا، إذن السرعة المتوسطة تساوي مترًا واحدًا لكل ثانية. لاحظ أنه نظرًا لأن هذه سرعة متوسطة، فلم نحتج قط إلى معرفة المسافة التي قطعتها السيارة هنا، أي المسافة التي تزيد عن متر التي قطعتها السيارة بين الثانيتين الأولى والثانية. لإيجاد السرعة المتوسطة، لم نحتج سوى معرفة التغير الكلي في المسافة والتغير الكلي في الزمن. كما رأينا، هذه السرعة المتوسطة تساوي مترًا واحدًا لكل ثانية.
لنتناول الآن مثالًا آخر.
يتحرك جسم أزرق وجسم برتقالي على شبكة رسم تتكون من خطوط تفصل بينها مسافات متساوية. يتحرك كل من الجسمين أربع ثوان. تشير الأسهم إلى المسافات التي يتحركها الجسمان كل ثانية. أي الجسمين الملونين له سرعة متوسطة أكبر؟
عندما نلقي نظرة على حركة هذين الجسمين على الشبكة، نعلم أولًا أن جميع أضلاع مربعات الشبكة لها الطول نفسه. لذا، على سبيل المثال، هذه المسافة تساوي هذه المسافة هنا، كما تساوي هذه المسافة هنا، وهكذا. وفي حالة كل جسم، توضح لنا الأسهم السوداء المسافة التي يقطعها هذا الجسم كل ثانية. في أول ثانية، يقطع الجسم البرتقالي مسافة مقدارها مربع واحد، كما هو الحال مع الجسم الأزرق. وخلال الثانية الثانية، يقطع كلا الجسمين مسافة مقدارها مربع واحد مرة أخرى. لكن خلال الثانية الثالثة، يتحرك الجسم البرتقالي مرة أخرى مسافة مقدارها مربع واحد، بينما يتحرك الجسم الأزرق بمقدار واحد، اثنين، ثلاثة مربعات. وخلال الثانية الأخيرة، يتحرك كلا الجسمين مرة أخرى مسافة مقدارها مربع واحد.
نريد أن نعرف أي الجسمين له سرعة متوسطة أكبر. السرعة المتوسطة للجسم ﻉ تساوي، بوجه عام، التغير الكلي في المسافة التي يقطعها هذا الجسم مقسومًا على التغير الكلي في الزمن المنقضي. في حالة هذين الجسمين البرتقالي والأزرق، سنحسب سرعتهما المتوسطة بدلالة عدد مربعات الشبكة على الزمن. ولأننا نوجد قيمة السرعة المتوسطة، فلن نحتاج إلى النظر إلى كل فترة زمنية مقدارها ثانية واحدة. وإنما بدلًا من ذلك، كما تشير المعادلة، سنبحث عن التغير الكلي في متغيري المسافة والزمن.
إذن، في حالة الجسم البرتقالي، ما التغير الكلي في المسافة Δﻑ؟ وما التغير الكلي في الزمن Δﺯ؟ هذا الجسم يتحرك أربعة مربعات في الشبكة، ويفعل ذلك خلال زمن كلي مقداره أربع ثوان. هذا يعني أن السرعة المتوسطة للجسم البرتقالي تساوي مربعًا واحدًا لكل ثانية. أما في حالة الجسم الأزرق، فالمسافة الكلية المقطوعة هنا تساوي واحدًا، اثنين، ثلاثة، أربعة، خمسة، ستة مربعات. وهذا كله يحدث أيضًا خلال زمن مقداره أربع ثوان. ومن ثم، فإن السرعة المتوسطة للجسم الأزرق تساوي ثلاثة أنصاف مربع لكل ثانية. وبما أن ثلاثة أنصاف أكبر من واحد، فستكون الإجابة هي أن الجسم الأزرق له سرعة متوسطة أكبر.
لنختتم هذا الدرس الآن بمراجعة بعض النقاط الرئيسية. في هذا الفيديو، رأينا أن الجسم الذي يتحرك بسرعة ثابتة يقطع مسافات متساوية خلال فترات زمنية متساوية. وتعلمنا أيضًا أن السرعة المتوسطة للجسم تساوي التغير في المسافة المقطوعة مقسومًا على التغير في الزمن المنقضي. ويكتب ذلك في صورة معادلة هي ﻉ تساوي Δﻑ على Δﺯ.