نسخة الفيديو النصية
في هذا الفيديو، سنتعلم كيف نوجد التكاملات غير المحددة للدوال الأسية ودوال المقلوب. نبدأ باستحضار الجزء الأول من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل، قبل النظر في كيفية استخدام ذلك في حساب تكامل الدوال الأسية بالصورة ﻫ أس ﺱ، ودوال المقلوب بالصورة ﺃ على ﺱ.
نبدأ بكتابة الجزء الأول من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل. لنفترض أن ﺩ دالة متصلة ذات قيم حقيقية معرفة على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ. ثم نفترض أن ﻕ هي الدالة المعرفة لجميع قيم ﺱ في هذه الفترة المغلقة، حيث ﻕﺱ تساوي التكامل بين ﺃ وﺱ لـ ﺩﻝ، بالنسبة إلى ﻝ. ومن ثم تكون الدالة ﻕ متصلة بشكل منتظم على الفترة المغلقة من ﺃ إلى ﺏ وقابلة للاشتقاق على الفترة المفتوحة من ﺃ إلى ﺏ، حيث ﻕ شرطة ﺱ تساوي ﺩﺱ لجميع قيم ﺱ في الفترة المفتوحة من ﺃ إلى ﺏ. بعبارة أخرى، ﻕ هي المشتقة العكسية للدالة ﺩ، وهي الدالة التي مشتقتها تساوي الدالة الأصلية.
ونفهم من ذلك كله أن التكامل هو العملية العكسية للاشتقاق. فلنبدأ بالنظر إلى الدالة ﺩﺱ التي تساوي ﻫ أس ﺱ. نعلم أن مشتقة ﻫ أس ﺱ هي ببساطة ﻫ أس ﺱ. إذن، المشتقة العكسية لـ ﻫ أس ﺱ هي ﻫ أس ﺱ أيضًا. وبالتالي يمكننا القول إن التكامل غير المحدد لـ ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ هو ﻫ أس ﺱ. وبما أننا نتعامل هنا مع تكامل غير محدد، نضيف ثابت التكامل هذا. ولنسمه ﺙ.
ولكن ماذا عن تكامل الدالة ﺃ أس ﺱ حيث ﺃ ثابت حقيقي؟ مرة أخرى، نفكر في المشتقات. ونسترجع حقيقة أن مشتقة ﺃ أس ﺱ هي ﺃ أس ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺃ. يمكننا إذن القول إن التكامل غير المحدد لـ ﺃ أس ﺱ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺃ يساوي ﺃ أس ﺱ؛ لأن هذه هي مشتقتها العكسية. مرة أخرى، نحن نتعامل مع تكامل غير محدد، وبالتالي نضيف ثابت التكامل ﺙ.
لكن هذا ليس ما نسعى إليه. إذ إننا نريد إيجاد تكامل ﺃ أس ﺱ. إذن نخرج هذا الثابت، أي اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺃ، خارج التكامل. ثم نقسم الطرفين على اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺃ. ومن ثم نحصل على تكامل ﺃ أس ﺱ، وهو ﺃ أس ﺱ على اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺃ، زائد ﺙ واحد. لاحظ أيضًا أنني كتبت هذا الثابت في صورة ﺙ واحد. وهذا لتوضيح أنني قد قسمت الثابت الأصلي على ثابت آخر، ما يغير هذا العدد. من المفيد أن نعرف من أين جاءت هذه النتائج، ولكن بشكل عام يكفي أن نكتبها. سننظر الآن في بعض الأمثلة على تكامل هذه الدوال الأسية.
أوجد التكامل غير المحدد لثمانية ﻫ أس ثلاثة ﺱ ناقص ﻫ أس اثنين ﺱ زائد تسعة على سبعة ﻫ أس ﺱ، بالنسبة إلى ﺱ.
قد تبدو هذه المسألة معقدة جدًا، وربما تفكر الآن كيف يمكن للتعويض أن يساعدك. لكن من المهم ملاحظة أنه يمكننا تبسيط ما بداخل التكامل بقسمة كل جزء من البسط على سبعة ﻫ أس ﺱ، دون أن ننسى أنه يمكننا حينها ببساطة طرح الأسس. وعند القيام بذلك، يتبقى لدينا التكامل غير المحدد لثمانية أسباع ﻫ أس اثنين ﺱ ناقص سبع ﻫ أس ﺱ زائد تسعة أسباع ﻫ أس سالب ﺱ.
ثم نتذكر أنه يمكننا تقسيم هذا التكامل. إن تكامل مجموع عدد من الدوال يساوي مجموع تكاملات كل دالة على حدة. ويمكننا أيضًا إخراج أي عوامل ثابتة خارج التكامل، والتعامل معها لاحقًا. إذن لدينا ثمانية أسباع في تكامل ﻫ أس اثنين ﺱ بالنسبة إلى ﺱ، ناقص سبع في تكامل ﻫ أس ﺱ بالنسبة إلى ﺱ، زائد تسعة أسباع في تكامل ﻫ أس سالب ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. حسنًا، ماذا بعد؟
نعلم أن التكامل غير المحدد لـ ﻫ أس ﺱ هي ﻫ أس ﺱ زائد ﺙ. ولكن ماذا عن تكامل ﻫ أس اثنين ﺱ؟ قد ترغب في توقع الناتج. وهناك نتيجة قياسية يمكننا كتابتها. لكن دعونا نتعامل مع هذا الاشتقاق باستخدام التكامل بالتعويض. لنفترض أن ﻉ يساوي اثنين ﺱ. إذن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي اثنين. نعلم أن ﺩﻉ على ﺩﺱ بالتأكيد ليس كسرًا، ولكن يمكننا التعامل معه باعتباره كذلك لأغراض التكامل بالتعويض. نجد أن نصف ﺩﻉ يساوي ﺩﺱ.
ثم نجد أنه يمكننا ببساطة وضع ﻉ بدلًا من اثنين ﺱ، ونصف ﺩﻉ بدلًا من ﺩﺱ، ثم نخرج النصف خارج التكامل. وكل ما علينا فعله الآن هو إيجاد تكامل ﻫ أس ﻉ بالنسبة إلى ﻉ. هذا يساوي ببساطة نصفًا في ﻫ أس ﻉ. لكن بما أن ﻉ يساوي اثنين ﺱ، يمكننا القول إن التكامل غير المحدد لـ ﻫ أس اثنين ﺱ يساوي نصفًا في ﻫ أس اثنين ﺱ زائد ثابت التكامل. ولنسمه ﺙ واحد. وهذا جيد لأنه يعطينا النتيجة العامة لتكامل ﻫ أس ﺃﺱ حيث ﺃ ثابت حقيقي. وهذا يساوي واحدًا على ﺃ في ﻫ أس ﺃﺱ.
ويمكننا استخدام هذه النتيجة. ونلاحظ أن قيمة تكامل ﻫ أس سالب ﺱ هي واحد على سالب واحد في ﻫ أس سالب ﺱ زائد ﺙ. وبحساب ذلك، نجد أن التكامل غير المحدد يساوي ثمانية أسباع في نصف ﻫ أس اثنين ﺱ زائد ﺙ واحد، ناقص سبع في ﻫ أس ﺱ زائد ﺙ اثنان، زائد تسعة أسباع في واحد على سالب واحد في ﻫ أس سالب ﺱ زائد ﺙ ثلاثة. ومن خلال فك الأقواس بالتوزيع وجمع الثوابت معًا، نحصل على الحل أربعة أسباع ﻫ أس اثنين ﺱ ناقص ﻫ أس ﺱ على سبعة ناقص تسعة أسباع ﻫ أس سالب ﺱ زائد ﺙ أربعة.
يوضح هذا المثال بشكل رائع أنه يمكننا الحصول على تكامل ﻫ أس ﺃﺱ باستخدام النتيجة العامة لتكامل ﻫ أس ﺱ والتعويض المناسب. ومع ذلك فمن المنطقي أكثر أن نستخدم النتيجة المعطاة. وهي أن تكامل ﻫ أس ﺃﺱ بالنسبة إلى ﺱ هي واحد على ﺃ في ﻫ أس ﺃﺱ زائد ﺙ. ويمكننا تعميم ذلك أكثر بالقول إن تكامل ﻫ أس ﺃﺱ زائد ﺏ هي ﻫ أس ﺃﺱ زائد ﺏ على ﺃ.
في المثال التالي، سنرى كيف يمكن أن يساعدنا التعويض في الحصول على ناتج تكامل ﺃ أس ﺏﺱ، حيث ﺃ وﺏ ثابتان حقيقيان.
أوجد تكامل اثنين أس تسعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ.
لنبدأ بكتابة ما نعرفه عن تكامل ﺃ أس ﺱ. إنه ﺃ أس ﺱ مقسومًا على اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺃ. وما بداخل التكامل هنا مختلف قليلًا، فهو عبارة عن ثابت أس ثابت آخر مضروب في ﺱ. وسنستخدم الطريقة المتبعة مع الأشياء الجديدة؛ سنستخدم حرفًا جديدًا. نفترض أن ﻉ يساوي تسعة ﺱ، وهذا يعرف بالتكامل بالتعويض. ومن ثم نحصل على المشتقة ﺩﻉ بالنسبة إلى ﺱ، وهي تساوي تسعة. والآن تذكر أن ﺩﻉ على ﺩﺱ ليس كسرًا، ولكن يمكننا التعامل معه باعتباره كذلك لأغراض التكامل بالتعويض. لذا يمكننا القول إن تسع ﺩﻉ يساوي ﺩﺱ.
ونعوض عن تسعة ﺱ بـ ﻉ، وعن ﺩﺱ بتسع ﺩﻉ. ثم نخرج العامل الثابت تسعًا خارج التكامل. ونجد أن التكامل الآن أصبح تسعًا في تكامل اثنين أس ﻉ بالنسبة إلى ﻉ. حسنًا، تكامل اثنين أس ﻉ هي اثنان أس ﻉ على اللوغاريتم الطبيعي لاثنين. ثم يمكننا بالطبع استخدام التعويض ووضع تسعة ﺱ بدلًا من ﻉ. وبذلك نكون قد أوجدنا تكامل اثنين أس تسعة ﺱ بالنسبة إلى ﺱ. وهو اثنان أس تسعة ﺱ على تسعة في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين زائد ثابت التكامل ﺙ واحد، وقد كتبته ﺙ واحد لتوضيح أنه مختلف عن القيمة التي كانت لدينا من قبل.
ونحصل من هذا المثال على نتيجة عامة لتكامل ﺃ أس ﺏﺱ حيث ﺃ وﺏ ثابتان حقيقيان. وهي ﺃ أس ﺏﺱ على ﺏ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺃ زائد ثابت التكامل ﺙ. وسنتناول الآن بعض دوال المقلوب. وهي الدوال بالصورة ﺃ على ﺱ. قد تعتقد في البداية أن الأمر مباشر وبسيط. يمكننا إعادة كتابة هذه الدالة بالصورة ﺃ في ﺱ أس سالب واحد، وإكمال الحل. لكن دعونا نرى ما يحدث إذا استخدمنا قاعدة القوة للتكامل.
نضيف واحدًا إلى الأس. وهذا يعطينا ﺱ أس صفر. ثم نقسم على صفر. لكن ذلك غير ممكن. فهو يعطينا عددًا قيمته غير معرفة. إذن، ماذا علينا أن نفعل؟ مرة أخرى، نفكر في إحدى المشتقات. نتذكر أن مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ هي واحد على ﺱ. وبالنتيجة يقودنا هذا إلى أن تكامل واحد على ﺱ هو اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ.
لكن في الواقع علينا إعادة تعريف ذلك. اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ يقبل فقط القيم الحقيقية الموجبة لـ ﺱ، أي الأكبر من صفر. إذن يمكننا بدلًا من ذلك القول إن تكامل واحد على ﺱ لجميع قيم ﺱ ما عدا الصفر هو اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ. وبالطبع، لدينا ثابت التكامل هذا، ﺙ. وبتعميم ذلك بالنسبة لـ ﺃ على ﺱ، نجد أن تكامل ﺃ على ﺱ هو ﺃ في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ زائد ﺙ.
أوجد التكامل غير المحدد لسالب اثنين على سبعة ﺱ ﺩﺱ.
نبدأ بإخراج العامل الثابت في هذا المقدار. هذا يعطينا سالب سبعين في تكامل واحد على ﺱ ﺩﺱ. ومن ثم نكتب النتيجة العامة لتكامل واحد على ﺱ. وهي اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ. إذن نحصل على التكامل وهو سالب سبعين في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ زائد ﺙ. وأخيرًا، نفك الأقواس بالتوزيع. ونجد أن حل هذه المسألة هو سالب سبعين في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ زائد ﺙ واحد.
لاحظ أنني كتبت هنا ﺙ واحد لتوضيح أن الثابت الأصلي ضرب في سالب سبعين، ما أدى إلى تغيره. ومن المفيد أن نتذكر أنه يمكننا التحقق من صحة الحل بإجراء العملية العكسية، وهي الاشتقاق. إن مشتقة اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ هي بالطبع واحد على ﺱ. وبالتالي فإن مشتقة سالب سبعين في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺱ هي سالب سبعين في واحد على ﺱ. ومشتقة الثابت ﺙ واحد هي صفر. وبالضرب نحصل على مشتقة تساوي سالب اثنين على سبعة ﺱ، وهو المطلوب.
أوجد، إن أمكن، المشتقة العكسية ﻕ للدالة ﺩﺱ تساوي واحدًا على اثنين ﺱ ناقص واحد التي تحقق الشرطين ﻕ صفر تساوي واحدًا، وﻕ واحد تساوي سالب واحد.
هناك طريقة أخرى لإيجاد المشتقة العكسية، وهي حساب التكامل غير المحدد. ما سنفعله هو حساب التكامل لواحد على اثنين ﺱ ناقص واحد بالنسبة إلى ﺱ، مع أخذ الشرطين بعين الاعتبار. لحساب تكامل واحد على اثنين ﺱ ناقص واحد، سنستخدم التعويض. نفترض أن ﻉ يساوي اثنين ﺱ ناقص واحد، ما يعني أن ﺩﻉ على ﺩﺱ يساوي اثنين. ونعلم بالفعل أن ﺩﻉ على ﺩﺱ ليس كسرًا، ولكننا نتعامل معه باعتباره كذلك لأغراض التكامل بالتعويض، ونقول إن نصف ﺩﻉ يساوي ﺩﺱ.
دعونا نجري بعض عمليات التعويض. نعوض عن اثنين ﺱ ناقص واحد بـ ﻉ وعن ﺩﺱ بنصف ﺩﻉ. ويمكننا بالطبع إخراج العامل الثابت نصف خارج التكامل، ليصبح لدينا نصف في تكامل واحد على ﻉ. تذكر أن تكامل واحد على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ هو اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ. إذن يمكننا القول إن تكامل واحد على اثنين ﺱ ناقص واحد ﺩﺱ يساوي نصفًا في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﻉ زائد ﺙ. ونعوض عن ﻉ باثنين ﺱ ناقص واحد، وبذلك نحصل على المشتقة العكسية. بفك الأقواس بالتوزيع، نجد أن المشتقة العكسية ﻕ تساوي نصفًا في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لاثنين ﺱ ناقص واحد زائد ﺙ واحد.
فلننظر الآن إلى الشرطين. ونتذكر أيضًا حقيقة أن اثنين ﺱ ناقص واحد لا يمكن أن يساوي صفرًا. ومن ثم يصبح لدينا دالة متعددة التعريف للمشتقة العكسية. الجزء الأول من الدالة التي تعنينا هو عندما يكون اثنان ﺱ ناقص واحد أكبر من صفر. وبالحل لإيجاد قيمة ﺱ، نحصل على ﺱ أكبر من نصف. والجزء الثاني هو عندما يكون واحد ناقص اثنين ﺱ أكبر من صفر. وبالحل لإيجاد قيمة ﺱ هذه المرة، نحصل على ﺱ أقل من نصف. دعونا نفرغ مساحة ونصوغ ذلك.
لدينا الآن المشتقة العكسية، ﻕﺱ، تساوي نصفًا في اللوغاريتم الطبيعي لواحد ناقص اثنين ﺱ زائد ثابت ما عندما يكون ﺱ أقل من نصف، ونصفًا في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ﺱ ناقص واحد زائد ثابت ما عندما يكون ﺱ أكبر من نصف. سنستخدم الآن شرطي المشتقة العكسية لإيجاد قيمة ﺙ. الشرط الأول هو ﻕ صفر تساوي واحدًا. ومن ثم عند ﺱ يساوي صفرًا، فإن ﻕ تساوي واحدًا.
وبما أن ﺱ أقل من نصف، سنستخدم الجزء الأول من الدالة. نعوض عن ﺱ بصفر وعن ﻕ بواحد. فنحصل على واحد يساوي نصفًا في اللوغاريتم الطبيعي لواحد ناقص اثنين في صفر. اللوغاريتم الطبيعي لواحد ناقص اثنين في صفر هو اللوغاريتم الطبيعي لواحد، وهو بالطبع صفر. إذن نحصل على ﺙ يساوي واحدًا.
الشرط الثاني هو عند ﺱ يساوي واحدًا، فإن ﻕ يساوي سالب واحد. هذه المرة ﺱ أكبر من نصف، ومن ثم نستخدم الجزء الثاني من الدالة. ونجد أن سالب واحد يساوي نصفًا في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين في واحد ناقص واحد زائد ﺙ. مرة أخرى، اللوغاريتم الطبيعي لاثنين في واحد ناقص واحد يساوي صفرًا. إذن، نجد أن ﺙ في الجزء الثاني يساوي سالب واحد. وبالتالي فإن المشتقة العكسية ﻕ موجودة بالفعل. حيث إن ﻕﺱ تساوي نصفًا في اللوغاريتم الطبيعي لواحد ناقص اثنين ﺱ زائد واحد، حيث ﺱ أقل من نصف، ونصفًا في اللوغاريتم الطبيعي لاثنين ﺱ ناقص واحد ناقص واحد، حيث ﺱ أكبر من نصف.
في هذا الفيديو، رأينا أنه يمكننا استخدام الجزء الأول من النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل لحساب تكامل الدوال الأسية ودوال المقلوب. وقد وجدنا أن تكامل ﻫ أس ﺃﺱ يساوي واحدًا على ﺃ في ﻫ أس ﺃﺱ. وتكامل ﺃ أس ﺏﺱ هو ﺃ أس ﺏﺱ على ﺏ في اللوغاريتم الطبيعي لـ ﺃ. وتكامل ﺃ على ﺱ بالنسبة إلى ﺱ هو ﺃ في اللوغاريتم الطبيعي للقيمة المطلقة لـ ﺱ، حيث ﺱ لا يساوي صفرًا. وبما أننا نتعامل مع تكاملات غير محددة، فعلينا افتراض أننا نحصل على ثابت التكامل ﺙ كل مرة.
