فيديو الدرس: فترات تزايد وتناقص الدالة الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نجد الفترات التي تكون عليها الدالة تزايدية أو ثابتة أو تناقصية.

نقول إن الدالة تزايدية عندما تزداد قيمة الدالة ﺩ ﺱ مع زيادة قيمة ﺱ. وسينتج عن هذا تمثيل بياني يميل إلى أعلى. ومن ثم، فإن قيمة ميل التمثيل البياني للدالة التزايدية على فترة ما لا بد أن تكون موجبة. وعلى العكس، يمكننا القول إن الدالة تكون تناقصية إذا تناقصت قيمة الدالة ﺩ ﺱ مع زيادة قيمة ﺱ. ويترتب على ذلك أنه إذا تناقصت الدالة على هذه الفترة، فستكون قيمة ميل التمثيل البياني للدالة سالبة.

لكي تكون الدالة تزايدية أو تناقصية قطعًا، لا يمكن أن يكون هناك أي أجزاء أفقية ولو كانت بسيطة على التمثيل البياني لتلك الدالة على الإطلاق. إذا كان لدينا جزء أفقي على منحنى؛ أي خط أفقي، فإننا نقول إن الدالة ثابتة على هذه الفترة. قد لا يتوفر لدينا بالطبع تمثيل بياني للدالة، ومن ثم، يمكننا تعميم هذه الأفكار. تكون الدالة تزايدية إذا كان ﺱ اثنان أكبر من ﺱ واحد، وكانت ﺩ ﺱ اثنين أكبر من أو تساوي ﺩ ﺱ واحد. وتكون الدالة تزايدية قطعًا إذا كانت ﺩ ﺱ اثنين أكبر فقط من ﺩ ﺱ واحد. إذا كان ﺱ اثنان أكبر من ﺱ واحد، وﺩ ﺱ واحد تساوي ﺩ ﺱ اثنين، تكون الدالة ثابتة على هذه الفترة.

وبالمثل، نكتب تعريفات للدوال التناقصية والتناقصية قطعًا. في هذا الفيديو، سنستخدم أيضًا رمز الفترة لوصف فترات التزايد والتناقص. ولذا، دعونا نتذكر عدة نقاط. ‏‏ﺣ هو مجموعة الأعداد الحقيقية. هذه هي الأعداد التي نستخدمها أكثر من غيرها، وتشمل الأعداد النسبية والأعداد غير النسبية. لكنها لا تتضمن أعدادًا تخيلية أو موجب أو سالب ∞. ثم لدينا القوسان المربعان اللذان يصفان مجموعة من القيم عندما نريد تضمين القيم الطرفية. ونستخدم بعد ذلك القوسين الدائريين عندما لا نحتاج إلى تضمين القيم الطرفية للفترة. سنتناول الآن عددًا من الأمثلة على استخدام التمثيلات البيانية لتحديد فترات التزايد أو التناقص، وكذلك كيفية إيجاد هذه الفترات باستخدام المعادلات.

فيما يلي تمثيل بياني لدالة. أي من العبارات التالية صحيح فيما يتعلق بهذه الدالة؟ (أ) الدالة تناقصية على مجموعة الأعداد الحقيقية. (ب) الدالة ثابتة على مجموعة الأعداد الحقيقية. (ج) الدالة تزايدية على الفترة المفتوحة من اليسار المغلقة من اليمين من سالب ∞ إلى صفر. (د) الدالة تزايدية على مجموعة الأعداد الحقيقية. أم (هـ) الدالة ثابتة على الفترة المفتوحة من اليسار المغلقة من اليمين من سالب ∞ إلى صفر؟

دعونا نبدأ بتذكر ما تخبرنا به الكلمات «تناقصية» أو «تزايدية» أو «ثابتة» عن التمثيل البياني للدالة. إذا كانت الدالة ﺩ ﺱ تناقصية على فترة ما، فإن قيمة ﺩ ﺱ تتناقص كلما زادت قيمة ﺱ. وبدلالة التمثيل البياني، يمكننا القول إنه سينحدر لأسفل خلال تلك الفترة. والعكس صحيح إذا كانت الدالة تزايدية على فترة ما. كلما زادت قيمة ﺱ، تزداد أيضًا قيمة الدالة. ومن ثم سينحدر التمثيل البياني لأعلى. وإذا كانت الدالة ثابتة، فإنه مع زيادة قيمة ﺱ، تظل قيمة الدالة كما هي. وبدلالة التمثيل البياني، ستكون الدالة عبارة عن خط أفقي.

عند مقارنة التمثيل البياني بهذه المصطلحات الثلاثة وهذه المعايير، سنجد أن لدينا خطًا أفقيًا. ومن ثم، يجب أن تكون الدالة ثابتة. عند مقارنة تلك المعطيات بالخيارات من (أ) إلى (هـ)، فسنجد أن علينا التفكير في (ب) و(هـ). يخبرنا الخيار (ب) أن الدالة ثابتة على مجموعة الأعداد الحقيقية، والخيار (هـ) يوضح أن الدالة ثابتة على الفترة المفتوحة من اليسار المغلقة من اليمين من سالب ∞ إلى صفر.

أي من هاتين العبارتين سنختار إذن؟ إذا فكرنا في هذا الرمز، فسنجد أنه يخبرنا أن الدالة ثابتة لجميع القيم الأصغر من صفر بما يشمل الصفر نفسه. وفي الواقع، هذه مجموعة جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقية التي تمتد من سالب ∞ إلى موجب ∞ لكنها لا تتضمن هذين الطرفين. وإذا نظرنا إلى الخط الأفقي الذي يمثل الدالة، فسنجد أن له سهمين عند كلا الطرفين. ومن ثم، فإن الخط نفسه يجب أن يمتد أيضًا للأمام إلى موجب ∞ وللخلف حتى سالب ∞. وبذلك يمكننا القول إن الإجابة الصحيحة هي (ب)؛ فالدالة ثابتة على مجموعة الأعداد الحقيقية.

في المثال التالي، سنرى كيفية استخدام رمز الفترة لوصف ما إذا كانت الدالة تزايدية أم تناقصية أم ثابتة على فترات محددة.

أي من العبارات الآتية يصف اطراد الدالة الممثلة في الشكل التالي؟ (أ) الدالة تزايدية على الفترة المفتوحة من خمسة إلى ثمانية، وثابتة على الفترة المفتوحة من سالب واحد إلى خمسة، وتناقصية على الفترة المفتوحة من سالب اثنين إلى سالب واحد. (ب) الدالة تزايدية على الفترة المفتوحة من سالب اثنين إلى سالب واحد، وثابتة على الفترة المفتوحة من سالب واحد إلى خمسة، وتناقصية على الفترة المفتوحة من خمسة إلى ثمانية. (ج) الدالة تزايدية على الفترة المفتوحة من خمسة إلى ثمانية، وتناقصية على الفترة المفتوحة من سالب اثنين إلى خمسة. أم (د) الدالة تزايدية على الفترة المفتوحة من سالب اثنين إلى خمسة، وتناقصية على الفترة المفتوحة من خمسة إلى ثمانية.

بقراءة السؤال، استنتجنا على الأرجح ما نعنيه باطراد الدالة. اطراد الدالة يخبرنا ببساطة ما إذا كانت الدالة تزايدية أم تناقصية. وبالطبع نتذكر أنه إذا كانت الدالة تزايدية على فترة ما، فسيكون ميلها موجبًا. أما إذا كانت تناقصية، فسيكون ميلها سالبًا. وإذا كانت ثابتة، فستكون عبارة عن خط أفقي. إذن، لنلق نظرة على التمثيل البياني للدالة. نرى أنه يحتوي على ثلاثة أجزاء أساسية. الجزء الأول يقع بين سالب اثنين وسالب واحد. ويقع الجزء التالي بين سالب واحد وخمسة، في حين يقع الجزء الثالث بين خمسة وثمانية.

لننظر إذن إلى كل مقطع على حدة. نلاحظ أن ميل الجزء الأول من الدالة يجب أن يكون موجبًا. إنه ينحدر لأعلى. لدينا بعد ذلك خط أفقي بين ﺱ يساوي سالب واحد وخمسة. والجزء الثالث من التمثيل البياني ميله سالب. إنه ينحدر لأسفل. هذا يعني أن الدالة تزايدية لبعض الوقت، ثم ثابتة، وأخيرًا تناقصية. علينا بعد ذلك تحديد الفترات التي يقع عليها كل جزء. للدالة ميل موجب بين ﺱ يساوي سالب اثنين وسالب واحد. يمكننا تعريف ذلك باستخدام الفترة المفتوحة من سالب اثنين إلى سالب واحد.

لن نستخدم فترة مغلقة. لا نعرف حقًا ما يحدث عند طرفي هذه الفترة. على سبيل المثال، عندما يساوي ﺱ سالب واحد، نلاحظ وجود هذه الحافة الحادة في التمثيل البياني للدالة. ولذا، سنستثني ﺱ يساوي سالب اثنين وﺱ يساوي سالب واحد من الفترة. وبالمثل، تكون الدالة ثابتة على الفترة المفتوحة من سالب واحد إلى خمسة. وتكون الدالة تناقصية على الفترة المفتوحة من خمسة إلى ثمانية. ومجددًا، لا نعرف ما يحدث عند هذه الأطراف، لكن لدينا حواف حادة. وبذلك، لا يمكننا القول ما إذا كانت الدالة تزايدية أم تناقصية أم ثابتة. الإجابة الصحيحة إذن هي (ب): الدالة تزايدية على الفترة المفتوحة من سالب اثنين إلى سالب واحد، وثابتة على الفترة المفتوحة من سالب واحد إلى خمسة، وتناقصية على الفترة المفتوحة من خمسة إلى ثمانية.

في المثال التالي، سنتناول كيفية تحديد مناطق التزايد والتناقص من التمثيل البياني لدالة مقلوب.

بالنظر إلى التمثيل البياني الموضح للدالة. أي العبارات التالية صحيح عن الدالة؟ (أ) الدالة تزايدية على الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى صفر، وتزايدية على الفترة المفتوحة من صفر إلى ∞. (ب) الدالة تناقصية على الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى سالب خمسة، ومن سالب خمسة إلى ∞. (ج) الدالة تزايدية على الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى سالب خمسة، وتزايدية على الفترة المفتوحة من سالب خمسة إلى ∞. أم (د) الدالة تناقصية على الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى صفر، وتناقصية على الفترة المفتوحة من صفر إلى ∞.

كل عبارة من هذه العبارات تتعلق باطراد التمثيل البياني. المطلوب منا هو تحديد ما إذا كان التمثيل البياني يتزايد أم يتناقص على فترات معينة. ويمكننا القول إن الدالة تزايدية إذا زادت قيمة ﺩ ﺱ مع زيادة قيمة ﺱ. وبدلالة التمثيل البياني، فهذا يعني أننا نبحث عن ميل موجب. وإذا كانت الدالة تناقصية، فسيكون لمنحناها ميل سالب على تلك الفترة. لنلق نظرة إذن على التمثيل البياني لدينا. يبدو أننا ننظر إلى التمثيل البياني لدالة مقلوب. ويحتوي التمثيل البياني على خطي تقارب. نرى أن المحور ﺹ، وهو الخط ﺱ يساوي صفرًا، يمثل خط تقارب رأسيًا. ثم لدينا خط تقارب أفقي ناتج عن الخط ﺹ يساوي سالب خمسة.

ما يعنيه هذا الآن هو أن التمثيل البياني للدالة لدينا سيقترب من هذين الخطين، لكنه لن يلتقي بهما أبدًا. وهذا بدوره يعني أن التمثيل البياني للدالة لن يصبح أبدًا خطًا أفقيًا تمامًا أو رأسيًا تمامًا. لنر إذن ما سيحدث مع زيادة قيمة ﺱ. مع تحركنا من سالب ∞ إلى صفر، تزداد قيمة الدالة ﺩ ﺱ . وهذا يعني أن ميلها دائمًا موجب، وتصبح كل قيمة لـ ﺩ ﺱ أكبر من القيمة السابقة لـ ﺩ ﺱ . وبعد ذلك، عندما ننتقل من ﺱ يساوي صفرًا إلى موجب ∞، نلاحظ حدوث الشيء نفسه. وهذا يعني أن التمثيل البياني يزداد من سالب ∞ إلى صفر، ومن صفر إلى ∞. لكن ما الذي يحدث عند الصفر؟

نلاحظ أن الدالة لا يمكن أن تقبل قيمة ﺱ يساوي صفرًا. ومن ثم، فإن التمثيل البياني للدالة يقترب من الخط ﺱ يساوي صفرًا، لكنه لا يصل إليه أبدًا. نستخدم بعد ذلك الأقواس الدائرية لتوضيح أن التمثيل البياني يتزايد بين ﺱ يساوي سالب ∞ وصفرًا، وبين ﺱ يساوي صفرًا و∞؛ لكننا لا نريد تضمين القيم الطرفية في هاتين العبارتين. لاحظ أننا نستثني سالب ∞ و∞ لأننا لا نستطيع تحديد ذلك العدد بالضبط. إذن، الإجابة الصحيحة هي (أ)؛ حيث الدالة تزايدية على الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى صفر، وتزايدية على الفترة المفتوحة من صفر إلى ∞.

سنستعرض الآن معايير الدالة الأسية التي تجعلها دالة تزايدية بحتة.

ما الشرط اللازم وجوده في ﻉ لـ ﺩ ﺱ تساوي ﻉ على سبعة أس ﺱ، حيث ﺱ عدد موجب، لكي تصبح دالة تزايدية؟

لكي تكون الدالة تزايدية، نعرف أنه مع زيادة قيم ﺱ، يجب أيضًا أن تزيد قيمة ﺩ ﺱ المخرجة نفسها. كيف يمكننا التأكد من أن الدالة ﺩ ﺱ تساوي ﻉ على سبعة أس ﺱ تتزايد على مجالها بالكامل، أي لجميع قيم ﺱ؟ حسنًا، لنتذكر ما نعرفه عن الدوال الأسية. هذه دالة أسية. والصورة العامة للدالة الأسية هي ﺩ ﺱ تساوي ﺃ أس ﺱ. وما دام أن ﺃ قيمة موجبة لا تساوي صفرًا ولا تساوي واحدًا، فإن الدالة ستكون تزايدية إذا كان ﺃ أكبر من واحد وتناقصية إذا كان ﺃ أقل من واحد.

ومن ثم، سنجعل ﺃ يساوي ﻉ على سبعة. ولكي تصبح الدالة تزايدية، فإن قيمة ﻉ على سبعة يجب أن تكون أكبر من واحد. هذه متباينة يمكننا حلها كما نحل أي معادلة عادية. سنضرب كلا الطرفين في سبعة. ‏‏ﻉ على سبعة في سبعة يساوي ﻉ، وواحد في سبعة يساوي سبعة. وهكذا، فإن ﻉ نفسه يجب أن يكون أكبر من سبعة حتى تصبح الدالة ﺩ ﺱ تساوي ﻉ على سبعة أس ﺱ دالة تزايدية.

سنتناول الآن مثالًا أخيرًا. وسنحاول تحديد فترات التزايد والتناقص لدالة مقلوب عندما لا يتوفر لدينا التمثيل البياني.

أي من العبارات الآتية صواب بالنسبة إلى الدالة ﻫ ﺱ تساوي سالب واحد على سبعة ناقص ﺱ ناقص خمسة؟ (أ) ﻫ ﺱ تناقصية على الفترتين سالب ∞ إلى سبعة، وسبعة إلى ∞. (ب) ﻫ ﺱ تناقصية على الفترتين سالب ∞ إلى سالب سبعة، وسالب سبعة إلى ∞. (ج) ﻫ ﺱ تزايدية على الفترتين سالب ∞ إلى سالب سبعة، وسالب سبعة إلى ∞. أم (د) ﻫ ﺱ تزايدية على الفترتين سالب ∞ إلى سبعة، وسبعة إلى ∞.

إذا دققنا النظر، فسنجد أن ﻫ ﺱ هي دالة مقلوب. وتساوي واحدًا على كثيرة حدود ما. ومن ثم، نعرف أنه من المحتمل أن تكون هناك خطوط تقارب على التمثيل البياني لدينا. لنفكر في كيفية رسم التمثيل البياني للدالة ﻫ ﺱ . سنبدأ بالدالة ﺩ ﺱ تساوي واحدًا على ﺱ. ثم ننظر في سلسلة التحويلات التي تحول الدالة واحدًا على ﺱ إلى الدالة ﻫ ﺱ . ها هي الدالة واحد على ﺱ. ولها خطا تقارب أفقي ورأسي عبارة عن المحور ﺱ والمحور ﺹ. والآن سنتناول كيفية تحويل ﺩ ﺱ إلى واحد على سالب ﺱ. سنمثل هذه الدالة من خلال انعكاس حول المحور ﺹ.

كيف يمكننا إذن تحويل هذه إلى الدالة واحد على سبعة ناقص ﺱ؟ حسنًا، بإضافة سبعة إلى الجزء الداخلي من الدالة المركبة، يصبح لدينا انتقال أفقي بمقدار سالب سبعة. وهو انتقال بمقدار سبع وحدات إلى اليسار. وبذلك، يبقى خط التقارب الأفقي كما هو، أو بعبارة أخرى، يظل ذلك الخط هو المحور ﺱ. لكن خط التقارب الرأسي الذي لدينا ينتقل أيضًا سبع وحدات إلى اليسار. ومن ثم يتحول من المحور ﺹ، وهو الخط ﺱ يساوي صفرًا، ليصبح الخط ﺱ يساوي سالب سبعة. لكن ﻫ ﺱ تساوي سالب واحد على سبعة ناقص ﺱ. وهذه المرة، سنعكس التمثيل البياني حول المحور ﺹ. وهكذا يظل خط التقارب الأفقي بلا تغيير، ولكن خط التقارب الرأسي يقع الآن عند ﺱ يساوي سبعة.

التحويل الأخير لدينا ينقل هذه الدالة إلى ﻫ ﺱ . وهذا يساوي سالب واحد على سبعة ناقص ﺱ ناقص خمسة. والآن ننقل التمثيل البياني الذي رسمناه بأكمله بمقدار خمس وحدات إلى الأسفل. وهكذا أصبح لدينا التمثيل البياني للدالة ﻫ ﺱ لسالب واحد على سبعة ناقص ﺱ ناقص خمسة، ونحن الآن مستعدون لتحديد ما إذا كانت الدالة تزايدية أم تناقصية على الفترات المختلفة. تذكر أنه إذا كانت الدالة تناقصية، فسيكون للتمثيل البياني لها ميل سالب، وإذا كانت تزايدية، فسيكون للتمثيل البياني لها ميل موجب. وبينما تتجه قيم ﺱ من اليسار إلى اليمين، أي من سالب ∞ وصولًا إلى ﺱ يساوي سبعة، نجد أن التمثيل البياني ينحدر لأسفل. وسنجد أنه يقترب من سالب ∞، لكنه لا يصل إليه أبدًا.

وبعد ذلك، عندما يقترب ﺱ من موجب ∞ من سبعة، يستمر التمثيل البياني في الانحدار لأسفل. لكن هذه المرة، سيقترب من سالب خمسة. ولذا، تكون الدالة تناقصية بالتأكيد على هاتين الفترتين من سالب ∞ إلى سبعة، ومن سبعة إلى ∞. وبما أن الدالة نفسها لا يمكن أن تقبل قيمة ﺱ يساوي سبعة، وهذا هو السبب في أن لدينا خط التقارب الأفقي، فإننا نريد كتابة فترتين مفتوحتين. وتمثل هاتين الفترتين الأقواس الدائرية. إذن، الإجابة الصحيحة هي (أ): الدالة ﻫ ﺱ تناقصية على الفترة المفتوحة من سالب ∞ إلى سبعة، ومن سبعة إلى ∞.

سنلخص الآن النقاط الرئيسية المستقاة من هذا الدرس. في هذا الفيديو، تعلمنا أن الدالة تكون تزايدية عندما تزداد قيمة ﺩ ﺱ مع زيادة قيمة ﺱ. وعلى هذه الفترات، يكون للتمثيل البياني للدالة ميل موجب أو انحدار موجب. وإذا تناقصت الدالة مع زيادة ﺱ، نقول إنها تناقصية وسيكون للتمثيل البياني للدالة ميل سالب. تذكر أنه يمكننا القول إن الدالة تتزايد قطعًا أو تتناقص قطعًا إذا لم يكن هناك أي أجزاء أفقية ولو كانت صغيرة على التمثيل البياني. وأخيرًا، عرفنا أن الدالة تكون ثابتة إذا ظلت قيمة ﺩ ﺱ كما هي مع زيادة قيمة ﺱ، وأن التمثيل البياني للدالة الثابتة يكون عبارة عن خط أفقي.