فيديو الدرس: نظرية منصف الزاوية وعكسها الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في هذا الفيديو، سوف نتعلم كيف نستخدم نظرية منصف الزاوية وعكسها لإيجاد طول ضلع ناقص في مثلث. يتقاطع منصف الزاوية الداخلية في المثلث مع الضلع المقابل للزاوية. يقسم الضلع المقابل إلى قطعتين مستقيمتين. وتعد نظرية منصف الزاوية الداخلية نظرية مفيدة تتعلق بنسبة أطوال هذه القطع المستقيمة. سنتناول هذا مع بعض الأمثلة بالإضافة إلى نظرية منصف الزاوية الخارجية. وسنلقي نظرة على كيفية حساب طول منصف الزاوية في مثلث.

تنص نظرية منصف الزاوية الداخلية على أنه إذا نصفت زاوية داخلية في مثلث، أي أن تقسم الزاوية إلى زاويتين صغيرتين متساويتين في القياس؛ إذن يقسم المنصف الضلع المقابل إلى قطعتين، النسبة بين طوليهما هي النسبة نفسها بين طولي الضلعين المجاورين غير المشتركين للزاوية المنصفة في المثلث. ما يعنيه هذا فيما يتعلق بالمثلث هو أن الطول ﺩﺏ مقسومًا على الطول ﺩﺃ يساوي الطول ﺟﺏ على الطول ﺟﺃ.

لإثبات هذا، دعونا نفرغ بعض المساحة ونعد رسم المثلث. نبدأ بإضافة مستقيم جديد من الرأس ﺃ يوازي المستقيم ﺟﺩ. بعد ذلك، نمد القطعة المستقيمة ﺏﺟ حتى تصل إلى هذا المستقيم الجديد. ويتقاطع المستقيمان عند النقطة ﻫ. وبما أن المستقيم ﺟﺩ هو منصف الزاوية عند النقطة ﺟ، فإننا نعرف أن الزاويتين في الشكل عند الرأس ﺟ متطابقتان. وهو ما يعني أنهما متساويتان. وبما أن القطعتين المستقيمتين ﺃﻫ وﺟﺩ متوازيتان؛ إذن الزاويتان ﺏﺟﺩ وﺏﻫﺃ متطابقتان. حيث إن الزاويتين ﺏﺟﺩ وﺏﻫﺃ زاويتان متناظرتان، والزاويتين ﺩﺟﺃ وﺟﺃﻫ زاويتان متبادلتان؛ ومن ثم أيضًا متطابقتان. وهذا يعني أن الزوايا الأربع المحددة في الشكل كلها متطابقة.

وبما أن المثلثين ﺏﺟﺩ وﺏﻫﺃ يشتركان في زاويتين متطابقتين؛ إذن هما مثلثان متشابهان، وبالتالي فإن النسبة ﺏﺩ على ﺏﺃ هي نفسها النسبة ﺏﺟ على ﺏﻫ. ويمكننا إعادة كتابة هذا كما هو موضح بما أن ﺏﺃ يساوي ﺏﺩ زائد ﺩﺃ وﺏﻫ يساوي ﺏﺟ زائد ﺟﻫ. ومن ثم، إذا أجرينا الضرب التبادلي ووزعنا الأقواس، فسنحصل على ﺏﺩ مضروبًا في ﺏﺟ زائد ﺏﺩ مضروبًا في ﺟﻫ يساوي ﺏﺟ مضروبًا في ﺏﺩ زائد ﺏﺟ مضروبًا في ﺩﺃ. بطرح ﺏﺩ مضروبًا في ﺏﺟ من كلا الطرفين، نحصل على ﺏﺩ مضروبًا في ﺟﻫ يساوي ﺏﺟ مضروبًا في ﺩﺃ. والآن بقسمة كلا الطرفين على ﺩﺃ مضروبًا في ﺟﻫ، يمكننا قسمة البسط والمقام في الطرف الأيمن على ﺟﻫ، والبسط والمقام في الطرف الأيسر على ﺩﺃ. ونخلي بعض المساحة، لدينا ﺏﺩ على ﺩﺃ يساوي ﺏﺟ مقسومًا على ﺟﻫ.

وأخيرًا، نلاحظ أن المثلث ﺃﺟﻫ مثلث متساوي الساقين. وهذا يعني أن ﺟﻫ يساوي ﺟﺃ. ويمكننا التعويض بهذا في المعادلة. إذن، ﺏﺩ على ﺩﺃ يساوي ﺏﺟ على ﺟﺃ. وببساطة بإعادة كتابة ﺏﺩ على صورة ﺩﺏ وﺏﺟ في صورة ﺟﺏ، تصبح لدينا الصيغة: ﺩﺏ على ﺩﺃ يساوي ﺟﺏ على ﺟﺃ. هيا نتناول مثالًا على كيفية استخدام هذه النظرية لإيجاد الأطوال المجهولة في المثلث.

في الشكل، القطعة المستقيمة ﺃﺩ تنصف الزاوية ﺏﺃﺟ، وﺏﺩ يساوي ثمانية، وﺩﺟ يساوي ١١، ومحيط المثلث ﺃﺏﺟ يساوي ٥٧. أوجد طولي القطعتين المستقيمتين ﺃﺏ وﺃﺟ.

نعلم من المعطيات أن القطعة المستقيمة ﺃﺩ تنصف الزاوية عند الرأس ﺃ. وللإجابة عن هذا السؤال، سنستخدم نظرية منصف الزاوية الداخلية. تنص هذه القاعدة على أنه إذا نصفت الزاوية الداخلية للمثلث، يقسم المنصف الضلع المقابل إلى قطعتين مستقيمتين. وطول هاتين القطعتين يكون له نفس النسبة بين طولي الضلعين غير المشتركين المجاورين للزاوية المنصفة. ما يعنيه هذا في هذه الحالة أن الطول ﺩﺟ مقسومًا على الطول ﺏﺩ يساوي الطول ﺃﺟ مقسومًا على الطول ﺃﺏ.

نعرف من المعطيات أن ﺏﺩ يساوي ثمانية وﺩﺟ يساوي ١١. وهذا يعني أن ١١ على ثمانية يساوي ﺃﺟ على ﺃﺏ. كما نعلم أن محيط المثلث يساوي ٥٧. وبما أن المحيط يساوي مجموع أطوال الأضلاع، فإن ﺃﺏ زائد ﺏﺟ زائد ﺃﺟ يساوي ٥٧. وبما أننا نعرف أن ﺏﺟ يساوي ﺟﺩ زائد ﺩﺏ، أي ١١ زائد ثمانية، يمكننا التعويض عن ﺏﺟ بـ ١٩. والآن، إذا طرحنا ١٩ من كلا الطرفين، فسنحصل على ﺃﺏ زائد ﺃﺟ يساوي ٣٨. والآن إذا تذكرنا هذه المعادلة السابق ذكرها، وهي ١١ على ثمانية يساوي ﺃﺟ على ﺃﺏ، يمكننا إيجاد ﺃﺟ بدلالة ﺃﺏ بضرب كلا الطرفين في ﺃﺏ. وهذا يعطينا ١١ على ثمانية ﺃﺏ يساوي ﺃﺟ.

والآن بالتعويض بهذا في المعادلة الثانية، لدينا ﺃﺏ زائد ١١ على ثمانية ﺃﺏ يساوي ٣٨. وبتجميع الحدود التي لدينا في الطرف الأيمن، يصبح لدينا ١٩ على ثمانية ﺃﺏ يساوي ٣٨. والآن، بضرب كلا الطرفين في ثمانية والقسمة على ١٩، نحصل على ﺃﺏ يساوي ٣٨ مضروبًا في ثمانية على ١٩، إذن ﺃﺏ يساوي ١٦. يمكننا الآن استخدام هذا في معادلة إيجاد ﺃﺟ بحيث يكون ١١ على ثمانية مضروبًا في ١٦ يساوي ﺃﺟ. ‏١١ على ثمانية مضروبًا في ١٦ يساوي ٢٢. وعليه، فإن ﺃﺟ يساوي ٢٢. ومن ثم، طول القطعة المستقيمة ﺃﺟ يساوي ٢٢، وطول القطعة المستقيمة ﺃﺏ يساوي ١٦.

في هذا المثال، طبقنا النظرية المتعلقة بالنسبة بين القطع المستقيمة ذات الصلة بمنصف الزاوية الداخلية في المثلث. وعكس هذه النظرية صحيح أيضًا.

افترض مثلثًا ﺃﺏﺟ فيه النقطة ﺩ تقع على الضلع ﺏﺟ. إذا علمنا أيضًا أن أطوال القطع المستقيمة تحقق المعادلة ﺩﺏ على ﺩﺟ يساوي ﺃﺏ على ﺃﺟ، فإننا نعلم أن النقطة ﺩ تقع على الضلع المنصف للزاوية الداخلية ﺏﺃﺟ. والآن، لنلق نظرة على نظرية منصف الزاوية بالنسبة لزاوية خارجية لمثلث.

افترض أن منصف زاوية خارجية عند الرأس ﺟ لمثلث ﺃﺏﺟ يتقاطع مع امتداد ضلع المثلث المقابل للزاوية عند نقطة ﺩ. ثم لدينا المتطابقة ﺩﺏ على ﺩﺃ تساوي ﺟﺏ على ﺟﺃ. أي إن نسبة الطول ﺩﺏ إلى الطول ﺩﺃ تساوي نسبة الطول ﺟﺏ إلى الطول ﺟﺃ. وهذه هي نظرية منصف الزاوية الخارجية. على الرغم من أننا لن نثبت ذلك هنا، فإننا نعرف أن الأفكار مشابهة، وإن كانت أكثر تعقيدًا، للأفكار المستخدمة في إثبات نظرية منصف الزاوية الداخلية. هيا نتناول مثالًا على كيفية تطبيق نظرية منصف الزاوية الخارجية لإيجاد طول ضلع ناقص في مثلث.

إذا كان ﺃﺏ يساوي ٦٠، وﺃﺟ يساوي ٤٠، وﺏﺟ يساوي ٣١، فما طول ﺟﺩ؟

يشير الشكل إلى أن الزاويتين الموضحتين متطابقتان. وهو ما يعني أنهما متساويتان في الدرجات أو الراديان. إذن، القطعة المستقيمة ﺃﺩ هي منصف الزاوية الخارجية عند ﺃ للمثلث ﺃﺏﺟ. نتذكر هنا أن نظرية منصف الزاوية الخارجية تعطينا المتطابقة ﺩﺟ على ﺩﺏ تساوي ﺃﺟ على ﺃﺏ؛ أي إن النسبة بين الطول ﺩﺟ إلى الطول ﺩﺏ هي نفسها النسبة بين الطول ﺃﺟ إلى الطول ﺃﺏ. والآن، نعلم أن طول الضلع ﺩﺏ يساوي ﺩﺟ زائد ﺟﺏ. إذن، يمكننا التعويض بذلك في الصيغة لدينا. ونحصل على ﺩﺟ على ﺩﺟ زائد ﺟﺏ يساوي ﺃﺟ على ﺃﺏ.

نعرف من المعطيات أن الطول ﺃﺏ يساوي ٦٠، وﺏﺟ يساوي ٣١، وﺃﺟ يساوي ٤٠. بالتعويض بهذا في هذه المعادلة، نلاحظ أن في المعادلة مجهولًا واحدًا فقط، وهو ﺩﺟ. إذن، تكون المعادلة هي ﺩﺟ مقسومًا على ﺩﺟ زائد ٣١ يساوي ٤٠ على ٦٠. ونلاحظ أن الطول ﺩﺟ يساوي الطول ﺟﺩ، وهذا هو ما نبحث عنه. والآن، دعونا نحل المعادلة لإيجاد الطول ﺩﺟ. بضرب كلا الطرفين في ٦٠ وأيضًا ﺩﺟ زائد ٣١، نحصل على ٦٠ﺩﺟ يساوي ٤٠ مضروبًا في ﺩﺟ زائد ٣١. وبتوزيع القوسين في الطرف الأيسر، نحصل على ٤٠ﺩﺟ زائد ١٢٤٠. والآن بطرح ٤٠ﺩﺟ من كلا الطرفين، يصبح لدينا ٢٠ﺩﺟ يساوي ١٢٤٠. بقسمة كلا الطرفين على ٢٠، نحصل على ﺩﺟ يساوي ٦٢. وبما أن ﺩﺟ هو نفسه ﺟﺩ، فإن ﺟﺩ يساوي ٦٢ وحدة.

حتى الآن، ناقشنا العلاقة بين النسبة بين أطوال القطع المستقيمة المرتبطة بمنصف الزاوية الداخلية أو الخارجية للمثلث. هيا نفكر الآن في نظرية تتناول طول القطعة المستقيمة المنصفة للزاوية.

لنفترض المثلث ﺃﺏﺟ، إذا كانت القطعة المستقيمة ﺟﺩ هي منصف الزاوية ﺟ، فإن الطول ﺟﺩ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺟﺏ مضروبًا في ﺟﺃ ناقص ﺩﺏ مضروبًا في ﺩﺃ. نستخدم هذه النظرية لإيجاد طول منصف الزاوية في مثلث. لإثبات هذه النظرية، نبدأ بإضافة دائرة محيطة تمر برءوس المثلث، وكذلك نضيف النقطة ﻫ التي نحصل عليها من خلال مد المستقيم ﺟﺩ ليقطع الدائرة.

في الشكل، نعلم أن الزاويتين باللون الأخضر عند الرأس ﺟ متطابقتان؛ لأن القطعة المستقيمة ﺟﺩ هي منصف الزاوية ﺃﺟﺏ. كما نلاحظ أن الزاويتين عند الرأسين ﺏ وﻫ هما زاويتان محيطيتان يقابلهما القوس المشترك ﺃﺟ. ونتذكر أن جميع الزوايا التي يقابلها قوس مشترك لها قياسات متساوية. هذا يعني أن الزاويتين ﺏ وﻫ متطابقتان. وبعد ذلك، لدينا المثلث ﺟﺏﺩ، والمثلث ﺟﻫﺃ يشتركان في زوجين من الزوايا المتطابقة. تشارك زوجين من الزوايا المتطابقة يعني أن المثلثين متشابهان. وهذا بدوره يعني أن النسبة ﺟﺩ إلى ﺟﺃ هي نفسها النسبة بين ﺟﺏ إلى ﺟﻫ.

الآن، نعلم أن ﺟﻫ يساوي ﺟﺩ زائد ﺩﻫ. ويمكننا إدخال هذا في مقام الطرف الأيسر. وبعد ذلك بضرب كلا الطرفين في ﺟﺃ وﺟﺩ زائد ﺩﻫ وتوزيع الأقواس، يمكننا إذن طرح ﺟﺩ مضروبًا في ﺩﻫ من كلا الطرفين. لو أخذنا الجذر التربيعي لكلا الطرفين، ما كنا سنحصل على الصيغة بعد. علينا التعويض عن الحد ﺟﺩ مضروبًا في ﺩﻫ بـ ﺩﺏ مضروبًا في ﺩﺃ. ولتبرير هذا التعويض، علينا ملاحظة مثلثين متشابهين آخرين.

في هذا الشكل، يمكننا أن نلاحظ أن الزاوية ﺏﺟﻫ والزاوية ﺏﺃﻫ هما زاويتان محيطيتان يقابلهما القوس نفسه. وهذا يعني أنهما متطابقتان. والآن، هذا يعني أن المثلث ﺟﺏﺩ والمثلث ﺃﻫﺩ يشتركان في زوجين من الزوايا المتطابقة. وهذا يعني أنهما مثلثان متشابهان. وبذلك، تكون النسبة ﺟﺩ إلى ﺩﺃ هي نفسها النسبة بين ﺩﺏ إلى ﺩﻫ. والآن إذا ضربنا كلا الطرفين في ﺩﺃ وﺩﻫ، فسيتبقى لدينا ﺩﻫ مضروبًا في ﺟﺩ يساوي ﺩﺏ مضروبًا في ﺩﺃ. ويمكننا الآن التعويض عن ﺟﺩ مضروبًا في ﺩﻫ بـ ﺩﺏ مضروبًا في ﺩﺃ. والآن بأخذ الجذر التربيعي الموجب لكلا الطرفين، نحصل على ﺟﺩ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺟﺏ مضروبًا في ﺟﺃ ناقص ﺩﺏ مضروبًا في ﺩﺃ، وهو ما كان مطلوبًا إيجاده؛ ومن ثم أثبتنا النظرية.

لننتقل الآن إلى مثال نطبق فيه هذه النظرية لإيجاد طول منصف الزاوية الداخلية للمثلث.

في المثلث ﺃﺏﺟ، ﺃﺏ يساوي ٧٦ سنتيمترًا، وﺃﺟ يساوي ٥٧ سنتيمترًا، وﺏﺩ يساوي ٥٢ سنتيمترًا. إذا كانت القطعة المستقيمة ﺃﺩ تنصف الزاوية ﺃ وتقطع القطعة المستقيمة ﺏﺟ في ﺩ، فأوجد طول القطعة المستقيمة ﺃﺩ.

نتذكر أنه إذا كانت القطعة المستقيمة ﺃﺩ تنصف الزاوية ﺃ في مثلث، فإن النظرية تنص على أن ﺃﺩ تساوي الجذر التربيعي لـ ﺃﺟ مضروبًا في ﺃﺏ ناقص ﺩﺟ مضروبًا في ﺩﺏ. حسنًا، في هذا السؤال، نعرف أن ﺃﺟ يساوي ٥٧، وﺏﺩ، وهو ﺩﺏ، يساوي ٥٢، وطول ﺃﺏ يساوي ٧٦. إذن، لإيجاد طول ﺃﺩ، علينا أولًا إيجاد الطول ﺩﺟ. لفعل ذلك، سنستخدم نظرية منصف الزاوية الداخلية. تنص هذه النظرية على أن منصف الزاوية الداخلية للمثلث يقسم الضلع المقابل إلى قطعتين لطوليهما نفس النسبة بين طولي الضلعين المجاورين غير المشتركين للزاوية المنصفة.

ما يعنيه هذا في هذا المثلث هو أن ﺩﺟ على ﺏﺩ يساوي ﺃﺟ على ﺃﺏ. نعرف أن ﺏﺩ يساوي ٥٢، وﺃﺟ يساوي ٥٧، وﺃﺏ يساوي ٧٦. إذن لدينا ﺩﺟ على ٥٢ يساوي ٥٧ على ٧٦. والآن، بضرب كلا الطرفين في ٥٢، يتبقى لدينا ﺩﺟ في الطرف الأيمن. و٥٧ مقسومًا على ٧٦ مضروبًا في ٥٢ يساوي ٣٩. إذن، ﺩﺟ يساوي ٣٩ سنتيمترًا. لدينا الآن جميع المعلومات اللازمة لحساب ﺃﺩ. بالتعويض بالقيم التي لدينا، يصبح لدينا ﺃﺩ هو الجذر التربيعي لـ ٥٧ في ٧٦ ناقص ٣٩ في ٥٢، أي الجذر التربيعي لـ ٤٣٣٢ ناقص ٢٠٢٨، وهو الجذر التربيعي لـ ٢٣٠٤، أي ٤٨. إذن، طول القطعة المستقيمة ﺃﺩ يساوي ٤٨ سنتيمترًا.

دعونا نختتم حديثنا بتلخيص بعض المفاهيم المهمة التي تناولناها. نعرف أنه إذا كانت الزاوية الداخلية في مثلث زاوية منصفة، فإن المنصف يقسم الضلع المقابل إلى قطعتين تتساوى النسبة بين طوليهما مع النسبة بين طولي الضلعين المجاورين غير المشتركين للزاوية المنصفة. وهذا يعني، وفقًا للشكل الموضح، أن النسبة ﺩﺏ على ﺩﺃ تساوي ﺟﺏ على ﺟﺃ. والعكس صحيح أيضًا، فإذا كان لدينا نقطة ﺩ على الضلع ﺏﺟ، وبمعلومية أن ﺩﺏ على ﺩﺟ يساوي ﺃﺏ على ﺃﺟ، فإن النقطة ﺩ تقع على منصف الزاوية الداخلية ﺃ.

بعد ذلك، إذا كان منصف زاوية خارجية عند الرأس ﺟ لمثلث ﺃﺏﺟ، يقطع امتداد ضلع المثلث المقابل للزاوية عند النقطة ﺩ، فإن نسبة الطول ﺩﺏ إلى ﺩﺃ هي نفسها نسبة الطول ﺟﺏ إلى ﺟﺃ. وأخيرًا، في أي مثلث ﺃﺏﺟ، إذا كانت القطعة المستقيمة ﺟﺩ هي منصف الزاوية ﺟ، فإن ﺟﺩ يساوي الجذر التربيعي لـ ﺟﺏ مضروبًا في ﺟﺃ ناقص ﺩﺏ مضروبًا في ﺩﺃ.