فيديو السؤال: إيجاد حد معين في مفكوك ذات الحدين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد الحد الرابع في مفكوك خمسة على جذر ﺱ زائد جذر ﺱ على خمسة أس تسعة.

يمكننا هنا استخدام مفكوك ذات الحدين ولدينا صيغة عامة لذلك. إذا كان لدينا ﺃ زائد ﺏ أس ﻥ، فيمكننا القول إنه عند فك هذه الصيغة، فإنه سيساوي ﻥ توافيق صفر في ﺃ أس ﻥ في ﺏ أس صفر زائد ﻥ توافيق واحد في ﺃ أس ﻥ ناقص واحد في ﺏ أس واحد، وهكذا وصولًا إلى ﻥ توافيق ﻥ في ﺃ أس صفر في ﺏ أس ﻥ. إذن، كما ترى، ما يحدث هو أن الأس في الحد الأول يتناقص بمقدار واحد كل مرة. وفي الحد الثاني، يزيد الأس بمقدار واحد كل مرة.

في هذا السؤال، ما نبحث عنه هو ﺡ أربعة، أي الحد الرابع. حسنًا، يمكننا معرفة هذا الحد بطريقتين. إذا نظرنا إلى الصيغة العامة لمفكوك ذات الحدين، فسنلاحظ أنه في الحد الأول، لدينا ﻥ توافيق صفر في ﺃ أس ﻥ في ﺏ أس صفر. والحد الثاني هو ﻥ توافيق واحد في ﺃ أس ﻥ ناقص واحد في ﺏ أس واحد. بالنظر إلى ﻥ توافيق صفر وﻥ توافيق واحد نجد أن ﻥ سيساوي تسعة؛ لأن هذه هي القوة المرفوع لها الأقواس. إذن، لدينا تسعة. ثم لدينا توافيق ثلاثة. وذلك لأن العدد السفلي يكون دائمًا أقل بواحد من رقم الحد. ثم لدينا ﺃ أس ستة. وذلك لأنه بالنظر إلى المفكوك، نجد أن أول ﺃ هو ﺃ أس تسعة. ولدينا بعد ذلك ﺃ أس ثمانية، ونكتب الحدين التاليين تنازليًّا حتى ﺃ أس ستة. بعد ذلك، لدينا ﺏ أس ثلاثة. وذلك لأن أس ﺏ يكون دائمًا أقل من رقم الحد بمقدار واحد. ولنتحقق سريعًا، إذا جمعنا الأسين معًا، لا بد أن مجموعهما يساوي ﻥ. ستة زائد ثلاثة يساوي تسعة، وﻥ يساوي تسعة، رائع.

والآن، دعونا نطبق هذا على المفكوك لإيجاد الحد الرابع. بتحديد ﺃ وﺏ، يكون ﺃ خمسة على جذر ﺱ وﺏ جذر ﺱ على خمسة. إذن، نجد أن ﺡ أربعة أو الحد الرابع يساوي تسعة توافيق ثلاثة مضروبًا في خمسة على جذر ﺱ الكل أس ستة مضروبًا في جذر ﺱ على خمسة الكل أس ثلاثة.

أولًا، علينا إيجاد قيمة تسعة توافيق ثلاثة. حسنًا، تسعة توافيق ثلاثة يساوي ٨٤. نحسب ذلك على الآلة الحاسبة بالضغط على تسعة. ثم نضغط على زر ‪nCr‬‏. عادة، عليك أن تضغط على ‪shift‬‏ أولًا، ثم تضغط على زر لتجد ‪nCr‬‏، ثم ثلاثة. يعطينا هذا ٨٤. بعد ذلك، ما فعلته هنا أنني غيرت الحدين الآخرين إلى الصورة الأسية. أصبح لدينا إذن خمسة ﺱ أس سالب نصف الكل أس ستة مضروبًا في ﺱ أس نصف على خمسة الكل أس ثلاثة. وحصلنا على ذلك باستخدام قاعدتين من قواعد الأسس. تخبرنا القاعدة الأولى أن ﺱ أس نصف يساوي جذر ﺱ. وتخبرنا الثانية أنه إذا كان لدينا ﺱ أس سالب واحد، فإن هذا يساوي واحدًا على ﺱ.

إذن، الحد الرابع يساوي ٨٤ مضروبًا في ١٥٦٢٥ﺱ أس سالب ثلاثة. وهذا لأننا رفعنا خمسة للأس ستة، وهو ما يساوي ١٥٦٢٥. ثم لدينا ﺱ أس سالب نصف. وإذا رفعنا هذا إلى ستة، فسنضرب الأسين ونحصل على سالب ثلاثة. ثم نضرب ذلك في ﺱ أس ثلاثة على اثنين على ١٢٥. وكما ذكرنا من قبل، يرجع هذا لأننا استخدمنا قاعدة أخرى من قواعد الأسس. وهي إنه إذا كان لدينا ﺱ أس ﺃ أس ﺏ، فإن كل ما سنفعله هو ضرب الأسس. وبذلك، نحصل على ﺱ أس ﺃﺏ.

حسنًا، رائع. علينا الآن إجراء خطوة أخرى للتبسيط. أولًا، سنحصل على ١٠٥٠٠. وهو حاصل ضرب ٨٤ في ١٥٦٢٥ مقسومًا على ١٢٥. ثم نحصل على ﺱ أس سالب ثلاثة على اثنين أو سالب ثلاثة أنصاف. وذلك لأننا استخدمنا قاعدة أخرى من قواعد الأسس. وتنص هذه القاعدة على أن ﺱ أس ﺃ مضروبًا في ﺱ أس ﺏ يساوي ﺱ أس ﺃ زائد ﺏ. وبما أن لدينا سالب ثلاثة زائد ثلاثة على اثنين أو واحد ونصف، فسنحصل على سالب ثلاثة على اثنين.

إذن، يمكننا القول إن الحد الرابع في المفكوك يساوي ١٠٥٠٠ﺱ أس سالب ثلاثة على اثنين.