فيديو السؤال: إيجاد سرعة صندوق ينزلق من أعلى مستوى خشن الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

في أحد المصانع، تنقل صناديق من منطقة إلى أخرى عن طريق تمريرها على مستوى خشن مائل طوله ١٣ مترًا وارتفاعه ١٢ مترًا. بدأت الصناديق الحركة من السكون عند أعلى المستوى وتركت تنزلق‪‎‬‏ إلى أسفل بحرية. إذا كان معامل الاحتكاك بين المستوى والصندوق ٠٫٢٧، فأوجد سرعة الصندوق عند وصوله إلى أسفل المستوى لأقرب منزلتين عشريتين. عجلة الجاذبية الأرضية ﺩ تساوي ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة.

حسنًا، لنفترض أن هذا هو المستوى المائل الذي تنزلق عليه الصناديق في هذا المصنع. علمنا من السؤال أن الصناديق بدأت الحركة من السكون عند أعلى المستوى وانزلقت لأسفل هذا المستوى المائل، وخلال ذلك تعرضت لقوة احتكاك. طول المستوى المائل ١٣ مترًا، وتنزلق الصناديق من ارتفاع ١٢ مترًا بفعل تأثير قوة الجاذبية بعجلة جاذبية محددة. نريد إيجاد سرعة الصندوق عند وصوله إلى أسفل المستوى المائل. يمكننا أن نسمي هذه السرعة ﻉ.

بعد أن استخدمنا الحرف ﻡ لنرمز إلى معامل الاحتكاك، دعونا نفرغ بعض المساحة ونبدأ في الحل. إحدى الملاحظات المهمة هي أنه عند انزلاق هذه الصناديق لأسفل المستوى المائل، اكتسبت عجلة ثابتة. هذا يعني أن قوة الجاذبية التي تدفع الصناديق لأسفل المستوى المائل وقوة الاحتكاك التي تقاوم هذه الحركة ثابتتان أثناء حركة الصندوق. عندما يتحرك جسم بعجلة ثابتة؛ فهذا يعني أنه يمكن تطبيق مجموعة من المعادلات تعرف باسم «معادلات الحركة» لوصف حركته.

بوجه عام، توجد أربع معادلات حركة، لكننا سنركز على معادلة واحدة فقط. تنص هذه المعادلة على أنه عندما يتحرك جسم بعجلة ثابتة، فإن مربع سرعته النهائية يساوي مربع سرعته الابتدائية زائد اثنين مضروبًا في عجلته مضروبًا في إزاحته. عند تطبيق هذه العلاقة على السؤال لدينا، نجد أننا نريد إيجاد قيمة ﻉ. ﻉ صفر، أي السرعة الابتدائية للصناديق، تساوي صفرًا. ونعلم ذلك لأن الصناديق بدأت الحركة من السكون.

إذا أخذنا بعد ذلك الجذر التربيعي لطرفي المعادلة، فسنجد أن ﻉ يساوي الجذر التربيعي لاثنين في ﺟ في ﻑ ‏ﺟ هنا هي العجلة الثابتة للصندوق، وﻑ هي إزاحته أثناء انزلاقه لأسفل المستوى المائل. نحن نعرف قيمة هذه الإزاحة. فهي تساوي ١٣ مترًا. لكن ماذا عن العجلة ﺟ لهذا الصندوق؟

لإيجاد قيمة العجلة، دعونا نفكر في القوى المؤثرة على الصندوق عند انزلاقه لأسفل المستوى المائل. برسم صورة مكبرة لصندوق أثناء انزلاقه، نجد أنه لدينا قوة الوزن، أي ﻙ في ﺩ، التي يؤثر بها الصندوق، وقوة رد الفعل العمودي التي سنسميها ﺭ، وقوة الاحتكاك التي سنسميها ﻕ، وهي تؤثر عكس اتجاه حركة الصندوق.

نحن نكتب كل هذه القوى؛ لأنه بتذكر قانون نيوتن الثاني للحركة الذي ينص على أن القوة المحصلة المؤثرة على جسم تساوي كتلته في عجلته، نجد أنه يمكننا استخدام القوى المؤثرة على الصندوق الذي ينزلق على المستوى المائل لنوجد عجلته. للقيام بذلك، نفترض أن الاتجاه لأسفل المستوى المائل هو الاتجاه الموجب لـ ﺱ، والاتجاه العمودي على المستوى المائل هو الاتجاه الموجب لـ ﺹ. إذا فكرنا بعد ذلك في القوى المؤثرة على الصندوق المنزلق لأسفل في الاتجاه الذي سميناه ﺱ، فسنجد أن إحدى مركبتي قوة الوزن، المحددة هنا، مطابقة لهذا الوصف.

إذا عدنا إلى الرسم الأصلي في أسفل الشاشة، فسنتمكن من تحديد زاوية في هذا المثلث القائم الزاوية. وسنسميها 𝜃. وهي تساوي الزاوية المحصورة بين مركبتي قوة الوزن في هذا المثلث القائم الزاوية. نلاحظ أن مركبة قوة الوزن في الاتجاه ﺱ تساوي ﻙ في ﺩ في جا 𝜃.

بالرجوع إلى الرسم الأصلي، نلاحظ أن هذا يساوي الضلع المقابل للزاوية، والذي يبلغ طوله ١٢ مترًا، مقسومًا على وتر المثلث. وهو ما يعني أن قيمة جا 𝜃 يمكن تبسيطها إلى النسبة ١٢ على ١٣. نطرح من هذا الحد قوة الاحتكاك ﻕ. وهاتان القوتان معًا تساويان كتلة الصندوق مضروبة في عجلته في الاتجاه ﺱ.

نتذكر الآن أن قوة الاحتكاك ﻕ، التي تؤثر على جسم، بصفة عامة، تساوي معامل الاحتكاك ذي الصلة ﻡ مضروبًا في قوة رد الفعل المؤثرة على الجسم. لدينا معامل الاحتكاك في نص المسألة. وبالنظر إلى مخطط الجسم الحر، أي الرسم الذي يتضمن جميع القوى المؤثرة على الصندوق، يمكننا ملاحظة أن مقدار قوة رد الفعل ﺭ يساوي مركبة قوة الوزن المؤثرة بهذا الشكل. رياضيًّا، هذا يساوي ﻙ في ﺩ في جتا 𝜃.

بالرجوع مرة أخرى إلى الرسم الأصلي، نلاحظ أن هذا المثلث القائم الزاوية له نسب خاصة بين أطوال أضلاعه. إذا كان طول وتر المثلث ١٣ وارتفاعه ١٢، فإننا نعرف أن طول الضلع الآخر في هذا المثلث يساوي خمس وحدات، وهو ما يساوي هنا خمسة أمتار. نشير إلى هذا لأن جتا 𝜃 يساوي طول الضلع المجاور مقسومًا على طول الوتر. وهذا يعني أن جتا 𝜃 يساوي خمسة على ١٣. إذن، ﻙ في ﺩ في خمسة على ١٣ يساوي مقدار قوة رد الفعل ﺭ. وبضرب هذا في معامل الاحتكاك ﻡ، نحصل على تعبير لقوة الاحتكاك ﻕ.

تبدو معادلة القوى المؤثرة في الاتجاه ﺱ بهذا الشكل. لاحظ أن كتلة الصندوق ﻙ مشتركة بين كل الحدود. وبما أننا نفترض أن كتلة الصندوق لا تساوي صفرًا، فهذا يعني أنه يمكننا قسمة طرفي المعادلة على ﻙ وحذفه. إذا حللنا الطرف الأيمن بإخراج عجلة الجاذبية ﺩ من كلا الحدين، فسنحصل على هذا التعبير لعجلة الصندوق المنزلق لأسفل ﺟ.

بمعلومية ذلك، يمكننا الآن التعويض عن ﺟ بالطرف الأيمن من التعبير في تعبير ﻉ. عندما نفعل ذلك ونضرب ١٣ في اثنين لنحصل على ٢٦، يصبح لدينا هذا التعبير للسرعة النهائية للصندوق المنزلق لأسفل. والآن يمكننا التعويض بعجلة الجاذبية ﺩ ومعامل الاحتكاك ﻡ. بحساب ذلك على الآلة الحاسبة وتقريب الناتج لأقرب منزلتين عشريتين، نحصل على ١٤٫٤٥. تكون الإجابة بوحدة المتر لكل ثانية. إذن، هذه هي سرعة الصناديق عند وصولها إلى أسفل المستوى المائل.