فيديو السؤال: إيجاد النهايات بتحويلها إلى صور النهاية باستخدام العدد هـ الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد قيمة النهاية عندما يقترب ﺱ من الصفر لسالب أربعة ظا تكعيب لـ ﺱ زائد واحد الكل أس ظتا تكعيب لـ ﺱ.

المطلوب منا في هذا السؤال إيجاد قيمة نهاية. وأول ما علينا فعله عندما يطلب منا إيجاد قيمة نهاية هو معرفة ما إذا كان يمكننا فعل ذلك مباشرة أم لا. وربما نريد تجربة التعويض المباشر. لكن تذكر أن الدوال المثلثية تكون متصلة على مجالها فقط. وﺱ يساوي صفرًا لا يقع في مجال ظتا ﺱ. لذا، لا يمكننا إيجاد قيمة هذه النهاية باستخدام التعويض المباشر.

ويمكننا ملاحظة ما يحدث للقيمة المخرجة عندما يقترب ﺱ من صفر. نجد داخل القوسين، أنه كلما اقتربت قيم ﺱ من صفر، اقترب ظا ﺱ من صفر أيضًا. ومن ثم، يقترب التعبير الموجود داخل القوسين من واحد. لكن لا يمكننا تحديد ما يحدث للأس عندما يقترب ﺱ من صفر. عندما يقترب ﺱ من صفر من جهة اليمين، فإن ظتا ﺱ يقترب من ∞. لكن عندما يقترب ﺱ من صفر من جهة اليسار، فإن ظتا ﺱ يقترب من سالب ∞. وفي كلا الحالتين، فإن واحدًا أس موجب ∞ وواحدًا أس سالب ∞ هما صيغتان غير معينتين على أي حال. لذا، لا يمكننا استخدام هذه الطريقة لإيجاد قيمة النهاية.

ومن ثم، علينا تجربة إجراء بعض التعديلات بدلًا من ذلك. وقد يكون من الصعب معرفة ما علينا فعله لمساعدتنا في إيجاد قيمة هذه النهاية. لكننا نلاحظ أمرًا ما، وهو أن ظتا تكعيب لـ ﺱ يساوي واحدًا مقسومًا على ظا تكعيب لـ ﺱ. لذا، سنحاول استخدام هذه النهاية المستنتجة لمساعدتنا في إيجاد قيمة النهاية. نتذكر أن هذه النهاية المستنتجة تخبرنا أن النهاية عندما يقترب ﻥ من الصفر لواحد زائد ﻥ الكل أس واحد على ﻥ تساوي ﻫ. ومن الجدير بالذكر هنا أنه يمكننا استخدام النهاية المستنتجة الأخرى التي تتضمن ثابت أويلر ﻫ للإجابة عن هذا السؤال.

ولكن عادة ما تتضمن إحدى النهايتين المستنتجتين طريقة أسهل للحل. ومن الصعب جدًّا تحديد النهاية المستنتجة التي يجب استخدامها بمجرد النظر إلى النهاية المطلوب منا إيجاد قيمتها. لذا، إذا واجهنا صعوبة، فعلينا أن نحاول الانتقال إلى النهاية المستنتجة الأخرى.

لاستخدام هذه النهاية لمساعدتنا في الإجابة عن هذا السؤال، علينا أن نبدأ بإعادة كتابة النهاية التي لدينا على هذه الصورة. وأول ما سنفعله هو تغيير ترتيب الحدين داخل القوسين. وهذا يعطينا النهاية عندما يقترب ﺱ من الصفر لواحد ناقص أربعة ظا تكعيب لـ ﺱ الكل أس ظتا تكعيب لـ ﺱ. بعد ذلك، نريد أن يكون لدينا داخل القوسين واحد زائد المتغير. لذا، علينا استخدام التعويض. سنعوض بـ ﻥ يساوي سالب أربعة في ظا تكعيب لـ ﺱ.

ولإعادة كتابة النهاية باستخدام التعويض، علينا ملاحظة ما يحدث لقيم ﻥ عندما يقترب ﺱ من الصفر. ويمكننا فعل ذلك مباشرة من التعويض. في الطرف الأيسر من المعادلة، عندما تقترب قيم ﺱ من صفر، يقترب الطرف الأيسر من المعادلة من صفر؛ لأن الطرف الأيسر من هذه المعادلة دالة متصلة. ومن ثم، يمكننا إيجاد قيمته بالتعويض المباشر. كلما اقتربت قيم ﺱ من صفر، اقتربت قيم ﻥ من الصفر أيضًا.

لكن توجد حالة أخرى يظهر فيها ﺱ في النهاية. وعلينا إيجاد تعبير عن ظتا تكعيب لـ ﺱ بدلالة ﻥ. ولنفعل ذلك، علينا إعادة الترتيب بعد التعويض. سنبدأ بقسمة الطرفين على سالب أربعة. فنحصل على سالب ﻥ على أربعة يساوي ظا تكعيب لـ ﺱ.

وبما أننا نريد تعبير عن ظتا تكعيب لـ ﺱ، فيمكننا إيجاد مقلوب كلا طرفي هذه المعادلة. وتجدر الإشارة هنا إلى أنه لا داعي للقلق بشأن القسمة على صفر لأن هاتين النهايتين هما عندما يقترب ﺱ من الصفر وعندما يقترب ﻥ من الصفر. إذن، فإن قيمتي ﺱ وﻥ لا تساويان صفرًا أبدًا. وهذا يعني أن ظا تكعيب لـ ﺱ لا يساوي صفرًا، وﻥ لا يساوي صفرًا. وهذا يعطينا سالب أربعة على ﻥ يساوي ظتا تكعيب لـ ﺱ.

نحن الآن مستعدون لاستخدام هذا التعويض لإعادة كتابة النهاية. وقد أعدنا كتابة النهاية على صورة النهاية عندما يقترب ﻥ من الصفر لواحد زائد ﻥ الكل مرفوعًا للقوة سالب أربعة على ﻥ. أصبحت هذه النهاية الآن تقريبًا على الصورة المماثلة لاستخدام النهاية المستنتجة التي تتضمن ثابت أويلر ﻫ. الفرق الوحيد بينهما هو أن الأس يتضمن العامل سالب أربعة. لذا، لتطبيق هذه النهاية المستنتجة، علينا إخراج العامل المشترك سالب أربعة الموجود في الأس من النهاية. ولنفعل ذلك، علينا استخدام قاعدة القوة للنهايات. لكن أولًا، سنستخدم قوانين الأسس.

نعرف أن ﺃ أس ﺏ في ﺟ يساوي ﺃ أس ﺏ الكل مرفوعًا للقوة ﺟ. وبوضع ﺃ يساوي واحدًا زائد ﻥ، وﺏ يساوي واحدًا على ﻥ، وﺟ يساوي سالب أربعة، يمكننا إعادة كتابة النهاية على صورة النهاية عندما يقترب ﻥ من الصفر لواحد زائد ﻥ الكل مرفوعًا للقوة واحد على ﻥ الكل مرفوعًا للقوة سالب أربعة. كل ما علينا فعله الآن هو إخراج هذا الأس سالب أربعة خارج النهاية. ولنفعل ذلك، علينا استخدام قاعدة القوة للنهايات.

تخبرنا إحدى صور هذه القاعدة أن النهاية عندما يقترب ﻥ من ﺃ لـ ﺩﻥ مرفوعًا للقوة ﻙ تساوي النهاية عندما يقترب ﻥ من ﺃ لـ ﺩﻥ الكل مرفوعًا للقوة ﻙ، بشرط وجود النهاية عندما يقترب ﻥ من ﺃ لـ ﺩﻥ، ورفعها إلى القوة ﻙ. وأسهل طريقة لإثبات تحقق هذين الشرطين الأساسيين هي كتابة الخطوة التالية في مسار الحل. باستخدام قاعدة القوة للنهايات، نجد أن النهاية تساوي النهاية عندما يقترب ﻥ من الصفر لواحد زائد ﻥ الكل مرفوعًا للقوة واحد على ﻥ الكل مرفوعًا للقوة سالب أربعة.

لكن تذكر أن ذلك يتحقق بشرط وجود النهاية عندما يقترب ﻥ من الصفر لواحد زائد ﻥ الكل مرفوعًا للقوة واحد على ﻥ، ونحن نعلم أنها موجودة. فهي النهاية المستنتجة التي تتضمن ثابت أويلر ﻫ. ولا تنس أنه علينا أيضًا التحقق من أننا نستطيع رفع هذا العدد إلى الأس الذي لدينا، ويمكننا ذلك بالطبع. فنحصل فقط على ﻫ أس سالب أربعة. وهذا يعني أننا تمكنا من تبرير استخدامنا لقاعدة القوى للنهايات لمعرفة أن قيمة هذه النهاية تساوي ﻫ أس سالب أربعة. ولكن بعد ذلك، سنجري تعديلًا أخيرًا لإعادة كتابة ذلك على صورة واحد على ﻫ أس أربعة، وهذه هي الإجابة النهائية.

وبذلك، نكون قد تمكنا من توضيح أن النهاية عندما يقترب ﺱ من الصفر لسالب أربعة ظا تكعيب لـ ﺱ زائد واحد الكل مرفوعًا للقوة ظتا تكعيب لـ ﺱ تساوي واحدًا على ﻫ أس أربعة.