فيديو: إيجاد معادلة المماس لمنحنى دالة كثيرة الحدود عند قيمة 𝑥 المعطاة

عين معادلة المماس للمنحنى 𝑦 = −2𝑥³ + 8𝑥² − 19 عندما تكون 𝑥 = 2.

٠٥:٢٥

‏نسخة الفيديو النصية

عين معادلة المماس للمنحنى 𝑦 يساوي سالب اثنين 𝑥 تكعيب زائد ثمانية 𝑥 تربيع ناقص 19 عندما تكون 𝑥 تساوي اثنين.

إننا نبحث عن معادلة المماس لهذا المنحنى التكعيبي. ونحن نعلم أن ميل المماس للمنحنى 𝑦 يساوي 𝑓 في المتغير 𝑥، عندما يكون 𝑥 يساوي 𝑎، هو قيمة مشتقة 𝑓 شرطة عند 𝑎. إذن، فميل المماس الذي نريد إيجاد معادلته هو قيمة 𝑑𝑦 على 𝑑𝑥 عندما يكون 𝑥 يساوي اثنين.

وبإيجاد ميل المماس، نأمل أن يكون من السهل إيجاد معادلة المماس. هذا يعني أن علينا إيجاد قيمة 𝑑𝑦 على 𝑑𝑥، والذي هو المشتقة بالنسبة إلى 𝑥 لسالب اثنين 𝑥 تكعيب زائد ثمانية 𝑥 تربيع ناقص 19. ويمكننا استخدام القاعدة التي تقول: إن مشتقة مجموع الدوال أو الفرق بينها هو مجموع مشتقات هذه الدوال أو الفرق بينها لتقسيم هذه المشتقة إلى ثلاث مشتقات. ويمكننا إيجاد قيمة هذه المشتقات واحدة تلو الأخرى، بدءًا من مشتقة سالب اثنين 𝑥 تكعيب بالنسبة إلى 𝑥.

لإيجاد هذه المشتقة، يمكننا استخدام حقيقة أن مشتقة الأساس 𝑥 بالنسبة إلى 𝑥، أي 𝑥 مرفوعًا للقوة 𝑛، تساوي 𝑛 في 𝑥 مرفوعًا للقوة 𝑛 ناقص واحد. وبما أن مشتقة عدد في دالة تساوي هذا العدد في مشتقة الدالة، فإن مشتقة 𝑎 في 𝑥 مرفوعًا للقوة 𝑛 بالنسبة إلى 𝑥 تساوي 𝑎 في 𝑛𝑥 مرفوعًا للقوة 𝑛 ناقص واحد. إذن، فمشتقة سالب اثنين 𝑥 مرفوعًا للقوة ثلاثة تساوي سالب اثنين في ثلاثة في 𝑥 مرفوعًا للقوة ثلاثة ناقص واحد، وهو ما يساوي سالب ستة 𝑥 تربيع.

ويمكننا استخدام القاعدة نفسها لإيجاد قيمة مشتقة ثمانية 𝑥 تربيع أو ثمانية 𝑥 مرفوعًا للقوة اثنين. إنها 16𝑥. وقيمة مشتقة الدالة الثابتة 19 بالنسبة إلى 𝑥 هي صفر. وهذا الحد الثابت لا يؤثر في المشتقة التي لدينا. لذا، فإن المشتقة 𝑑𝑦 على 𝑑𝑥 تساوي سالب ستة 𝑥 تربيع زائد 16𝑥.

وميل المماس الذي لدينا هو قيمة 𝑑𝑦 على 𝑑𝑥 عند 𝑥 يساوي اثنين. لذا، فبالتعويض عن 𝑥 باثنين، نحصل على سالب ستة في اثنين تربيع زائد 16 في اثنين، وهو ما يساوي ثمانية.

الآن وقد أوجدنا ميل المماس، فلنفرغ بعض المساحة لإيجاد معادلة المماس. نريد إيجاد معادلة خط المماس. ونحن نعرف أن ميل هذا الخط يساوي ثمانية. ولكننا نحتاج إلى بعض المعلومات الأخرى للتوصل إلى المعادلة.

إن خط المماس يلمس أو يقطع المنحنى 𝑦 يساوي سالب اثنين 𝑥 تكعيب زائد ثمانية 𝑥 تربيع ناقص 19، عندما يكون 𝑥 يساوي اثنين. لذا، عندما يكون 𝑥 يساوي اثنين، يكون دائمًا الإحداثي 𝑦 للنقطة على المماس مساويًا لنظيره على المنحنى. لنرسم مخططًا سريعًا لإثبات أن هذه القاعدة صحيحة في العموم.

بتطبيق هذه القاعدة العامة على المثال الذي لدينا، نرى أن المماس يمر بالنقطة اثنين، سالب اثنين في اثنين تكعيب زائد ثمانية في اثنين تربيع ناقص 19. لقد عوضنا هنا عن 𝑥 باثنين. بإيجاد قيمة هذا المقدار، نجد أن المماس يمر بالنقطة اثنين، سالب ثلاثة.

والآن بوجود هاتين المعلومتين، يصبح لدينا معلومات كافية لإيجاد معادلة المماس. ويمكننا استخدام صيغة معادلة الخط المستقيم بمعلومية الميل ونقطة، والتعويض فيها. إن الميل 𝑚 يساوي ثمانية. و𝑥 الابتدائية و𝑦 الابتدائية هما اثنان وسالب ثلاثة، على الترتيب؛ لأن المماس يمر بالنقطة اثنين، سالب ثلاثة.

كل ما علينا فعله الآن هو التبسيط. فعلى الطرف الأيسر، ناقص سالب ثلاثة يصبح موجب ثلاثة. وعلى الطرف الأيمن، نوزع الضرب على الجمع لنحصل على ثمانية 𝑥 ناقص 16. وبإعادة ترتيب المعادلة لكي تقع جميع الحدود في الطرف الأيسر، نجد أن معادلة المماس للمنحنى 𝑦 يساوي سالب اثنين 𝑥 تكعيب زائد ثمانية 𝑥 تربيع ناقص 19 عندما يكون 𝑥 يساوي اثنين، في صورتها القياسية، هي 𝑦 ناقص ثمانية 𝑥 زائد 19 يساوي صفرًا.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.