فيديو السؤال: جمع المتجهات بيانيًّا الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أي تمثيل بياني يمثل المتجه ﺃ زائد المتجه ﺏ؛ حيث المتجه ﺃ يساوي ثلاثة، أربعة، والمتجه ﺏ يساوي أربعة، واحد، من الخيارات (أ)، (ب)، (ج)، (د)، (هـ)؟

في هذا السؤال، لدينا خمسة خيارات علينا أن نحدد من بينها الخيار الذي يمثل مجموع المتجهين تمثيلًا صحيحًا، ولدينا في المعطيات مركبتا كلا المتجهين ﺃ وﺏ. يمكننا البدء بتذكر المقصود بالصورة الإحداثية لهذين المتجهين. تشير المركبة الأولى إلى إزاحة المتجه في الاتجاه الأفقي، وتشير المركبة الثانية إلى إزاحة المتجه في الاتجاه الرأسي. على سبيل المثال، المتجه ﺃ له مركبتان ثلاثة وأربعة. توضح المركبة الأولى أن إزاحته تكون في الاتجاه الأفقي. وبما أنها تساوي موجب ثلاثة، فإن ذلك يعني أننا نتحرك بمقدار ثلاث وحدات إلى اليمين. وتدل المركبة الثانية، وهي موجب أربعة، على أن الإزاحة تكون في الاتجاه الرأسي. ومن ثم، نتحرك بمقدار أربع وحدات إلى الأعلى.

هذا يعني أنه في التمثيل البياني الصحيح، يجب أن يمثل تحرك المتجه ﺃ ثلاث وحدات إلى اليمين وأربع وحدات إلى الأعلى. يمكننا ملاحظة أن هذا لا ينطبق على الخيار (أ). وذلك لأنه، في الخيار (أ)، إذا تحركنا على طول المتجه ﺃ، سنتحرك ثلاث وحدات إلى اليمين. لكننا سنتحرك بمقدار خمس وحدات إلى الأعلى، إذن الخيار (أ) غير صحيح. وبالمثل في الخيار (ب)، إذا اتبعنا المتجه ﺃ، نلاحظ أننا نتحرك أربع وحدات إلى اليمين وثلاث وحدات إلى الأعلى. إذن، الخيار (ب) غير صحيح أيضًا. وبالمثل في الخيار (ج)، نلاحظ أن المتجه ﺃ يقع على بعد أربع وحدات إلى اليمين، وثلاث وحدات إلى الأعلى. إذن الخيار (ج) ليس صحيحًا أيضًا.

يمثل كلا الخيارين (د) و (هـ) المتجه ﺃ تمثيلًا صحيحًا. وذلك لأننا نتحرك ثلاث وحدات إلى اليمين وأربع وحدات إلى الأعلى. ومن الجدير بالملاحظة أيضًا أن هذين الخيارين يمثلان التحرك الصحيح للمتجه ﺏ. نعلم أن للمتجه ﺏ إزاحة موجبة مقدارها أربعة في الاتجاه الأفقي وإزاحة موجبة مقدارها واحد في الاتجاه الرأسي. وهذا يعني أن المتجه ﺏ يمثل التحرك بمقدار أربع وحدات إلى اليمين، ووحدة واحدة إلى الأعلى. والآن يمكننا الانتقال إلى إيجاد المتجه ﺃ زائد المتجه ﺏ.

تذكر أنه لجمع متجهين معًا، نجمع إزاحتي كل منهما معًا. وبما أننا لدينا الإزاحة الأفقية والرأسية للمتجهين ﺃ وﺏ، يمكننا جمع المتجهين معًا بجمع إزاحتي كل منهما الأفقية والرأسية. المتجه ﺃ زائد المتجه ﺏ له مركبة أفقية تساوي ثلاثة زائد أربعة، ومركبة رأسية تساوي أربعة زائد واحد. وإذا حسبنا قيمة كل مركبة متناظرة من هاتين المركبتين، فسنحصل على المتجه سبعة، خمسة. ويمكننا ملاحظة أن الخيار (هـ) فقط هو الذي يوضح أن المتجه ﺃ مضافًا إلى المتجه ﺏ يمثل إزاحة سبع وحدات إلى اليمين وخمس وحدات إلى الأعلى.

تجدر الإشارة أيضًا إلى أنه كان بإمكاننا فعل ذلك مباشرة باستخدام التمثيل البياني عن طريق رسم المتجه ﺏ لتكون نقطة بدايته عند نقطة نهاية المتجه ﺃ. إذا نقلنا المتجه ﺏ بحيث يبدأ من نقطة نهاية المتجه ﺃ، فسنجد أنه يطابق المتجه ﺃ زائد المتجه ﺏ، وهو ما يؤكد مرة أخرى أن هذا الخيار يمثل مجموع المتجهين بشكل صحيح، لأن مجموع هذين المتجهين يمثل الإزاحة الكلية لكلا المتجهين. وبذلك، نكون قد تمكنا من إثبات أن الخيار (هـ) يمثل المتجه ﺃ زائد المتجه ﺏ تمثيلًا صحيحًا.