نسخة الفيديو النصية
أي من التمثيلات البيانية التالية يمثل المعادلة ﺹ يساوي اثنين ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ زائد واحد؟
لدينا بعض التمثيلات البيانية لدوال تربيعية، ونريد تحديد أي منها يمثل المعادلة ﺹ يساوي اثنين ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ زائد واحد.
لفعل ذلك، يمكننا التذكر أن الدالة التربيعية تكتب على الصورة ﺩﺱ تساوي ﺃﺱ تربيع زائد ﺏﺱ زائد ﺟ؛ حيث ﺃ وﺏ وﺟ ثوابت، وﺃ لا يساوي صفرًا. ويمكننا توضيح العديد من خواص الدوال التربيعية بتناول هذه الصورة العامة. في البداية، نلاحظ أن جميع الدوال التربيعية تأخذ شكل القطع المكافئ. وإذا كان الثابت ﺃ، الذي يسمى المعامل الرئيسي، أقل من صفر، فإن منحنى الدالة التربيعية يكون مفتوحًا لأسفل، وإذا كان ﺃ أكبر من صفر، فإن المنحنى يكون مفتوحًا لأعلى.
في المعادلة ﺹ يساوي اثنين ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ زائد واحد لدينا، نلاحظ أن ﺃ يساوي اثنين. هذا هو معامل ﺱ تربيع. وهو أكبر من صفر. هذا يعني أن المنحنى الذي يمثل الدالة المعطاة لا بد أن يكون مفتوحًا لأعلى. ومن ثم نستبعد التمثيلين البيانيين ﺩ وﻫ؛ لأن كلًّا منهما مفتوح لأسفل.
نعلم أيضًا أن كل منحنيات الدوال التربيعية لها نقطة تقاطع مع المحور ﺹ، وهي النقطة التي إحداثياتها صفر، ﺟ. هذه هي النقطة التي يقطع عندها المنحنى المحور ﺹ. في هذه الحالة، يمكننا الملاحظة أن ﺟ يساوي واحدًا، وهذا يعني أن نقطة التقاطع مع المحور ﺹ هي النقطة التي إحداثياتها صفر، واحد. وإذا نظرنا إلى التمثيلات البيانية الثلاثة المتبقية ﺃ وﺏ وﺟ فسنجد أن نقطة التقاطع مع المحور ﺹ في التمثيل البياني ﺃ هي النقطة صفر، سالب واحد. لذا سنستبعد التمثيل البياني ﺃ؛ لأن قيمة ﺟ فيه لا تتوافق مع القيمة الواردة في المعادلة.
في كل من التمثيلين البيانيين ﺏ وﺟ، نلاحظ أن نقطة التقاطع مع المحور ﺹ هي النقطة صفر، واحد. وهذا يعني أن كلًّا منهما محتمل أن يكون التمثيل البياني للمعادلة المعطاة. هناك شيء آخر نعرفه عن الدوال التربيعية، وهو أنه من الممكن ألا يكون لها أي نقطة تقاطع مع المحور ﺱ، أو أن يكون لها نقطة تقاطع واحدة أو نقطتا تقاطع مع المحور ﺱ. وعندما نعرف قيم إحداثيات ﺱ لهذه النقاط، فإننا نعرف القيم المدخلة التي تكون عندها مخرجات الدالة تساوي صفرًا.
يمكننا الملاحظة أنه في كل من التمثيلين البيانيين المتبقيين توجد نقطتا تقاطع مع المحور ﺱ. لذا دعونا نتناول إحداثيات إحدى نقطتي التقاطع مع المحور ﺱ هاتين لنرى إذا ما كانت تحقق المعادلة المعطاة، وذلك لكل من التمثيلين البيانيين. سنختار نقطة التقاطع مع المحور ﺱ التي إحداثياتها واحد، صفر في التمثيل البياني ﺏ، وبالتعويض عن ﺱ بواحد وعن ﺹ بصفر في المعادلة لدينا، يمكننا التحقق من إذا ما كان الطرفان الأيسر والأيمن للمعادلة متساويين. في الطرف الأيسر، لدينا اثنان في واحد تربيع ناقص ثلاثة في واحد زائد واحد، وهو ما يبسط إلى اثنين ناقص ثلاثة زائد واحد. وهذا يساوي صفرًا. إذن، النقطة واحد، صفر تحقق المعادلة المعطاة.
سنفعل الآن الشيء نفسه مع إحدى نقطتي التقاطع مع المحور ﺱ في التمثيل البياني ﺟ، وسنعوض بإحداثيات النقطة سالب واحد، صفر في المعادلة لدينا ليصبح الطرف الأيسر منها هو اثنين في سالب واحد تربيع ناقص ثلاثة في سالب واحد زائد واحد. وبما أن سالب واحد تربيع يساوي واحدًا، وسالب ثلاثة في سالب واحد يساوي ثلاثة، فستصبح لدينا المعادلة اثنان زائد ثلاثة زائد واحد، وهذا يساوي ستة.
الطرفان الأيسر والأيمن ليسا متساويين. وهذا يعني أن هذه النقطة لا تحقق المعادلة المعطاة. وبما أن هذه النقطة تقع على التمثيل البياني ﺟ، فإن التمثيل البياني ﺟ لا يمكن أن يمثل المعادلة المعطاة.
يتبقى لدينا الآن التمثيل البياني ﺏ. ونحن نعلم أن التمثيل البياني ﺏ هو التمثيل البياني الصحيح للمعادلة المعطاة؛ وذلك لأنه مفتوح لأعلى، وكل من نقطة التقاطع مع المحور ﺹ، وإحدى نقطتي التقاطع مع المحور ﺱ يحقق المعادلة المعطاة. ولزيادة التأكد من أن التمثيل البياني ﺏ هو الإجابة الصحيحة، يمكننا تناول إحدى النقاط الأخرى الواقعة على المنحنى لنرى إذا ما كانت تحقق المعادلة. لذا دعونا نفعل ذلك.
سنتحقق من نقطة التقاطع الثانية مع المحور ﺱ، وإحداثياتها نصف، صفر. وإذا عوضنا بهاتين القيمتين في المعادلة، فسنحصل في الطرف الأيسر لدينا على اثنين في نصف تربيع ناقص ثلاثة في نصف زائد واحد. وعلينا حساب ذلك لمعرفة إذا ما كان هذا المقدار يساوي صفرًا. هذا المقدار يساوي بالفعل صفرًا. ومن ثم يمكننا القول إن نقطة التقاطع الثانية مع المحور ﺱ في التمثيل البياني ﺏ تحقق المعادلة المعطاة.
يمكننا الملاحظة أن النقطة التي إحداثياتها اثنان، ثلاثة تقع أيضًا على التمثيل البياني ﺏ. ومن ثم سنستخدم إحداثيات هذه النقطة في المعادلة المعطاة للتأكد مرة أخيرة. سنعوض عن ﺱ باثنين وعن ﺹ بثلاثة في المعادلة؛ لنحصل في الطرف الأيسر على اثنين في اثنين تربيع ناقص ثلاثة في اثنين زائد واحد، ونحصل في الطرف الأيمن على ثلاثة. بعد ذلك نوجد قيمة الطرف الأيسر، وهي تساوي ثمانية ناقص ستة زائد واحد، أو ببساطة ثلاثة. هكذا نكون وجدنا أن الطرفين الأيسر والأيمن متساويان، وأن هذه النقطة تحقق المعادلة المعطاة.
إذن، بما أن المعامل الرئيسي للدالة موجب، وكلًّا من نقاط التقاطع مع المحورين ﺱ وﺹ، وإحدى النقاط الأخرى الواقعة على التمثيل البياني تحقق المعادلة المعطاة، يمكننا القول إن التمثيل البياني ﺏ يمثل المعادلة ﺹ يساوي اثنين ﺱ تربيع ناقص ثلاثة ﺱ زائد واحد.