فيديو السؤال: حل المسائل التي تتضمن زوايا انخفاض باستخدام قانون الجيوب | نجوى فيديو السؤال: حل المسائل التي تتضمن زوايا انخفاض باستخدام قانون الجيوب | نجوى

فيديو السؤال: حل المسائل التي تتضمن زوايا انخفاض باستخدام قانون الجيوب الرياضيات • الصف الثاني الثانوي

برج ارتفاعه ٣٣ مترًا. قياس زاوية انخفاض قمة البرج من أعلى تل ٣١°. قياس زاوية انخفاض قاعدة البرج من أعلى التل ٥٢°. أوجد ارتفاع التل، علمًا بأن قاعدته وقاعدة البرج في مستوى أفقي واحد. اكتب إجابتك لأقرب متر.

٠٨:٥٢

نسخة الفيديو النصية

برج ارتفاعه ٣٣ مترًا. قياس زاوية انخفاض قمة البرج من أعلى تل ٣١ درجة. قياس زاوية انخفاض قاعدة البرج من أعلى التل ٥٢ درجة. أوجد ارتفاع التل، علمًا بأن قاعدته وقاعدة البرج في مستوى أفقي واحد. اكتب إجابتك لأقرب متر.

دعونا نبدأ هذه المسألة برسم شكل توضيحي لما لدينا. أولًا: علمنا أن لدينا برجًا ارتفاعه ٣٣ مترًا. لدينا أيضًا تل لا نعرف ارتفاعه، ومعطاة لنا معلومات مختلفة عن بعض زوايا الانخفاض. تذكر أن زاوية الانخفاض هي الزاوية التي تتكون بين الخط الأفقي وخط الرؤية عندما تنظر لأسفل باتجاه جسم ما. نعلم من المعطيات أن قياس زاوية الانخفاض من أعلى التل إلى قمة البرج يساوي ٣١ درجة. وهي هذه الزاوية هنا، أي الزاوية المحصورة بين الخط الأفقي وخط الرؤية عند النظر إلى قمة البرج من أعلى التل.

نعلم كذلك أن قياس زاوية الانخفاض من أعلى التل إلى قاعدة البرج ٥٢ درجة. وهي هذه هنا، أي الزاوية المحصورة بين الخط الأفقي وخط الرؤية عند النظر لأسفل نحو قاعدة البرج. يمكننا إذن تقسيم الزاوية التي قياسها ٥٢ درجة إلى زاوية قياسها ٣١ درجة التي رسمناها بالفعل، والزاوية المتبقية التي قياسها ٢١ درجة، والتي تقع بين خطي الرؤية. ولكن تذكر أن هذا الشكل ليس مرسومًا بمقياس رسم.

المطلوب منا هو إيجاد ارتفاع التل، ويمكننا أن نطلق على ذلك ﺱ مترًا. والمعطى الأخير لدينا هو أن قاعدة التل وقاعدة البرج تقعان في مستوى أفقي واحد، ما يعني أنه يمكننا افتراض أن الأرض بينهما مستوية. ومن ثم توجد زاوية قائمة بين الأرض والارتفاع الرأسي للتل، أو الارتفاع الرأسي للبرج.

نلاحظ وجود مثلثين في الشكل: هذا المثلث هنا، وهو مثلث غير قائم الزاوية نعرف أن طول أحد أضلاعه ٣٣ مترًا، وقياس إحدى زواياه ٢١ درجة، وهذا المثلث هنا، وهو مثلث قائم الزاوية، ليس لدينا أي معلومات أخرى عنه بعد. هذان المثلثان لهما ضلع مشترك، ويمكن أن نطلق عليه ﺹ مترًا. والآن بما أننا لا نعرف أي معلومات أخرى عن هذا المثلث البرتقالي، دعونا نركز إذن على المثلث الوردي. إذا رسمنا خطًّا أفقيًّا آخر هنا، فسنجد أن لدينا زاويتين متبادلتين بين خطين متوازيين. ونعرف أن أي زاويتين متبادلتين متساويتان في القياس، إذن هذا الجزء من الزاوية التي بداخل المثلث قياسه ٣١ درجة أيضًا.

نعلم أيضًا أن قياس الزاوية المحصورة بين المستويين الأفقي والرأسي يساوي ٩٠ درجة. ومن ثم فهذه الزاوية المنفرجة في المثلث الوردي تتكون من زاوية قياسها ٩٠ درجة وزاوية قياسها ٣١ درجة. ومن ثم فهي تساوي ١٢١ درجة. يمكننا أيضًا إيجاد قياس الزاوية الثالثة في المثلث؛ لأننا نعلم أن مجموع قياسات زوايا أي مثلث يساوي ١٨٠ درجة. قياس الزاوية الأخيرة يساوي ١٨٠ درجة ناقص قياسي الزاويتين الأخريين، وهما ١٢١ درجة و٢١ درجة، ما يعني أن قياس الزاوية الثالثة يساوي ٣٨ درجة. إذا فكرنا في المثلث الوردي، فسنجد أننا نعرف الآن قياسات الزوايا الثلاث كلها، ونعرف طول أحد الأضلاع؛ ما يعني أن لدينا معلومات كافية تمكننا من حساب طول أي من الضلعين الآخرين، أو تحديدًا الضلع الذي طوله ﺹ متر عن طريق تطبيق قانون الجيوب.

ينص قانون الجيوب على أنه في أي مثلث تكون النسبة بين طول أي ضلع وجيب الزاوية المقابلة له ثابتة، وهو ما يمكننا كتابته على صورة ﺃ شرطة على جا ﺃ يساوي ﺏ شرطة على جا ﺏ يساوي ﺟ شرطة على جا ﺟ؛ حيث تمثل أطوال الأضلاع، والزوايا المقابلة لها. الضلع الذي طوله ٣٣ مترًا مقابل للزاوية التي قياسها ٢١ درجة، والضلع الذي نرغب في حساب طوله، ﺹ، مقابل للزاوية ١٢١ درجة. وبالتعويض في قانون الجيوب يصبح لدينا ﺹ على جا ١٢١ درجة يساوي ٣٣ على جا ٢١ درجة. يمكننا حل هذه المعادلة لإيجاد قيمة ﺹ بضرب الطرفين في جا ١٢١ درجة، وهو ما يعطينا ﺹ يساوي ‎ ٣٣ ‎ جا ١٢١ درجة على جا ٢١ درجة.

بحساب قيمة ذلك على الآلة الحاسبة، نجد أن ﺹ يساوي ٧٨٫٩٣١. وبذلك نكون قد عرفنا طول الضلع المشترك ﺹ، ما يعني أنه أصبحت لدينا بعض المعلومات عن المثلث البرتقالي. يمكننا أيضًا إيجاد قياسات إحدى الزوايا الأخرى في هذا المثلث. في الجزء السفلي الأيمن من الشكل، لدينا زاوية قائمة بين المستويين الأفقي والرأسي. ونعلم أن قياس هذا الجزء منها يساوي ٣٨ درجة. إذن قياس الجزء المتبقي من هذه الزاوية يساوي ٩٠ درجة ناقص ٣٨ درجة. أي ٥٢ درجة. إذن في المثلث البرتقالي، وهو مثلث قائم الزاوية، نعرف الآن زاوية قياسها ٥٢ درجة وطول ضلع يساوي ٧٨٫٩ مترًا، ونريد حساب طول ضلع آخر، وهو ما يعني أنه يمكننا تطبيق حساب المثلثات للمثلث القائم الزاوية.

فيما يخص الزاوية التي قياسها ٥٢ درجة، الضلع الذي نرغب في حسابه هو الضلع المقابل. والضلع الذي نعرف طوله هو الوتر ويساوي ٧٨٫٩ مترًا. لذا فالنسبة المثلثية التي سنستخدمها وتتضمن طول الضلع المقابل وطول الوتر هي نسبة الجيب. وهي النسبة القياسية لجيب الزاوية في المثلث القائم الزاوية، وليست قانون الجيوب. تذكر أن جيب الزاوية يساوي طول الضلع المقابل على الوتر، إذن يصبح لدينا جا ٥٢ درجة يساوي ﺱ على ٧٨٫٩ مع توالي الأرقام. يمكننا إيجاد قيمة ﺱ بضرب طرفي هذه المعادلة في ٧٨٫٩. ومن ثم يصبح لدينا ﺱ يساوي ٧٨٫٩ في جا ٥٢ درجة. يجب علينا الاحتفاظ بالقيمة الدقيقة التي ظهرت على الآلة الحاسبة في الخطوة السابقة لنتمكن الآن من ضرب الناتج في جا ٥٢ درجة مع التأكد من عدم وجود أخطاء في التقريب في الإجابة.

عندما نحسب ذلك مع التأكد من أن الآلة الحاسبة مضبوطة على وضع الدرجات، نحصل على ٦٢٫١٩٨ مع توالي الأرقام. المطلوب منا في السؤال هو تقريب الإجابة لأقرب متر. وبما أن أول خانة عشرية بها واحد، فإننا نقرب لأسفل ونحصل على ٦٢ مترًا. إذن بتطبيق قانون الجيوب ثم نسبة الجيب في المثلث القائم الزاوية، وجدنا أن ارتفاع التل لأقرب متر يساوي ٦٢ مترًا.

انضم إلى نجوى كلاسيز

شارك في الحصص المباشرة على نجوى كلاسيز وحقق التميز الدراسي بإرشاد وتوجيه من مدرس خبير!

  • حصص تفاعلية
  • دردشة ورسائل
  • أسئلة امتحانات واقعية

تستخدم «نجوى» ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. اعرف المزيد عن سياسة الخصوصية