فيديو: إيجاد مساحات الدوائر والأشكال السداسية

يمثل الشكل الموضح دائرة داخل سداسي. أوجد مساحة الجزء المظلل لأقرب جزء من عشرة.

٠٩:٠٠

‏نسخة الفيديو النصية

يمثّل الشكل الموضح دائرة داخل سُداسي. اوجد مساحة الجزء المظلل، لأقرب جزء من عشرة.

من خلال الشكل الموضح، بنلاقي إن فيه دايرة داخل سُداسي منتظم. وبنلاحظ عندنا إن فيه أجزاء مظللة، وأجزاء لأ. ومطلوب منّنا تحديد مساحة الجزء المظلل. فلو قدرنا نحسب مساحة السُّداسي المنتظم ده. وقدرنا نحسب مساحة الدايرة. وطرحنا مساحة السُّداسي ناقص مساحة الدايرة. فالناتج هيكون عبارة عن مساحة الأجزاء اللي إحنا شايفينها دي. وعدد الأجزاء دي ستة. وبنلاحظ إنها متطابقة بالظبط. ولكننا محتاجين نوجد مساحة الجزء المظلل فقط. وهو عبارة عن نص مجموع مساحة الأجزاء الستة دي. يبقى المطلوب منّنا هو حساب مساحة الدايرة، ومساحة السُّداسي المنتظم. وده هيسهّل علينا حساب مساحة الجزء المظلل.

من الرسم الموضّح، بنلاقي عندنا إن مركز السُّداسي المنتظم، هو هو مركز الدايرة عندنا. وهنسميه عبارة عن م. بعد كده هنقسّم السُّداسي المنتظم ده لمثلثات، بإننا هنرسم من المركز م ده، خطوط لرؤوس هذا السُّداسي المنتظم. وهتكون أطوالها متساوية. زي ما إحنا شايفين كده، تمّ تقسيم السُّداسي المنتظم إلى ست مثلثات. وبنلاقي إن المثلثات دي متطابقة. وده لأن كل المثلثات دي، ليها ضلعين، زيّ ما إحنا شايفين كده، لهم نفس الطول. وكمان لأن الضلع التالت لهذه المثلثات، هو عبارة عن أحد أضلاع هذا السُّداسي المنتظم، زيّ ما إحنا شايفين كده. يبقى فيه ضلعين متساويين لكل المثلثات. والضلع التالت متساوي أيضًا؛ لأنه ضلع السُّداسي المنتظم. فبنقول إن المثلثات دي جميعها متطابقة.

ونتيجة لأن هذه المثلثات متطابقة، فبنلاقي إن زواياها بتكون متساوية. فلو افترضنا إن الزاوية دي عبارة عن س. وهي الزاوية اللي رأسها عبارة عن مركز الدايرة، أو مركز هذا السُّداسي المنتظم. فجميع هذه الزوايا هي أيضًا س. ولأن قياس زاوية الدايرة تساوي تلتمية وستين درجة، فإحنا نقدر نحسب قيمة س كالآتي. يبقى ستة س هتساوي تلتمية وستين درجة. وده لأن قياس الزاوية الواحدة، من الست زوايا المتساوية دي، بيساوي س. يبقى قياسهم كلهم عبارة عن ستة في س تساوي تلتمية وستين درجة. يعني تساوي قياس زاوية الدايرة.

بعد كده هنعزل المتغيّر س، بقسمة الطرفين على ستة. يبقى س هتساوي تلتمية وستين درجة على ستة. بتساوي ستين درجة. بعد ما عرفنا قيمة س، دلوقتي هنحاول نوجد مساحة المثلث الواحد. ولأن الست مثلثات متطابقة، فهنضرب مساحة المثلث الواحد، في الست مثلثات. في الآخر مجموع هذه المساحات، هيكون عبارة عن مساحة الشكل السُّداسي. وعشان نقدر نوجد مساحة المثلث الواحد، فإحنا محتاجين طول ارتفاع المثلث، وطول قاعدته.

ولأن طول الخط المرسوم من مركز الدايرة، إلى راس السُّداسي المنتظم، هو عبارة عن ضلع داخل هذه المثلثات، طوله أربعتاشر. يبقى بالتالي طول ضلع المثلث الآخر ده أيضًا أربعتاشر. ومعلوم عندنا قيمة س. فدلوقتي نقدر نوجد مساحة المثلث الواحد كالتالي. مساحة المثلث الواحد هتساوي نص في طول الضلع الأول، اللي هو أربعتاشر، في طول الضلع الآخر، وهو أيضًا أربعتاشر. في جا الزاوية المحصورة ما بينهم، وهي س؛ يبقى جا ستين درجة. باستخدام الآلة الحاسبة، بنلاقي إن الناتج تقريبًا هيساوي أربعة وتمانين وسبعة وتمانين من مية. وبنكتب وحدة مربعة؛ لأنها مساحة.

بعد ما قدرنا نحسب مساحة المثلث الواحد، دلوقتي نقدر نحسب مساحة الشكل السُّداسي المنتظم كله. يبقى مساحة السُّداسي هتساوي ستة في مساحة المثلث الواحد. هتساوي ستة في أربعة وتمانين وسبعة وتمانين من مية. باستخدام الآلة الحاسبة، بنلاقي إن تقريبًا مساحة السُّداسي هتساوي خمسمية وتسعة وميتين تلاتة وعشرين من ألف وحدة مربعة.

الخطوة التالية هي حساب مساحة الدائرة. ولكن إحنا محتاجين نوجد نصف قطر الدايرة. ونصف قطر الدايرة هو عبارة عن الخط الواصل من مركز الدايرة، لأيّ نقطة على الدايرة. فلو رسمنا خط من مركز الدايرة، عمودي على قاعدة أحد هذه المثلثات. وفي نفس الوقت هو عبارة عن نق، لأنه خط واصل بين مركز الدايرة وبين نقطة بتقع على الدائرة. فباستخدام الدوال المثلثية، إحنا نقدر نوجد قيمة نق ده، اللي هو عبارة عن ارتفاع هذا المثلث القائم، المرسوم بداخله.

ولأن المثلث اللي إحنا بنشتغل داخله ده، مثلث متساوي الساقين. فبنلاقي إن قياس زاويتَي القاعدة متساوي. فلو افترضنا قياس هذه الزاوية عبارة عن أ. وقياس الزاوية الأخرى أيضًا عبارة عن أ. ولأن مجموع قياسات زوايا المثلث بتساوي مية وتمانين درجة، فبنلاقي إن أ زائد أ زائد س، تساوي مية وتمانين درجة. يبقى اتنين أ زائد ستين درجة، تساوي مية وتمانين درجة. بِعَزل المتغيّر أ، عن طريق طرح ستين درجة من الطرفين. يبقى اتنين أ هتساوي مية وعشرين درجة. بقسمة الطرفين على اتنين، بنلاقي إن أ هتساوي مية وعشرين درجة على اتنين. هتساوي ستين درجة.

ولو اشتغلنا عَ المثلث الصغير ده، بنلاقي إن جا أ بتساوي المقابل على الوتر. يبقى جا ستين درجة هتساوي … المقابل عندنا عبارة عن نق. والوتر عبارة عن أربعتاشر. باستخدام الضرب التبادلي، بنلاقي إن نق هيساوي أربعتاشر جا ستين درجة. باستخدام الآلة الحاسبة، بنلاقي إن نق تقريبًا هيساوي اتناشر ومية أربعة وعشرين من ألف.

بعد ما حسبنا قيمة نق، دلوقتي نقدر نحسب مساحة الدايرة. هنكمّل بعد كده في صفحة جديدة. بنكمّل في صفحة جديدة. وبنفتكر كده المطلوب منّنا، هو إيجاد مساحة الجزء المظلل. فقُلنا خلاص هنحسب مساحة السُّداسي المنتظم، زيّ ما شُفنا. وهنحسب مساحة الدايرة. وهنطرح مساحة السُّداسي، ناقص مساحة الدايرة. فالناتج هيكون عبارة عن مساحة الأجزاء المحصورة بين السُّداسي وبين الدايرة، زيّ ما إحنا شايفين كده. ومنها نقدر نحسب مساحة الأجزاء المظلّلة.

فدلوقتي هيتمّ إيجاد مساحة الدايرة كالآتي. مساحة الدايرة بتساوي 𝜋 نق تربيع. بالتعويض عن نق باتناشر ومية أربعة وعشرين من ألف. بنلاقي إن مساحة الدائرة تقريبًا هتساوي ربعمية واحد وستين وتمنمية وأربعتاشر من ألف وحدة مربعة. وزيّ ما قلنا في الأول، إن المناطق المحصورة بين الشكل السُّداسي وبين الدايرة، عددها ستة، وهي متطابقة. ولكن الأجزاء المظلّلة، عددها تلاتة فقط. يبقى مساحة الجزء المظلل فقط، عبارة عن إننا هنقسم مساحة السُّداسي ناقص مساحة الدايرة. والناتج هيقسم على اتنين. فبالتالي هيكون الناتج عبارة عن مساحة الجزء المظلل فقط.

يبقى مساحة الجزء المظلل هتساوي نص في، مساحة السُّداسي ناقص مساحة الدايرة. بالتعويض، يبقى نص في؛ خمسمية وتسعة وميتين تلاتة وعشرين من ألف، ناقص ربعمية واحد وستين وتمنمية وأربعتاشر من ألف. بالتقريب لأقرب جزء من عشرة، زيّ ما كان مذكور في السؤال. بنلاقي إن مساحة الجزء المظلل عبارة عن تلاتة وعشرين وسبعة من عشرة. يبقى النتيجة النهائية لمساحة الجزء المظلل، هتكون عبارة عن تلاتة وعشرين وسبعة من عشرة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.