نسخة الفيديو النصية
يمثل الشكل الموضح دائرة داخل شكل سداسي منتظم. أوجد المساحة الكلية للمناطق المظللة لأقرب جزء من عشرة.
في هذا السؤال، لدينا شكل. وفي هذا الشكل، توجد دائرة داخل شكل سداسي منتظم. علينا استخدام هذا الشكل في تحديد المساحة الكلية لجميع المناطق المظللة. وعلينا تقريب الإجابة لأقرب جزء من عشرة.
للإجابة عن هذا السؤال، دعونا نبدأ بالنظر إلى المناطق المظللة بالشكل لدينا. يمكننا ملاحظة أن المناطق المظللة هي جزء من المنطقة الواقعة بين الشكل السداسي والدائرة. إننا نعلم كيف نحسب مساحة المنطقة الواقعة بين الدائرة والشكل السداسي. علينا إيجاد مساحة الشكل السداسي، ثم طرح مساحة الدائرة منها. لكن بما أن هذا شكل سداسي منتظم والدائرة المرسومة داخله تمس أضلاعه، فإن كل هذه المناطق تكون متساوية في المساحة. إذن، بما أن ثلاثًا من المناطق الست لدينا مظللة، فعلينا الضرب في نصف. وومن ثم، فإن مساحة المنطقة المظللة تساوي نصفًا في مساحة الشكل السداسي ناقص مساحة الدائرة.
إذن، لإيجاد مساحة المنطقة المظللة، علينا إيجاد أمرين. علينا إيجاد مساحة الشكل السداسي ومساحة الدائرة. دعونا نبدأ بإيجاد مساحة الشكل السداسي. هناك عدة طرق لذلك. سنستخدم الصيغة الخاصة بإيجاد مساحة مضلع منتظم. لعلنا نتذكر أن مساحة المضلع المنتظم الذي عدد أضلاعه ﻥ وطول ضلعه ﺱ تعطى بواسطة ﻥﺱ تربيع على أربعة مضروبًا في ظتا ١٨٠ على ﻥ درجة.
إذن لإيجاد مساحة الشكل السداسي، علينا إيجاد قيمة ﻥ وقيمة ﺱ. وبالطبع، قيمة ﻥ هي عدد الأضلاع، وأي شكل سداسي له ستة أضلاع. إذن، قيمة ﻥ هي ستة. لكننا لا نعرف طول الضلع في الشكل السداسي الموجود لدينا. لذا، علينا إيجاده. هناك عدة طرق للقيام بذلك. وأسهل طريقة هي معرفة أن قياس الزاوية الداخلية في الشكل السداسي المنتظم يساوي ١٢٠ درجة. إذا قسمنا هذه الزاوية إلى نصفين بهذا الخط، فسنجد شيئًا مثيرًا للاهتمام.
بما أننا قسمنا زاوية قياسها ١٢٠ درجة إلى نصفين، فسيكون قياس الزاوية هنا ٦٠ درجة. وينطبق الأمر نفسه على الجانب الآخر. إننا نقسم الزاوية الداخلية للشكل السداسي المنتظم. قياس الزاوية هنا يساوي ٦٠ درجة أيضًا. إذن، قياس كل زاوية داخلية في هذا المثلث يساوي ٦٠ درجة. ومن ثم، نجد أن هذا مثلث متساوي الأضلاع. وفي المثلث المتساوي الأضلاع، تكون جميع الأطوال متساوية. إذن، طول الضلع في الشكل السداسي لا بد أن يساوي ١٤. وعليه، فإنه في صيغة حساب مساحة الشكل السداسي، تكون قيمة ﺱ هي ١٤.
الجدير بالذكر أن هذه ليست الطريقة الوحيدة التي كان بإمكاننا حساب هذه القيمة بها. لو لم نعلم أن قياس الزاوية الداخلية لشكل سداسي منتظم يساوي ١٢٠ درجة، لكان بإمكاننا رسم نفس المثلث لنجد أن اثنين من أضلاعه طول كل منهما يساوي ١٤. بعد ذلك، يمكننا رسم المثلثات المتطابقة الستة التالية. وسنلاحظ عندئذ أننا نقسم زاوية قياسها ٣٦٠ درجة إلى ستة أجزاء متساوية. إذن، نجد أن قياس الزاوية المحصورة بين الضلعين اللذين طول كل منهما ١٤ هو ٦٠ درجة.
إذن في هذا المثلث، عرفنا طولي ضلعين وقياس الزاوية المحصورة بينهما. ويمكننا الآن استخدام قانون جيوب التمام لإيجاد طول الضلع الآخر في المثلث. وهذا سيعطينا الإجابة ١٤. لكن هذه الطريقة أكثر تعقيدًا.
نحن الآن مستعدون لإيجاد مساحة الشكل السداسي. قيمة ﻥ لدينا هي ستة، وقيمة ﺱ هي ١٤. سنعوض بهاتين القيمتين إذن. ومن ثم، نجد أن مساحة الشكل السداسي تساوي ستة في ١٤ تربيع على أربعة في ظتا ١٨٠ على ستة درجة. ويمكننا إيجاد قيمة ذلك. لدينا أولًا ستة في ١٤ تربيع على أربعة يساوي ٢٩٤، و ١٨٠ مقسومًا على ستة يساوي ٣٠. ويمكن تبسيط ذلك ليصبح ٢٩٤ مضروبًا في ظتا ٣٠ درجة. ولحساب ذلك، علينا أن نتذكر أن الضرب في ظل تمام زاوية ما يكافئ القسمة على ظل هذه الزاوية. ومن ثم، يمكننا تبسيط ذلك لنحصل على ٢٩٤ مقسومًا على ظا ٣٠ درجة.
لكن ٣٠ درجة هي إحدى الزوايا الخاصة. إننا نعلم أن ظا ٣٠ درجة يساوي واحدًا على الجذر التربيعي لثلاثة. وبالطبع، القسمة على واحد على الجذر التربيعي لثلاثة تكافئ الضرب في الجذر التربيعي لثلاثة. إذن، يمكننا إيجاد القيمة الدقيقة لمساحة الشكل السداسي. إنها ٢٩٤ جذر ثلاثة وحدة مربعة.
والآن، لإيجاد المساحة الكلية للمناطق المظللة، علينا إيجاد مساحة الدائرة. ولإيجاد ذلك، سنسترجع أن مساحة دائرة نصف قطرها نق تعطى بواسطة 𝜋نق تربيع. إذن لإيجاد مساحة الدائرة، علينا إيجاد طول نصف قطرها. وأسهل طريقة لفعل ذلك هي رسم نصف القطر هذا في الشكل. هذا يعرف باسم «عامد المضلع المنتظم»، وله عدة خواص مفيدة جدًّا.
سنجد هنا أن الزوايا التي يكونها مع أضلاع الشكل السداسي هي زوايا قائمة. أي إن قياس كل منها يساوي ٩٠ درجة. ونجد بعد ذلك أنه ينصف الزاوية التي تقع عند مركز الدائرة. وبما أن قياسها يساوي ٦٠ درجة، فإن ٦٠ على اثنين يساوي ٣٠ درجة. وسينصف عامد المضلع المنتظم أضلاع الشكل السداسي أيضًا، ولكن هذه المعلومة ليست مهمة في الإجابة عن هذا السؤال. إننا نريد استخدام هذه المعطيات لإيجاد قيمة نصف القطر نق.
يمكننا ملاحظة أن نق هو ضلع في مثلث قائم الزاوية. إننا نعرف طول الوتر في هذا المثلث القائم الزاوية، ونعلم قياس الزاوية بين الوتر ونق. إذن، يمكننا إيجاد قيمة نق باستخدام حساب المثلثات. إننا نعلم أن جيب تمام الزاوية في المثلث القائم الزاوية يساوي طول الضلع المجاور لهذه الزاوية مقسومًا على طول الوتر. إذن في هذا المثلث، جتا ٣٠ درجة يساوي نق مقسومًا على ١٤. يمكننا إيجاد قيمة نق بضرب طرفي المعادلة في ١٤. مرة أخرى، ٣٠ درجة هي زاوية خاصة. وعليه، فإن جتا ٣٠ درجة يساوي الجذر التربيعي لثلاثة مقسومًا على اثنين. إذن، يمكننا إيجاد القيمة الدقيقة لـ نق. نق يساوي ١٤ مضروبًا في جذر ثلاثة على اثنين. و ١٤ على اثنين يساوي سبعة. إذن، نق يساوي سبعة جذر ثلاثة.
والآن بعد أن أوجدنا طول نصف قطر الدائرة، يمكننا استخدامه لإيجاد مساحة الدائرة. إنها تساوي 𝜋نق تربيع، وفي هذا السؤال يكون لدينا 𝜋 في سبعة جذر ثلاثة الكل تربيع. مرة أخرى، يمكننا إيجاد القيمة الدقيقة لمساحة الدائرة. سنبدأ بتوزيع التربيع على ما بين القوسين. وهذا يعطينا 𝜋 في سبعة تربيع مضروبًا في جذر ثلاثة تربيع. يمكننا التبسيط أكثر من ذلك. سبعة تربيع يساوي ٤٩، وجذر ثلاثة الكل تربيع يساوي ثلاثة. إذن نحصل على 𝜋 في ٤٩ في ثلاثة. و ٤٩ في ثلاثة يساوي ١٤٧. إذن، مساحة الدائرة تساوي ١٤٧𝜋 وحدة مربعة.
والآن بعد أن أوجدنا مساحة كل من الشكل السداسي والدائرة، يمكننا إيجاد المساحة الكلية للمناطق المظللة. تذكر أن هذا يساوي نصفًا مضروبًا في مساحة المضلع السداسي ناقص مساحة الدائرة. بالتعويض بقيمتي المساحة للشكل السداسي والدائرة، يصبح لدينا نصف مضروبًا في ٢٩٤ جذر ثلاثة ناقص ١٤٧𝜋. وإذا حسبنا ذلك، نحصل على ٢٣٫٧٠٤ وحدة مربعة مع توالي الأرقام.
لكن تذكر أن المطلوب في السؤال هو تقريب الإجابة لأقرب جزء من عشرة. لذا، علينا تقريب هذا. التقريب لأقرب جزء من عشرة يعني التقريب لأقرب منزلة عشرية. علينا التحقق من الخانة العشرية الثانية. الخانة العشرية الثانية في هذا العدد العشري بها صفر. إذن، علينا التقريب لأسفل. وهذا يعطينا ٢٣٫٧. من المفيد أن نستخدم وحدة قياس، وذلك على الرغم من أن هذا ليس ضروريًّا لأن هذه القيمة تمثل مساحة. وعليه، ستكون هذه القيمة بالوحدة المربعة.
إذن، في هذا السؤال، تمكنا من إيجاد المساحة الكلية للمناطق المظللة، التي تمثل جزءًا من المنطقة الواقعة بين الدائرة المرسومة داخل الشكل السداسي المنتظم والتي تمس أضلاعه، وهذا الشكل السداسي المنتظم. ولعمل ذلك، كان علينا استخدام حساب المثلثات والصيغة الخاصة بإيجاد مساحة شكل سداسي منتظم وصيغة حساب مساحة الدائرة. كما تمكنا من توضيح أن مساحة هذه المنطقة لأقرب جزء من عشرة تساوي ٢٣٫٧ وحدة مربعة.
