فيديو السؤال: استخدام متطابقات مجموع زاويتين والفرق بينهما لحل معادلات مثلثية تتضمن زوايا خاصة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد مجموعة حل المعادلة ‪tan 𝑥‬‏ زائد ‪tan‬‏ سبع درجات زائد ‪tan 𝑥‬‏ مضروبًا في ‪tan‬‏ سبع درجات يساوي واحدًا؛ حيث ‪𝑥‬‏ أكبر من صفر درجة وأقل من 360 درجة.

في هذا السؤال، نريد حل معادلة مثلثية تتضمن دالة الظل، وإيجاد جميع الحلول التي تقع بين صفر درجة و360 درجة. قد لا يكون واضحًا على الفور من أين نبدأ. ولكن من الجدير هنا تذكر بعض المتطابقات المثلثية لمعرفة إذا ما كان هذا سيساعدنا.

نتذكر أن ‪tan 𝐴‬‏ زائد ‪𝐵‬‏ يساوي ‪tan 𝐴‬‏ زائد ‪tan 𝐵‬‏ على واحد ناقص ‪tan 𝐴‬‏ مضروبًا في ‪tan 𝐵‬‏. لذا سنبدأ بمحاولة إعادة كتابة المعادلة التي لدينا على هذه الصورة؛ حيث ‪𝐴‬‏ يساوي ‪𝑥‬‏، في حين ‪𝐵‬‏ يساوي سبع درجات. بطرح ‪tan 𝑥 tan‬‏ سبع درجات من طرفي المعادلة، نحصل على ‪tan 𝑥‬‏ زائد ‪tan‬‏ سبع درجات يساوي واحدًا ناقص ‪tan 𝑥‬‏ مضروبًا في ‪tan‬‏ سبع درجات. يمكننا بعد ذلك قسمة طرفي المعادلة على واحد ناقص ‪tan 𝑥 tan‬‏ سبع درجات كما هو موضح. بتبسيط الطرف الأيمن، نحصل على واحد. والطرف الأيسر مكتوب الآن على نفس صورة المتطابقة التي ذكرناها سابقًا. هذا يعني أن ‪tan 𝑥‬‏ زائد سبع درجات يساوي واحدًا.

بتذكر الزوايا الخاصة، نعرف أن tan 45 درجة يساوي واحدًا. وبما أن ‪tan 𝜃‬‏ زائد 180 درجة يساوي ‪tan 𝜃‬‏، فإن tan 45 درجة زائد 180 درجة يساوي واحدًا. وعليه، فإن tan 225 درجة يساوي واحدًا. يمكننا أيضًا التوصل إلى ذلك بناء على معرفتنا بمخطط الإشارات للدوال المثلثية ودائرة الوحدة؛ حيث تكون دالة الظل موجبة في الربعين الأول والثالث.

ومن ثم يصبح لدينا حلان لقيمة ‪𝑥‬‏ بين صفر و360 درجة. إما ‪𝑥‬‏ زائد سبع درجات يساوي 45 درجة، وإما ‪𝑥‬‏ زائد سبع درجات يساوي 225 درجة. بطرح سبع درجات من طرفي كل معادلة من المعادلتين، يصبح لدينا ‪𝑥‬‏ يساوي 38 درجة أو 218 درجة. مجموعة حل المعادلة ‪tan 𝑥‬‏ زائد ‪tan‬‏ سبع درجات زائد ‪tan 𝑥‬‏ مضروبًا في ‪tan‬‏ سبع درجات يساوي واحدًا؛ حيث ‪𝑥‬‏ أكبر من صفر درجة وأقل من 360 درجة، هي 38 درجة و218 درجة.