فيديو السؤال: استخدام مجموع متسلسلة ثابتة لتحديد عدد الحدود في المتسلسلة الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان المجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﺭ يساوي ثلاثة، فأوجد قيمة ﻥ.

لنبدأ بتذكر ما يعنيه هذا الرمز. بصفة عامة، يشير المجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﺡﺭ إلى مجموع المتسلسلة التي حدها العام ﺡﺭ، والذي يمثل دالة في متغير ﺭ. إذا كان دليل البدء يساوي واحدًا، ودليل النهاية هو ﻥ، فإننا نجمع ﺡ واحد وﺡ اثنين وﺡ ثلاثة، وهكذا وصولًا إلى ﺡﻥ. وفي هذا السؤال، ﺡﺭ يساوي ﺭ فقط، ومن ثم نجمع الدليل نفسه.

المجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﺭ يساوي واحدًا زائد اثنين زائد ثلاثة وصولًا إلى عدد ﻥ من الحدود. نعلم من المعطيات أن هذا المجموع يساوي ثلاثة. ومن ثم، يمكننا الإجابة عن هذا السؤال باستخدام التجربة والخطأ عن طريق جمع الأعداد الصحيحة بدءًا من واحد حتى نحصل على ثلاثة. إذا كان ﻥ يساوي واحدًا، فسيكون لدينا المجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى واحد لـ ﺭ، وهو ما يساوي واحدًا ببساطة. أما إذا كان ﻥ يساوي اثنين، فسيكون لدينا المجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى اثنين لـ ﺭ، وهو ما يساوي واحدًا زائد اثنين. وبالطبع، هذا يساوي ثلاثة، وهو المجموع الذي نبحث عنه. إذن يمكن أن ننتهي من الحل هنا.

قيمة ﻥ التي يكون عندها المجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﺭ يساوي ثلاثة هي اثنان.

لكن هناك طريقة بديلة للإجابة عن هذا السؤال، وهي تذكر النتيجة القياسية التي تنص على أن المجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﺭ يساوي ﻥ مضروبًا في ﻥ زائد واحد على اثنين. نريد أن يساوي هذا المجموع ثلاثة. وهكذا يمكننا تكوين معادلة بدلالة ﻥ. ﻥ مضروبًا في ﻥ زائد واحد على اثنين يساوي ثلاثة. ولإيجاد قيمة ﻥ، سنبدأ بضرب طرفي المعادلة في اثنين، وهو ما يعطينا ﻥ مضروبًا في ﻥ زائد واحد يساوي ستة. بعد ذلك، نوزع القوسين الموجودين في الطرف الأيمن، لنحصل على ﻥ تربيع زائد ﻥ يساوي ستة، ثم نطرح ستة من طرفي المعادلة لنحصل على ﻥ تربيع زائد ﻥ ناقص ستة يساوي صفرًا.

لدينا معادلة تربيعية بدلالة ﻥ يمكن حلها عن طريق التحليل. والصورة التحليلية لهذه المعادلة التربيعية هي ﻥ زائد ثلاثة مضروبًا في ﻥ ناقص اثنين يساوي صفرًا. ومن ثم، إما أن ﻥ زائد ثلاثة يساوي صفرًا، وإما أن ﻥ ناقص اثنين يساوي صفرًا. لحل أول معادلة من هاتين المعادلتين، نطرح ثلاثة من كلا الطرفين، ما يعطينا ﻥ يساوي سالب ثلاثة. ولحل المعادلة الثانية، نضيف اثنين إلى كلا الطرفين، ما يعطينا ﻥ يساوي اثنين. هذان الحلان صحيحان لهذه المعادلة التربيعية، لكننا نتذكر أن ﻥ يمثل عددًا صحيحًا أكبر من أو يساوي واحدًا. ومن ثم، فإن سالب ثلاثة قيمة غير ممكنة لـ ﻥ هنا. لذا، قيمة ﻥ تساوي اثنين.

إذن، باستخدام التجربة والخطأ والنتيجة القياسية للمجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﺭ، أوجدنا أنه إذا كان المجموع من ﺭ يساوي واحدًا إلى ﻥ لـ ﺭ يساوي ثلاثة، فإن قيمة ﻥ تساوي اثنين.