تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: العلاقات والدوال الخطّية

نهال عصمت

يوضح الفيديو الفرق بين العلاقات الخطّية، وغير الخطّية، والصورة العامة، والقياسية للمعادلة الخطّية، وتمثيل المعادلة الخطّية بيانيًّا باستخدام المقطع السيني والصادي.

١٣:٣٨

‏نسخة الفيديو النصية

العلاقات والدوال الخطّية.

هنتكلّم عن العلاقات والدوال الخطّية. وهنعرف الفرق بين العلاقات الخطّية والعلاقات الغير خطّية. وهنتكلّم عن الصورة العامة للمعادلة الخطّية، والصورة القياسية للمعادلة الخطّية. وهنعرف إزّاي نقدر نمثّل المعادلة الخطّية بيانيًّا باستخدام المقطع السيني والمقطع الصادي.

في البداية، العلاقات التي تمثَّل بيانيًّا بخطّ مستقيم بالشكل الآتي تُسمَّى علاقات خطّية. ولكن العلاقات التي لا تمثَّل بيانيًّا بخطّ مستقيم، في الحالة دي نقدر نسمّيها علاقات غير خطّية. بمعنى لو عندنا المعادلة: س زائد ص تساوي خمسة، نقدر نقول على المعادلة دي: إنها معادلة خطّية. لأن فيه مجموعة شروط للمعادلة الخطّية. وهي إن المعادلة الخطّية يمكن أن تحتوي فقط على عملية حسابية، زيّ الجمع أو الطرح أو الضرب. يعني لو عندنا متغيّر زيّ س، ممكن نجمع عليه، أو نطرح منه، أو نضرب فيه عدد ثابت، زيّ خمسة. وفي الحالة دي، هيساوي متغيّر آخر، زيّ ص مثلًا. في الحالة دي، نقدر نقول على المعادلة دي: إنها معادلة خطّية.

ومن شروط المعادلات الخطّية أيضًا: إن المتغيّرات في المعادلة الخطّية ما ينفعش تكون مضروبة في بعض. يعني ما ينفعش يبقى عندنا متغيّر زيّ س مضروب في متغيّر آخر زيّ ص، يساوي خمسة. وما ينفعش كمان يبقى عندنا متغيّر في المقام. يعني ما ينفعش يبقى عندنا واحد على س تساوي ص. في الحالة دي هنسمِّي المعادلات إنها معادلات غير خطّية. والمتغيّرات في المعادلة الخطّية أيضًا لازم تبقى مرفوعة لأُس واحد فقط. يعني عندنا المعادلة س زائد ص تساوي خمسة، هنلاقي إن س مرفوعة لأُس واحد، وإن ص مرفوعة لأُس واحد. ففي الحالة دي نقدر نقول على المعادلة: إنها معادلة خطّية. وعند تمثيل المعادلة الخطّية بيانيًّا، دائمًا تكون خطّ مستقيم، زيّ الشكل الموضَّح قدامنا.

هنبدأ نجيب صفحة جديدة، وهنتكلّم عن المعادلة الخطّية بصيغة الميل والمقطع. المعادلة الخطّية ممكن نكتبها بصيغة الميل والمقطع. وهي: د س تساوي م س زائد ب، حيث م هي الميل، وَ ب هي المقطع الصادي، أو الجزء المقطوع من محور الصادات. يبقى لو عندنا معادلة مكتوبة بصيغة الميل والمقطع، نقدر في الحالة دي نقول على المعادلة: إنها معادلة خطّية.

وبالتالي بعد ما اتعرّفنا على شروط المعادلة الخطّية، هنبدأ نجيب صفحة جديدة، ونشوف أمثلة على المعادلات الخطّية. عندنا مجموعة من المعادلات كالآتي. وعايزين نعرف هل هي معادلات خطّية أم لا، ولماذا.

هنبدأ نبصّ على أول معادلة، وهي: د س تساوي تمنية ناقص، تلاتة على أربعة مضروبة في س. هنبدأ نكتبها بصيغة الميل والمقطع. هنلاقي إن د س هتساوي سالب تلاتة على أربعة مضروبة في س، زائد تمنية. يبقى كده كتبنا المعادلة بصيغة الميل والمقطع. في الحالة دي، نقدر نقول على المعادلة: إنها معادلة خطّية.

نبدأ نشوف المعادلة التانية، وهي: د س تساوي اتنين على س. هنلاحظ إن عندنا متغيّر س موجود في المقام. ومن شروط المعادلة الخطّية إن ما يبقاش عندنا أيّ متغيّرات موجودة في المقام. في الحالة دي، نقدر نقول على المعادلة: إنها معادلة غير خطّية.

نبدأ نبصّ على آخر معادلة موجودة عندنا، وهي د س وَ ص تساوي تلاتة س في ص، ناقص أربعة. هنلاحظ في المعادلة إن عندنا متغيّرين مضروبين في بعض، وهو س وَ ص. ومن شروط المعادلة الخطّية إن ما ينفعش يبقى عندنا متغيّرين مضروبين في بعض. في الحالة دي نقدر نقول على المعادلة: إنها معادلة غير خطّية. يبقى كده عرفنا الفرق بين المعادلات الخطّية والمعادلات الغير خطّية.

هنبدأ نجيب صفحة جديدة، ونشوف مثال من الواقع على المعادلات الخطّية. لو عندنا معدَّل نموّ عيّنة من إحدى النباتات مُعطى بالدالة: د س تساوي أربعتاشر وتسعة من عشرة س، زائد تمنية وخمسة وعشرين من مية. حيث د س هي الطول الكلّي بالسنتيمتر في س من الأيام بعد القياسات الأولية. المطلوب: أوجد طول العيّنة بعد تلات أيام.

عندنا الدالة هي: د س تساوي أربعتاشر وتسعة من عشرة س، زائد تمنية وخمسة وعشرين من مية. هنبدأ نشيل كل س موجودة في المعادلة، وهنكتب بدالها تلاتة. يبقى هنعوّض عن كل س بتلاتة. يبقى عندنا د تلاتة هتساوي أربعتاشر وتسعة من عشرة في تلاتة، زائد تمنية وخمسة وعشرين من مية. وبالتالي د تلاتة هتساوي أربعة وأربعين وسبعة من عشرة، زائد … تمنية وخمسة وعشرين من مية هتنزل زيّ ما هي. وبالتالي د تلاتة هتساوي اتنين وخمسين وخمسة وتسعين من مية سنتيمتر. وبكده قدرنا نحسب طول العيّنة بعد تلات أيام.

بعد كده هنبدأ نجيب صفحة جديدة، وهنتكلّم عن الصورة القياسية للمعادلة الخطّية. وهي: أ س زائد ب ص تساوي ج. حيث أ أكبر من أو تساوي الصفر، وَ أ وَ ب لا يساوي صفر معًا. وإن أ وَ ب وَ ج هي عبارة عن أعداد صحيحة، والعامل المشترك الأكبر لها تساوي واحد.

هنبدأ نشوف مثال على الصورة القياسية للمعادلة الخطّية. لو عندنا المعادلة: سالب تلاتة على عشرة مضروبة في س تساوي تمنية ص ناقص خمستاشر. عايزين نكتب المعادلة على الصورة القياسية للمعادلة الخطّية.

في البداية، هنبدأ نطرح تمنية ص من طرفَي المعادلة. هيبقى عندنا سالب تلاتة على عشرة مضروبة في س ناقص تمنية ص، هتساوي سالب خمستاشر. بعد كده هنبدأ نضرب طرفَي المعادلة في سالب عشرة. هيبقى عندنا تلاتة س زائد تمانين ص تساوي مية وخمسين. بعد كده هنحدّد قيم أ وَ ب وَ ج. عندنا أ هتساوي تلاتة، وَ ب هتساوي تمانين. أمَّا ج، هتساوي مية وخمسين. يبقى كده عرفنا الصورة القياسية للمعادلة الخطّية، وشُفنا مثال عليها.

بعد كده هنجيب صفحة جديدة، وهنتكلّم إزّاي نمثّل خطّ مستقيم بيانيًّا باستخدام المقطع السيني والمقطع الصادي. في البداية، المقطع السيني هو الإحداثي السيني للنقطة التي يقطع فيها المستقيم محور السينات. أمَّا المقطع الصادي، فهو الإحداثي الصادي للنقطة التي يقطع فيها المستقيم محور الصادات.

هنبدأ نجيب صفحة جديدة، ونشوف مثال على إيجاد المقطع السيني والمقطع الصادي. لو عندنا المعادلة: اتنين س، ناقص تلاتة ص، زائد تمنية تساوي صفر. عايزين نوجد المقطع السيني والمقطع الصادي للمعادلة. بعد كده عايزين نمثّل المعادلة بيانيًّا.

أول حاجة، عايزين نوجد المقطع السيني. يعني هنعوّض في المعادلة عن ص تساوي صفر. يعني هنشيل كل ص ونحطّ بدالها صفر. عندنا المعادلة هي: اتنين س، ناقص تلاتة ص، زائد تمنية تساوي صفر. هنشيل كل ص ونحطّ بدالها صفر. هيبقى عندنا اتنين س، ناقص تلاتة في صفر، زائد تمنية هيساوي صفر. وبالتالي اتنين س زائد تمنية هتساوي صفر. هنقسم طرفَي المعادلة على اتنين، هيبقى عندنا س زائد أربعة تساوي صفر. وبالتالي س هتساوي سالب أربعة. يبقى نقدر نقول: إن المقطع السيني يساوي سالب أربعة.

بعد ما جِبنا المقطع السيني، عايزين نوجد المقطع الصادي. يعني هنشيل كل س في المعادلة ونعوّض عنها بصفر. عندنا المعادلة هي اتنين س، ناقص تلاتة ص، زائد تمنية تساوي صفر. هنشيل كل س، ونعوّض عنها بصفر. يبقى اتنين في صفر، ناقص تلاتة ص، زائد تمنية تساوي صفر. وبالتالي سالب تلاتة ص زائد تمنية هتساوي صفر. بعد كده هنطرح تمنية من طرفَي المعادلة. هيبقى عندنا سالب تلاتة ص تساوي سالب تمنية. بعد كده هنقسم طرفَي المعادلة على سالب تلاتة. هيبقى عندنا ص تساوي تمنية على تلاتة. وبالتالي نقدر نقول: إن المقطع الصادي يساوي تمنية على تلاتة. يبقى كده قدرنا نوجد المقطع السيني، وهو سالب أربعة. وقدرنا نوجد المقطع الصادي، وهو تمنية على تلاتة.

عايزين نستخدم المقطع السيني والمقطع الصادي في التمثيل البياني للمعادلة. هنبدأ نرسم المستوى الإحداثي بالشكل الآتي: قدرنا نوجد المقطع السيني وهو سالب أربعة. يبقى المستقيم يقطع محور السينات عند النقطة سالب أربعة وصفر. وقدرنا نوجد المقطع الصادي، وهو تمنية على تلاتة. يبقى المستقيم يقطع محور الصادات عند النقطة صفر وتمنية على تلاتة. بعد كده هنصل بين النقطتين بخطّ مستقيم بالشكل الآتي. يبقى كده قدرنا نمثّل المعادلة باستخدام المقطع الصادي والمقطع السيني.

وبكده اتكلّمنا عن العلاقات والدوال الخطّية. وعرفنا الفرق بين العلاقات الخطّية والعلاقات الغير خطّية. واتكلّمنا عن الصورة العامة للمعادلة الخطّية، والصورة القياسية للمعادلة الخطّية. وعرفنا إزّاي نقدر نمثِّل المعادلة الخطّية بيانيًّا باستخدام المقطع السيني والمقطع الصادي.