فيديو: قاعدة مشتقّة القسمة

سوزان فائق

يوضح الفيديو قاعدة اشتقاق قسمة دالتين، وأمثلة توضيحية.

١١:١١

‏نسخة الفيديو النصية

في الفيديو ده، هنتكلّم على قاعدة مشتقّة القسمة.

هنعرف يعني إيه مشتقّة الدالة. ويعني إيه اشتقاق. وإزَّاي بنستخدم القواعد الأساسية للاشتقاق للدالة. وإيه هي قاعدة مشتقّة القسمة. أول حاجة، مشتقّة الدالة هي ميل المماس لمنحنى الدالة د س عند أيّ نقطة عليه. وبيُرمز لها بالرمز د شرطة س. حيث أن د شرطة س بتساوي نهاية د س زائد هـ، ناقص د س، على هـ، لمَّا الـ هـ بتئول للصفر، بشرط وجود هذه النهاية. والاشتقاق هو عملية إيجاد المشتقّة للدالة. وبتسمَّى النتيجة معادلة تفاضلية.

طيب هل كل مرة، علشان نحسب مشتقّة الدالة، هنجيب النهاية بالشكل ده؟ لأة، فيه قواعد أسهل بتسهّل لينا الحلّ، اسمها القواعد الأساسية للاشتقاق. فيه قاعدة مشتقّة دالة القوى، ومشتقّة الثابت، ومشتقة مضاعفات القوى، ومشتقّة المجموع والفرق، وفيه قاعدة مشتقّة الضرب.

قاعدة مشتقّة دالة القوى: لو كانت د س بتساوي س أُس ن، حيث ن عدد حقيقي، فإن الـ د شرطة س بتساوي … الـ ن، بننزّل الأُس، وبنضرب في س أُس … ن ننقّص منها واحد. وبعدين مشتقّة الثابت: إذا كانت دالة س بتساوي ل، حيث ل عدد ثابت، فإن د شرطة س بتساوي صفر. مشتقّة مضاعفات القوى: إذا كانت د س بتساوي ل في س أُس ن، حيث الـ ل عدد ثابت، والـ ن عدد حقيقي، فإن د شرطة س بتساوي ل في الـ ن في س أُس، ن ناقص الواحد. مشتقّة المجموع والفرق: إذا كانت ك س بتساوي د س زائد أو ناقص ر س، بنجيب المشتقّة للـ د س، وبنجمعها أو نطرحها من مشتقّة الـ ر س. طيب هل في القسمة بنجيب مشتقّة كل واحدة فيهم ونقسمهم؟ مشتقّة قسمة دالتين ليس بالضرورة تساوي نتيجة قسمة مشتقتَي الدالتين.

ناخد مثال، ونشوف. في المثال: إذا كانت د س بتساوي س، وَ ر س بتساوي تلاتة س أُس تلاتة. عايزين نشوف هل ر شرطة س على د شرطة س هي هيّاها لمَّا نفاضل ر س على د س.

يعني ناخد ده كلّه نقسمه على بعض. وبعدين نجيب له التفاضل، اللي هي د على د س. هل القيمتين دول متساويتين؟ ده اللي إحنا هنشوفه في المثال ده. الـ ر شرطة س لمَّا هنشتقّها هتساوي تسعة س تربيع. والـ د س لمَّا هنشتقّها هتبقى واحد. يبقى معنى كده إن ر شرطة س على د شرطة س هتساوي تسعة س تربيع. هنجيب قيمة ر س على د س، هتساوي تلاتة س تكعيب على س. يعني هتساوي تلاتة س تربيع.

هنوجد مشتقّة التلاتة س تربيع، اللي هو د على د س لتلاتة س تربيع. هتساوي … تلاتة س تربيع هننزّل الأُس، اللي هو الاتنين، وهننقّص الأُس واحد، هيبقى س أُس، اتنين ناقص الواحد. يعني الكلام ده هيساوي ستة س. طبعًا واضح إن القيمة دي لا تساوي القيمة دي. يبقى معنى كده إن مشتقّة قسمة دالتين لا يساوي ناتج قسمة مشتقتَي الدالتين. وعلشان كده فيه قاعدة اسمها مشتقّة القسمة، اللي هنقلب الصفحة ونشوفها.

إذا كانت كلّ من الدالتين د وَ ر موجودة عند س. وكان ر س لا تساوي صفر. فإن د على د ص لِـ د س على ر س بتساوي د شرطة س في ر س، ناقص ر شرطة س في د س؛ على ر س الكل تربيع. يعني المشتقّة لمَّا بتكون فيه دالتين مقسومين على بعض، بتبقى مشتقّة البسط في المقام ناقص، مشتقّة المقام في البسط، على المقام تربيع. يعني مشتقّة البسط هي اللي بتيجي الأول، وبعدين نضربها في المقام، ناقص … مشتقّة المقام بتيجي بعد علامة الطرح، وبنضربها في قيمة البسط. والمقام بنربّعه، ونقسم عليه.

نقلب الصفحة، ونشوف إزَّاي هنطبّق قاعدة مشتقّة القسمة. اوجد مشتقّة ما يأتي: ك س بتساوي خمسة س تربيع ناقص تلاتة على، س تربيع ناقص ستة.

هنعتبر إن البسط ده دالة د س، والمقام ر س. وعشان نحسب ك شرطة س، هنستخدم قاعدة مشتقّة القسمة، اللي هي هتساوي مشتقّة البسط مضروبة في المقام ناقص، مشتقّة المقام مضروبة في البسط، على المقام تربيع. يبقى عايزين نحسب مشتقّة البسط، اللي هي د شرطة س. هتساوي … تفاضل خمسة س تربيع ناقص تلاتة، اللي هي هتساوي … باستخدام قواعد الاشتقاق، خمسة س تربيع دي مضاعفات القوى. بنطرح منها تلاتة، اللي هو عدد ثابت. يبقى هتساوي خمسة في … هننزّل الأُس، الـ س تربيع هيبقى اتنين، في س أُس، اتنين ناقص الواحد هننقّص منه واحد، ناقص … التلاتة ده عدد ثابت مشتقّته تساوي صفر. يبقى د شرطة س بتساوي عشرة س.

هنجيب كمان مشتقّة ر س. يعني هنجيب د على د س للدالة: س تربيع ناقص ستة هتساوي … باستخدام قاعدة مضاعفات القوى. وهنا المعامل واحد، يبقى واحد في … س تربيع هننزّل الأُس، اللي هو اتنين، وهنضرب في س أُس، اتنين ناقص الواحد. ده الحدّ الأول. ناقص … الستة لمَّا هنفاضلها هتبقى صفر. يبقى هيساوي اتنين س. هنعوّض بالقيم عشان نجيب ك شرطة س. يبقى ك شرطة س هتساوي عشرة س في … الـ ر س قيمتها س تربيع ناقص ستة، ناقص ر شرطة س، اللي هي اتنين س، وهنضربها في … د س خمسة س تربيع ناقص تلاتة على، الـ ر س، اللي هي س تربيع ناقص ستة الكل تربيع.

نستخدم خاصية التوزيع في البسط. يبقى عشرة س في س تربيع، عشرة س تكعيب ناقص ستين س، ناقص … اتنين س في خمسة س تربيع، يعني عشرة س تكعيب. ناقص في ناقص بموجب ستة س على، س تربيع ناقص ستة الكل تربيع. هنبسّط البسط، هيتبقّى عندنا سالب أربعة وخمسين س على، س تربيع ناقص ستة الكل تربيع. هنا مش من الضروري فكّ أقواس المقام؛ لأنها مش هينتج عنها تبسيط أكتر من كده.

نقلب الصفحة، وناخد مثال كمان. اوجد مشتقّة ما يأتي: ك س بتساوي س تربيع زائد تمنية على، س تكعيب ناقص اتنين.

هنفترض إن د س بتساوي س تربيع زائد تمنية، وَ ر س هتساوي س تكعيب ناقص اتنين. وبعد كده هنجيب مشتقّة البسط ومشتقّة المقام. ونعوّض في القانون: ك شرطة س بتساوي مشتقّة البسط في المقام، ناقص مشتقّة المقام في البسط، على المقام تربيع. نفس الصيغة اللي فاتت، بس كتبناها بالمصطلحات.

بعد كده هنحسب مشتقّة البسط، اللي هي د شرطة س، هتساوي … لمَّا هنشتقّ س تربيع زائد تمنية باستخدام القواعد الأساسية للاشتقاق، يبقى الـ س تربيع دي دالة قوى، هتبقى اتنين س. وهننقّص الأُس واحد. زائد … التمنية اشتقاقها هيساوي صفر، يبقى د شرطة س هتساوي اتنين س. وبعد كده ر شرطة س، اللي هي س تكعيب ناقص اتنين، هنشتقّها هتبقى تلاتة س تربيع زائد صفر. يبقى ر شرطة س هتساوي تلاتة س تربيع.

بعد كده هنعوّض في ك شرطة س. مشتقّة البسط، اللي هي اتنين س، في … المقام س تكعيب ناقص اتنين، ناقص … مشتقّة المقام تلاتة س تربيع، في … البسط س تربيع زائد تمنية. على المقام تربيع، يعني س تكعيب ناقص اتنين الكل تربيع. هنفكّ الأقواس ونبسّط. هتساوي سالب س أُس أربعة، ناقص أربعة وعشرين س تربيع، ناقص أربعة س على، س تكعيب ناقص اتنين الكل تربيع. في قاعدة مشتقّة القسمة يُعدّ تبسيط الناتج مهمًّا في بعض المسائل. ولكن ليس من الضروري فكّ أقواس المقام ما لم ينتج عن ذلك تبسيط أكتر. وطبعًا هنا عشان مش هينفع يبقى فيه تبسيط أكتر، فما فكّيناش أقواس المقام.

اتكلّمنا في الفيديو ده عن إيه هي مشتقّة الدالة. وإيه هي قاعدة مشتقّة القسمة. وإزَّاي بنستخدم القواعد الأساسية للاشتقاق لإيجاد اشتقاق الدالة.

تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.