نسخة الفيديو النصية
ﺃﺏ سلم وزنه ٣٤ ثقل كيلوجرامًا وطوله ١٤ مترًا، ويرتكز في مستوى رأسي بطرفه ﺏ على أرض ملساء وبطرفه ﺃ على حائط رأسي أملس. ربط الطرف ﺏ، الذي يبعد ٣٫٣ أمتار عن الحائط، بخيط عند نقطة على الأرض أسفل ﺃ مباشرة. إذا كان وزن السلم يؤثر على السلم نفسه عند نقطة تبعد ٥٫٦ أمتار عن ﺏ، فأوجد مقدار الشد في الخيط عندما يقف رجل وزنه ٧٤ ثقل كيلوجرامًا عند نقطة منتصف السلم.
قبل البدء في الإجابة عن هذا السؤال، لنرسم هذا السيناريو. هذا هو السلم الذي يرتكز بأحد طرفيه على الأرض الملساء وبالطرف الآخر على الحائط. نعلم من المعطيات أن الطرف ﺏ يبعد ٣٫٣ أمتار عن الحائط. وهو هنا مربوط بخيط. سنضيف القوة التي تبقي النقطة ﺏ في مكانها. القوة التي تبقيها في مكانها هي الشد في الخيط. لنضف أي قوى أخرى يمكننا إيجادها.
نعلم من المعطيات أن وزن السلم يؤثر على السلم نفسه عند نقطة تبعد ٥٫٦ أمتار عن ﺏ. إذن، لدينا قوة قيمتها ٣٤ ثقل كيلوجرامًا تؤثر لأسفل عند هذه النقطة. علمنا بعد ذلك أن رجلًا وزنه ٧٤ ثقل كيلوجرامًا يقف عند نقطة منتصف السلم. إذن هذه هي النقطة التي تبعد سبعة أمتار عن ﺏ. تذكر أن طول السلم ١٤ مترًا.
توجد قوتان أخريان يمكننا إضافتهما إلى المخطط. إنهما قوتا رد فعل السلم على الحائط وعلى الأرض. وهما تؤثران تأثيرًا عموديًا على السطح الذي يرتكز عليه السلم. لنسم قوة رد الفعل عند النقطة ﺃ بـ ﺭﺃ، وقوة رد الفعل عند النقطة ﺏ بـ ﺭﺏ. لقد علمنا أن الأرض ملساء وكذلك الحائط. هذا يعني أنه لا توجد قوى أخرى مثل الاحتكاك، على سبيل المثال. كيف سنجيب عن هذا السؤال إذن؟
حسنًا، سنبدأ بتحليل القوى في الاتجاهين الرأسي والأفقي. وبعد ذلك سنتناول العزوم المؤثرة على السلم. لنبدأ بدراسة القوى المؤثرة في الاتجاه الرأسي. الآن، السلم في حالة اتزان، فهو لا يتحرك. لذا يمكننا القول إن مجموع القوى المؤثرة في الاتجاه الرأسي، لنطلق عليها اسم ﻕﺹ، يساوي صفرًا. إذن، ما هي القوى التي تعمل بالتأثير في الاتجاه الرأسي؟
لدينا قوة رد فعل تؤثر لأعلى. لنفترض أنها موجبة. ولدينا قوتا وزن السلم ووزن الرجل في اتجاه الأسفل. لذا فمقدارهما سالب ٣٤ وسالب ٧٤ ثقل كيلوجرامًا. وهذا بالطبع يساوي صفرًا. هذا هو مجموع كل القوى في الاتجاه الرأسي. سالب ٣٤ ناقص ٧٤ يساوي سالب ١٠٨. ستصبح المعادلة إذن ﺭﺏ ناقص ١٠٨ يساوي صفرًا. سنوجد بعد ذلك قيمة ﺭﺏ بإضافة ١٠٨ إلى كلا الطرفين. وسنرى أن ﺭﺏ، أي قوة رد فعل الأرض على السلم، تساوي ١٠٨ أو ١٠٨ ثقل كيلوجرامات.
ربما تكون معتادًا على القياس بالنيوتن بدلًا من الثقل كيلوجرام. لكن لا داعي للقلق. فالثقل كيلوجرام يعرف بأنه القوة اللازمة لتسارع كيلوجرام واحد من كتلة بنحو ٩٫٨ أمتار لكل ثانية مربعة. أي إنه مجرد طريقة أخرى لقياس قوة ما. وما دمنا نستخدم الوحدة ذاتها طوال الإجابة عن هذا السؤال، فلا يوجد أي مشكلة في استخدام الثقل كيلوجرام كوحدة قياس للقوة.
لنر الآن ما يحدث في الاتجاه الأفقي. مرة أخرى، السلم في حالة اتزان. لذا يمكننا القول إن مجموع كل القوى المؤثرة في هذا الاتجاه، سنطلق عليها اسم ﻕﺱ، يساوي صفرًا. إذن، ما هي القوى المؤثرة في هذا الاتجاه؟
يوجد لدينا الشد لليمين. لنقل إن هذا الاتجاه هو الاتجاه الموجب. بعد ذلك، لدينا قوة رد الفعل عند ﺃ ﺭﺃ، التي تؤثر في الاتجاه المعاكس. وبذلك، فإن مجموع القوى في الاتجاه الأفقي هو ﺵ ناقص ﺭﺃ، وهو ما يساوي صفرًا. يمكننا إذن القول إنه بإضافة ﺭﺃ إلى كلا الطرفين، سيساوي مقدار الشد قوة رد الفعل هذه.
لا نعرف بعد مقدار قوة رد الفعل هذه. إذن لا يمكننا حساب مقدار الشد بعد. سنضيف هذه المعلومة بجانب المخطط الموضح أمامنا. في الخطوة التالية، سنخلي بعض المساحة ونفكر في العزوم. لكن قبل أن نفعل ذلك، لنوجد قياس الزاوية المحصورة. إنها الزاوية التي يكونها السلم مع الأرض. لقد أسميتها 𝜃.
وبما أن الحائط رأسي، يمكننا القول إن السلم والحائط والأرض يكونون مثلثًا قائم الزاوية. نلاحظ أن الزاوية المحصورة هي 𝜃. إذن المسافة بين السلم عند النقطة ﺏ والحائط هي ٣٫٣ أمتار. وطول السلم هو ١٤ مترًا. في الواقع، يوجد أمران يمكننا فعلهما الآن. يمكننا إيجاد طول هذا الضلع هنا. سنطلق عليه ﺱ أو ﺱ من الأمتار. سيسمح لنا ذلك بصياغة تعبيرات لـ جتا 𝜃 وجا 𝜃، وأيضًا ظا 𝜃 عند الضرورة. لكننا في الحقيقة سنوجد قيمة 𝜃.
نعرف طول الضلع المجاور والوتر، لذا سنستخدم نسبة جيب التمام. جتا 𝜃 يساوي الضلع المجاور على الوتر. إذن، جتا 𝜃 في هذه الحالة يساوي ٣٫٣ على ١٤. بحساب معكوس جتا لكلا الطرفين، نجد أن 𝜃 تساوي معكوس جتا ٣٫٣ على ١٤، ما يساوي ٧٦٫٣٦٦ وهكذا مع توالي الدرجات. سنضيف هذا إلى المخطط أمامنا. وبهذا صرنا مستعدين الآن لإيجاد قيمة العزوم. سنحسب الآن قيمة العزوم حول النقطة ﺏ.
في الحقيقة يمكننا حساب قيمة العزوم حول أي نقطة على السلم. لكن قد يكون من الأسهل أن نحسب قيمة العزوم حول نقطة ارتكاز السلم على الأرض. سنفترض أن الاتجاه عكس اتجاه عقارب الساعة قيمته موجبة. لكن ما الذي نعنيه عندما نتحدث عن العزوم؟
العزم هو التأثير الدوراني للقوة. نقول إن عزم القوة هو القوة مضروبة في المسافة ﻑ. لكن من المهم أن نتذكر أن المسافة هي البعد العمودي من المحور إلى الخط الذي تؤثر فيه القوة. لننظر إذن إلى قيمة العزوم حول النقطة ﺏ. لنلق نظرة على وزن السلم. لوزن السلم تأثير اتجاهه لأسفل. ولذلك، علينا إيجاد مركبة هذه القوة المؤثرة بشكل عمودي على السلم.
وبذلك، يمكننا إضافة مثلث صغير قائم الزاوية. لكننا سنزيد من حجم هذا المثلث حتى يمكننا أن نرى ما يحدث. حسنًا، لدينا هنا القوة المؤثرة التي تشده لأسفل وقيمتها ببساطة هي ٣٤ حيث إننا نعرف مسبقًا أنها بالثقل كيلوجرام. ونحاول إيجاد مركبة هذه القوة المؤثرة عموديًا على السلم. سنشير إليها بالرمز ﺱ، على الرغم من أننا نعرف أنها ستكون ﺱ ثقل كيلوجرام. هذه الزاوية هنا هي 𝜃 أيضًا. إنها تساوي ٧٦٫٣ وهكذا مع توالي الأرقام.
وهكذا نرى أنه يمكننا ربط الضلع المجاور والوتر باستخدام نسبة جيب التمام؛ ما يعطينا جتا 𝜃 يساوي ﺱ على ٣٤ أو ﺱ يساوي ٣٤ جتا 𝜃. هذا العزم يعمل في الاتجاه المعاكس للاتجاه الذي حددناه بأنه موجب. إذن، فالقوة المضروبة في المسافة ستكون سالب ٣٤ جتا 𝜃 مضروبًا في ٥٫٦. وهذا لأننا قلنا إن وزن الرجل يؤثر على نقطة تبعد ٥٫٦ أمتار عن ﺏ. وبالتالي، فإن جتا 𝜃 يساوي جتا العدد ٧٦٫٣ مع توالي الأرقام. وإذا استخدمنا هذه القيمة الدقيقة، فسنحصل على ٣٣ على ١٤٠. وهذا منطقي جدًا لأننا حددنا في البداية أن جتا 𝜃 يساوي ٣٫٣ على ١٤. والقيمتان متكافئتان.
سنكرر هذه العملية الآن لحساب مقدار قوة الرجل. مرة أخرى، يمكننا إضافة مثلث قائم الزاوية. هذا المثلث يطابق تقريبًا المثلث الذي رسمناه من قبل. لكن طول الوتر يساوي ٧٤. سنشير إلى الطول الذي نريد إيجاده، أي مركبة هذه القوة المؤثرة عموديًا على السلم، بالرمز ﺹ. هذه المرة، سيكون جتا 𝜃 يساوي ﺹ على ٧٤. وبذلك، فإن ﺹ يساوي جتا 𝜃 في ٧٤. وبذلك يكون عزم هذه القوة سالب ٧٤ جتا 𝜃 في سبعة. القيمة هنا سالبة لأن القوة تعمل في اتجاه عقارب الساعة. سنضرب هذه القوة أيضًا في سبعة لأن الرجل يقف عند نقطة منتصف السلم. إنه على بعد سبعة أمتار من ﺏ. مرة أخرى، يمكننا التعويض عن جتا 𝜃 بـ ٣٣ على ١٤٠. هذا يساوي جتا ٧٦٫٣ وهكذا مع توالي الأرقام. حسنًا، ما القوى الأخرى الموجودة لدينا؟
نستبعد القوى المؤثرة على النقطة ﺏ. وذلك لأنها تبعد عن ﺏ بمسافة قيمتها صفر من الأمتار. لذلك، إذا كنا سنحسب قيمة عزومها، كنا سنضرب في صفر. لكن لدينا هنا قوة رد الفعل عند النقطة ﺃ. وعلينا إيجاد مركبة هذه القوة، التي تؤثر عموديًا على السلم. لذلك، سنضيف مثلثًا قائم الزاوية مجددًا.
والزاوية المحصورة في هذا المثلث هي أيضًا 𝜃. وذلك لأن قوة رد الفعل ﺃ موازية للأرض. ونعرف أن الزاويتين المتبادلتين متساويتان. ونريد إيجاد طريقة للربط بين ﻉ، وهي مركبة هذه القوة، المؤثرة عموديًا على السلم، وبين قوة رد الفعل عند النقطة ﺃ. هذه المرة، سنتعامل مع الضلع المقابل والوتر. لذا سنستخدم نسبة الجيب. ومن ثم، فإن جا 𝜃 يساوي ﻉ على ﺭﺃ. وبضرب كلا طرفي هذه المعادلة في ﺭﺃ، سنجد أن ﻉ يساوي ﺭﺃ في جا 𝜃.
يمكننا إيجاد قيمة عزم هذه القوة بضرب هذه المركبة العمودية في المسافة التي تبعدها ﺃ عن ﺏ. هذا يساوي ﺭﺃ في جا 𝜃 في ١٤. ونعرف أن السلم في حالة اتزان. لذلك، سيكون مجموع العزوم صفرًا. لكن ما الذي يمكننا أن نفعله هنا أيضًا؟
يمكننا التعويض عن ﺭﺃ بـ ﺵ. لقد عرفنا سابقًا أن قيمة ﺵ تساوي قيمة ﺭﺃ. يمكننا أيضًا حساب قيمة جا 𝜃، لكننا سنفعل ذلك بعد قليل. لنحسب قيمة سالب ٣٤ في ٣٣ على ١٤٠ في ٥٫٦، وسالب ٧٤ في ٣٣ على ١٤٠ في سبعة. سنجد أن مجموعهما يساوي سالب ٨٣٤٩ على ٥٠. وبإضافة هذه القيمة إلى كلا طرفي المعادلة، نحصل على ١٤ جا 𝜃 في ﺵ يساوي ٨٣٤٩ على ٥٠.
بالطبع، يمكننا الآن حساب قيمة ١٤ جا 𝜃. سنعوض عن 𝜃 هنا بـ ٧٦٫٣ وهكذا مع توالي الأرقام. من الأفضل أن نستخدم القيمة الدقيقة لـ 𝜃. وعندما نفعل ذلك، سنحصل على ١٣٫٦ مع توالي الأرقام. لإيجاد قيمة ﺵ، علينا قسمة كلا طرفي المعادلة على هذه القيمة. هذا يعطينا ﺵ يساوي ٨٣٤٩ على ٥٠ مقسومًا على ١٣٫٦، أي ١٢٫٢٧٢ وهكذا مع توالي الأرقام. وبتقريب هذا الناتج لأقرب منزلتين عشريتين، ومواصلة استخدام وحدات القوة التي حددناها في البداية، نجد أن مقدار الشد يساوي تقريبًا ١٢٫٢٧ ثقل كيلوجرامًا.
