فيديو السؤال: إيجاد نهاية الدوال الجذرية عند نقطة عن طريق التعويض المباشر الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

أوجد نهاية الجذر التربيعي لأربعة ﺱ تربيع ناقص تسعة ﺱ زائد واحد عند اقتراب ﺱ من تسعة.

من الواضح أننا يمكننا إيجاد هذه النهاية عن طريق التعويض المباشر. فالقيمة التي تقترب منها ﺱ هي تسعة. وسنعوض بهذه القيمة عن ﺱ في المقدار الذي لدينا.

لدينا الآن الجذر التربيعي لأربعة في تسعة تربيع ناقص تسعة في تسعة زائد واحد. والآن كل ما علينا فعله هو إيجاد قيمة هذا الجذر. حصلنا على ٢٤٤ تحت علامة الجذر. وبما أن ٢٤٤ يساوي اثنين تربيع في ٦١، فيمكننا تبسيط هذا الجذر. وبفعل ذلك، نحصل على اثنين في الجذر التربيعي لـ ٦١. هذه قيمة النهاية التي نحصل عليها عن طريق التعويض المباشر. لكن ما الذي يبرر استخدامنا التعويض المباشر لإيجاد قيمة هذه النهاية؟

لنفرغ بعض المساحة لمناقشة هذا. لتكن الدالة ﺩﺱ هي الدالة التي نحاول إيجاد نهايتها، أي، الجذر التربيعي لأربعة ﺱ تربيع ناقص تسعة ﺱ زائد واحد. إذن، النهاية التي علينا إيجادها هي نهاية الدالة ﺩﺱ عند اقتراب ﺱ من تسعة. ونفترض أننا يمكننا إيجاد هذه النهاية عن طريق التعويض المباشر بتسعة عن ﺱ، وهو ما يعطينا على الجانب الأيسر من المعادلة ﺩ لتسعة.

والآن، يمكننا التحقق من أن الجذر التربيعي لأربعة في تسعة تربيع ناقص تسعة في تسعة زائد واحد هو بالفعل ﺩ لتسعة. بالمناسبة، لعلكم تعرفون أن هذا يعني أن الدالة ﺩ متصلة عند ﺱ تساوي تسعة. لا تقلقوا إذا لم تمر عليكم هذه المعلومة. الأمر المهم هو أننا يمكننا تبرير استخدامنا للتعويض المباشر باستخدام قوانين النهايات.

القانون الأول الذي نستخدمه هو أنه يمكننا تبديل الترتيب بين إيجاد النهاية والجذر التربيعي. إذن، فإن نهاية الجذر التربيعي لأربعة ﺱ تربيع ناقص تسعة ﺱ زائد واحد تساوي الجذر التربيعي لنهاية أربعة ﺱ تربيع ناقص تسعة ﺱ زائد واحد.

ولعلكم علمتم بالفعل أنه يمكننا إيجاد قيمة النهاية داخل الجذر التربيعي باستخدام طريقة التعويض المباشر. وسيقودنا هذا إلى هذا السطر ومنه إلى الناتج.

بدلًا من ذلك، يمكننا استخدام قانون آخر من قوانين النهايات، وهو أن نهاية مجموع الدوال هو مجموع نهايات الدوال. وهذا بغض النظر عن عدد الدوال المتضمنة في المجموع. وبالتالي، يمكننا إيجاد نهاية كل حد على حدة. ويمكن إيجاد هذه النهايات الثلاث عن طريق التعويض المباشر. وسيقودنا ذلك إلى هذا السطر، ومنه إلى الناتج.

لكن بما أننا وصلنا إلى هذه المرحلة، فيمكن أن نبرر أيضًا سبب استخدامنا للتعويض المباشر لإيجاد هذه النهايات. نهاية عدد ما مضروبًا في دالة تساوي هذا العدد مضروبًا في نهاية الدالة. إذن، نهاية أربعة في ﺱ تربيع تساوي أربعة في نهاية ﺱ تربيع. ونهاية تسعة في ﺱ تساوي تسعة في نهاية ﺱ. ونترك نهاية واحد كما هي.

وثمة أمر آخر يمكننا فعله، وهو كتابة نهاية ﺱ تربيع في صورة تربيع نهاية ﺱ. ويأتي هذا من قانون آخر من قوانين النهايات: وهو أن نهاية قوة الدالة تساوي قوة نهاية الدالة.

الآن لدينا القيمة التي نريدها بدلالة نهاية ﺱ عند اقتراب ﺱ من تسعة ونهاية الدالة الثابتة واحد عند اقتراب ﺱ من تسعة. وإذا سلمنا أن قيم هذه النهايات هي تسعة وواحد، على الترتيب، فسنحصل على ما لدينا في السطر الأول. ولكن ألا يجدر بنا تبرير استخدام التعويض المباشر حتى في هذه الدوال البسيطة؟

حسنًا، في الواقع لقد حولنا هذه إلى قوانين. إن نهاية الدالة المحايدة ﺱ عند اقتراب ﺱ من ﺟ تساوي ﺟ، لأي عدد يساوي ﺟ. ونهاية الدالة الثابتة ﻙ عند اقتراب ﺱ من ﺟ مرة أخرى، لأي عدد يساوي ﺟ، تساوي الثابت ﻙ.

قد تشعرون أن هذا تحايل؛ وذلك لأن هذين الاثنين ليسا من قوانين النهايات، بل مجرد قيم للنهايات. لكن في الحقيقة إذا لم يكن بإمكاننا إلا كتابة النهايات بدلالة نهايات أخرى، فلن يمكننا أبدًا إيجاد قيمة أي منها.

فقوانين النهايات، بما فيها نهاية الدالة المحايدة ﺩﺱ تساوي ﺱ ونهاية الدالة الثابتة ﺩﺱ تساوي ﻙ، هي العناصر التي نحتاجها لإيجاد النهايات الأخرى. وإذا قبلتم قوانين النهايات كما كتبناها، فعليكم القبول بأن نهاية الجذر التربيعي لأربعة ﺱ تربيع ناقص تسعة ﺱ زائد واحد عند اقتراب ﺱ من تسعة تساوي اثنين جذر ٦١. وإذا لم تقبلوا أن هذه هي قيمة النهاية لدينا، فيجب أن تكونوا قادرين على تحديد أي من قوانين النهايات تختلفون معه.

فقوانين النهايات هذه ليست عشوائية أيضًا. ويجب أن تبدو منطقية نسبيًا إذا كنتم تفكرون في معنى النهاية بطريقة بديهية. ويمكن إثبات قوانين النهايات هذه أيضًا باستخدام تعريف أكثر منهجية للنهايات يتضمن الرمزين 𝜀 و𝛿، اللذين قد ترونهما لاحقًا.