فيديو السؤال: إيجاد متجه بمعلومية نواتج حاصل ضربه الاتجاهي في متجهين معطيين الرياضيات

نسخة الفيديو النصية

إذا كان المتجه ﺃ يساوي سالب ﺱ ناقص اثنين ﺹ، والمتجه ﺏ يساوي سالب أربعة ﺱ ناقص أربعة ﺹ، وحاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺃ والمتجه ﺟ يساوي سالب ثلاثة ﻉ، وحاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺟ والمتجه ﺏ يساوي أربعة ﻉ؛ فأوجد المتجه ﺟ.

في هذا السؤال، لدينا المتجهان ﺃ وﺏ، اللذان يقعان في المستوى الإحداثي؛ حيث ﺱ وﺹ متجها الوحدة. لدينا أيضًا حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺃ وﺟ وحاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺟ وﺏ. ومطلوب منا إيجاد المتجه ﺟ.

سنفترض أن هذا المتجه هو ﺱﺱ زائد ﺹﺹ؛ حيث ﺱ وﺹ ثابتان. إننا نعلم أنه إذا كان لدينا المتجهان ﻡ وﻥ؛ حيث ﻡ يساوي ﻫﺱ زائد ﻭﺹ، وﻥ يساوي ﺯﺱ زائد ﺡﺹ، فإن حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﻡ وﻥ يساوي محدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين؛ ﻫ، ‏ﻭ، ‏ﺯ، ‏ﺡ مضروبًا في متجه الوحدة ﻉ؛ حيث إن متجه الوحدة ﻉ عمودي على المستوى ﺱﺹ.

دعونا نبدأ بتناول حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺃ وﺟ. باستخدام القاعدة العامة، يجب أن يساوي هذا محدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين؛ سالب واحد، سالب اثنين، ﺱ، ﺹ، مضروبًا في متجه الوحدة ﻉ. محدد المصفوفة يساوي سالب واحد مضروبًا في ﺹ ناقص ﺱ مضروبًا في سالب اثنين. هذا يساوي سالب ﺹ زائد اثنين ﺱ. إذن، حاصل الضرب الاتجاهي للمتجه ﺃ والمتجه ﺟ يساوي سالب ﺹ زائد اثنين ﺱ مضروبًا في متجه الوحدة ﻉ. نحن نعلم بالفعل أن هذا يساوي سالب ثلاثة ﻉ. لذا، يمكننا استنتاج أن سالب ثلاثة يساوي سالب ﺹ زائد اثنين ﺱ.

بإضافة ﺹ وثلاثة إلى طرفي هذه المعادلة، نحصل على ﺹ يساوي اثنين ﺱ زائد ثلاثة. سنسمي هذه بالمعادلة رقم واحد، ثم نكرر العملية نفسها لحساب حاصل الضرب الاتجاهي للمتجهين ﺟ وﺏ. هذا يساوي محدد المصفوفة من الرتبة اثنين في اثنين؛ ﺱ، ﺹ، سالب أربعة، سالب أربعة، مضروبًا في ﻉ. محدد المصفوفة هو ﺱ مضروبًا في سالب أربعة ناقص سالب أربعة مضروبًا في ﺹ. يمكن تبسيط هذا إلى سالب أربعة ﺱ زائد أربعة ﺹ، ويكون حاصل الضرب الاتجاهي لـ ﺟ وﺏ هو سالب أربعة ﺱ زائد أربعة ﺹ مضروبًا في متجه الوحدة ﻉ. نحن نعلم أن هذا يساوي أربعة ﻉ. إذن، سالب أربعة ﺱ زائد أربعة ﺹ يساوي أربعة.

يمكننا قسمة طرفي هذه المعادلة على أربعة، وبذلك يصبح لدينا واحد يساوي سالب ﺱ زائد ﺹ. وبإضافة ﺱ إلى الطرفين، يصبح لدينا ﺹ يساوي ﺱ زائد واحد. لدينا الآن معادلتان آنيتان يمكننا حلهما لحساب قيمتي ﺱ وﺹ. بما أن ﺹ يساوي اثنين ﺱ زائد ثلاثة وﺱ زائد واحد، فإن هذين التعبيرين لا بد أن يساوي كل منهما الآخر. يمكننا بعد ذلك طرح ﺱ وثلاثة من طرفي المعادلة. اثنان ﺱ ناقص ﺱ يساوي ﺱ، وواحد ناقص ثلاثة يساوي سالب اثنين، وهو ما يعطينا ﺱ يساوي سالب اثنين. يمكننا بعد ذلك التعويض بقيمة ﺱ هذه في المعادلة رقم واحد أو المعادلة رقم اثنين.

في المعادلة رقم اثنين، لدينا ﺹ يساوي سالب اثنين زائد واحد، ما يعطينا ﺹ يساوي سالب واحد. ومن ثم، فإن المتجه ﺟ يساوي سالب اثنين ﺱ ناقص ﺹ. إذن، إذا كان ﺃ يساوي سالب ﺱ ناقص اثنين ﺹ، وﺏ يساوي سالب أربعة ﺱ ناقص أربعة ﺹ، وحاصل الضرب الاتجاهي لـ ﺃ وﺟ يساوي سالب ثلاثة ﻉ، وحاصل الضرب الاتجاهي لـ ﺟ وﺏ يساوي أربعة ﻉ؛ فإن المتجه ﺟ يساوي سالب اثنين ﺱ ناقص ﺹ.