تستخدم نجوى ملفات تعريف الارتباط لضمان حصولك على أفضل تجربة على موقعنا. معرفة المزيد حول سياسة الخصوصية لدينا.

فيديو: إيجاد حجم المجسَّمات المركَّبة

أحمد مدحت

يوضح الفيديو مفهوم الحجم والأسطوانة والمجسَّم المركَّب، كما يوضح كيفية إيجاد حجم المنشور والأسطوانة والمجسَّمات المركَّبة، مع أمثلة توضيحية.

٠٩:٥٨

‏نسخة الفيديو النصية

هنتكلّم عن إيجاد حجم المجسَّمات المركَّبة.

في الفيديو ده، هنعرف مفهوم الحجم. وهنعرف حجم المنشور، وإزّاي نوجده. وهنعرف إيه هي الأسطوانة، وإزّاي نوجد حجمها. وكمان هنعرف إيه هي المجسَّمات المركّبة، وإزّاي نوجد حجمها.

بالنسبة لمفهوم الحجم، فالحجم هو مقدار الحيّز اللي بيشغله الجسم في الفراغ. وبنقيس الحجم بالوحدات المكعَّبات، زيّ السنتيمترات المكعَّبة، والأمتار المكعّبة. بعد كده هنشوف حجم المنشور. لو رمزنا لحجم المنشور بالرمز ح، فهيبقى حجم المنشور ح يساوي حاصل ضرب مساحة قاعدته، واللي هنرمز لها بالرمز م، في ارتفاعه، اللي هنرمز له بالرمز ع. والمقصود بارتفاع المنشور المسافة العمودية، أو البعد العمودي بين القاعدتين بتوع المنشور.

بعد كده هنستخدم الرموز اللي عندنا؛ علشان نكتب الصيغة الرياضية أو القاعدة بتاعة حجم المنشور. فهتبقى الصيغة الرياضية لحجم المنشور هي: ح، واللي هي حجم المنشور، يساوي م، واللي هي مساحة القاعدة، في ع، واللي هو الارتفاع. يعني هيبقى ح تساوي م ع.

بعد كده هنشوف مثال على إيجاد حجم المنشور. عندنا في المثال شكل عبارة عن منشور رباعي. وأوجهه عبارة عن مستطيلات. والمطلوب إن إحنا نوجد حجمه.

بالنسبة لحجم المنشور، فهو بيساوي حاصل ضرب مساحة قاعدته في ارتفاعه. يعني ح تساوي م ع، بحيث إن ح هو حجم المنشور، وَ م هي مساحة قاعدته، وَ ع هو ارتفاعه. وبما إن القاعدة بتاعة المنشور على شكل مستطيل، ومساحة المستطيل تساوي طوله في عرضه. فلو رمزنا لطول المستطيل بالرمز ل، وعرضه بالرمز ض، فهيبقى م، واللي هي مساحة القاعدة، تساوي ل في ض. بالتالي ح تساوي ل، في ض، في ع.

ولمّا هنرجع للشكل اللي عندنا، هنلاقي ل تساوي تسعة، وَ ض تساوي خمسة، وَ ع تساوي ستة ونصّ. فهنبدأ نعوّض في العلاقة اللي عندنا؛ مكان ل بتسعة، ومكان ض بخمسة، ومكان ع بستة ونصّ. فهتبقى ح تساوي تسعة، في خمسة، في ستة ونصّ. فلمّا هنضرب، هنلاقي ح تساوي ميتين اتنين وتسعين ونصّ. وبما إن الحجم بيُقاس بالوحدات المكعَّبة، فهيبقى حجم المنشور هو ميتين اتنين وتسعين ونصّ سنتيمتر مكعَّب.

هنشوف مثال كمان نوضّح بيه أكتر. عندنا في المثال شكل عبارة عن منشور ثلاثي. والمطلوب إن إحنا نوجد حجمه.

بالنسبة للصيغة الرياضية أو القاعدة بتاعة حجم المنشور هي: ح تساوي م ع، بحيث إن ح بتشير لحجم المنشور. أمَّا م، فبتشير لمساحة قاعدة المنشور. أمَّا ع، فبتشير إلى ارتفاع المنشور. ومن خلال الشكل اللي عندنا، هنلاقي إن قاعدة المنشور عبارة عن مثلث. ومساحة المثلث تساوي نصّ طول القاعدة في الارتفاع. بالتالي م، واللي هي مساحة القاعدة، تساوي نصّ، في ستة، في سبعة.

فلمّا هنعوّض مكان م في العلاقة اللي عندنا، هنلاقي ح تساوي نصّ، في ستة، في سبعة، في ع. بالنسبة لـ ع، فهي بتشير لارتفاع منشور. ومن خلال الشكل اللي عندنا، هنلاقي إن ارتفاع المنشور هو عشرة سنتيمتر. بالتالي ع تساوي عشرة. فهنعوّض في العلاقة اللي عندنا مكان ع بعشرة، فهيبقى ح تساوي نصّ، في ستة، في سبعة، في عشرة. فلمّا هنضرب، هنلاقي ح تساوي ميتين وعشرة. يعني حجم المنشور يساوي ميتين وعشرة سنتيمتر مكعَّب. كده إحنا عرفنا إيه هو الحجم، وكمان عرفنا إزّاي نوجد حجم المنشور.

بعد كده هنعرف إيه هي الأسطوانة. بالنسبة للأسطوانة، فهي عبارة عن مجسَّم ليه قاعدتين. القاعدتين دول دائريتين، ومتطابقتين، ومتوازيتين، وكمان متصلين مع بعض بجنب منحني. وعلشان نوجد حجم الأسطوانة، ممكن نستخدم القاعدة أو الصيغة الرياضية: ح تساوي م ع. لكن القاعدة بتاعة الأسطوانة دايرة. وعلشان كده لو رمزنا لحجم الأسطوانة بالرمز ح. فهيبقى حجم الأسطوانة ح هو حاصل ضرب مساحة قاعدتها، واللي هنرمز لها بالرمز م، في ارتفاعها، واللي هنرمز له بالرمز ع. بالتالي هتبقى الصيغة الرياضية أو القاعدة بتاعة حجم الأسطوانة هي: ح تساوي م في ع. يعني ح تساوي م ع. بحيث إن ح هي حجم الأسطوانة، وَ م هي مساحة قاعدتها، وَ ع هو ارتفاعها.

بعد كده هنشوف مثال على إيجاد حجم الأسطوانة. عندنا في المثال شكل عبارة عن أسطوانة. عايزين نوجد حجمها، ونقرَّب الناتج لأقرب جزء من عشرة.

من خلال الشكل اللي عندنا، هنلاقي القطر بتاع القاعدة تلتاشر سنتيمتر. بالتالي هيبقى نصّ قطر القاعدة، واللي هنرمز له بالرمز نق، يساوي ستة ونصّ سنتيمتر. بالنسبة للقاعدة أو الصيغة الرياضية بتاعة حجم الأسطوانة، فهي: ح تساوي م ع. بحيث إن ح هي حجم الأسطوانة، وَ م هي مساحة القاعدة بتاعة الأسطوانة، وَ ع هو ارتفاع الأسطوانة. وبما إن قاعدة الأسطوانة عبارة عن دايرة، فهيبقى م، واللي هي مساحة القاعدة، تساوي 𝜋 نق تربيع. معنى كده إن ح تساوي 𝜋 نق تربيع ع.

ومن خلال الشكل اللي عندنا، ارتفاع الأسطوانة، واللي بنرمز له بالرمز ع، يساوي عشرين سنتيمتر. فهنعوّض في العلاقة اللي عندنا مكان نق بستة ونصّ، ومكان ع بعشرين. بالتالي ح تساوي 𝜋، في ستة ونصّ تربيع، في عشرين. فلمّا هنستخدم الآلة الحاسبة، علشان نوجد حاصل ضرب 𝜋 في ستة ونصّ تربيع، في عشرين. هنلاقي إن ح تقريبًا لأقرب جزء من عشرة تساوي ألفين ستمية أربعة وخمسين وستة من عشرة. بالتالي هيبقى حجم الأسطوانة هو ألفين ستمية أربعة وخمسين وستة من عشرة سنتيمتر مكعَّب تقريبًا.

بعد كده هنعرف إيه هو المجسَّم المركَّب. المجسَّم المركَّب هو مجسَّم بيتكوّن من أكتر من نوع من المجسَّمات. وعلشان نوجد حجمه، فإحنا بنقسّمه لمجسَّمات نقدر نجيب حجمها. هنوضَّح أكتر إزّاي نوجد حجم المجسَّم المركَّب من خلال مثال.

عندنا في المثال، مَيّ بتستخدم خرز مكعَّب الشكل؛ علشان تصنع حليّ. وكلّ خرزة فيها في الوسط ثقب أسطواني. ومطلوب نوجد حجم الخرزة.

الشكل اللي عندنا عبارة عن مجسَّم مركَّب. وعلشان نوجد حجمه، فإحنا هنقسّمه لمجسّمات نقدر نوجد حجمها. فالخرزة بتتكوَّن من منشور رباعي، اللي هو المكعَّب. أمَّا المجسَّم التاني، فهو أسطوانة. بعد كده هنجيب حجم كل مجسَّم. هنبدأ بحجم المنشور الرباعي، أو حجم المكعَّب. حجم المنشور الصيغة الرياضية بتاعته هي: ح تساوي م ع، بحيث إن ح بتشير لحجم المنشور، وَ م بتشير إلى مساحة قاعدته. أمَّا ع، فهي بتشير إلى ارتفاعه.

بالنسبة للمنشور، فالقاعدة بتاعته على شكل مربع. معنى كده إن م، واللي بتشير إلى مساحة القاعدة، تساوي اتناشر في اتناشر. أمَّا ارتفاع المنشور، فهو اتناشر ملليمتر. بالتالي ع، اللي بتشير إلى ارتفاع المنشور، تساوي اتناشر. فهنعوّض في العلاقة اللي عندنا؛ علشان نجيب حجم المنشور. هنعوّض مكان م باتناشر في اتناشر، ومكان ع باتناشر. فهنلاقي ح تساوي اتناشر، في اتناشر، في اتناشر. فلمّا هنضرب، هنلاقي ح تساوي ألف سبعمية تمنية وعشرين.

بعد كده هنجيب حجم الأسطوانة. القاعدة أو الصيغة الرياضية بتاعة حجم الأسطوانة هي: ح تساوي م ع، بحيث ح تشير إلى حجم الأسطوانة. وَ م تشير إلى مساحة القاعدة بتاعة الأسطوانة. أمَّا ع، فهي بتشير إلى ارتفاع الأسطوانة. بالنسبة للقاعدة بتاعة الأسطوانة، فهي دايرة قُطْرها اتنين ملليمتر. وبالتالي هيبقى نصّ قطر القاعدة بتاعة الأسطوانة، واللي هنرمز له بالرمز نق، يساوي واحد ملليمتر. معنى كده إن م، واللي بتشير إلى مساحة القاعدة بتاعة الأسطوانة، تساوي 𝜋 في واحد تربيع. أمَّا ع، فتساوي اتناشر.

فهنعوّض في العلاقة اللي عندنا مكان م بـ 𝜋 في واحد تربيع، ومكان ع باتناشر. فلمّا هنعوّض، هنلاقي ح تساوي 𝜋 في واحد تربيع في اتناشر. ولمّا هنضرب، هنلاقي ح تقريبًا تساوي سبعة وتلاتين وسبعة من عشرة. بكده بعد ما أوجدنا حجم المكعَّب أو المنشور الرباعي وحجم الأسطوانة، هنلاقي إن حجم الخرزة يساوي حجم المكعَّب ناقص حجم الثُّقب الأسطواني.

يعني حجم الخرزة تقريبًا يساوي ألف سبعمية تمنية وعشرين ناقص سبعة وتلاتين وسبعة من عشرة. يعني هيبقى حجم الخرزة تقريبًا يساوي ألف ستمية وتسعين وتلاتة من عشرة ملليمتر مكعَّب. بالنسبة للإجابة بتاعتنا، واللي هي ألف ستمية وتسعين وتلاتة من عشرة ملليمتر مكعَّب، فهي بتقلّ بمقدار بسيط عن حجم المكعَّب. اللي هو ألف سبعمية تمنية وعشرين ملليمتر مكعَّب. ده معناه إن الإجابة بتاعتنا منطقية.

بكده يبقى إحنا في الفيديو ده عرفنا مفهوم الحجم. وكمان عرفنا إزّاي نوجد حجم المنشور. وكمان عرفنا إن الأسطوانة عبارة عن مجسَّم له قاعدتين دائريتين متطابقتين، ومتوازيتين، متصلتين مع بعض بجانب منحني. بعد كده عرفنا إزّاي نوجد حجمها. وبعد كده عرفنا إن المجسَّم المركَّب هو عبارة عن مجسَّم بيتكوّن من أكتر من نوع من المجسَّمات. وكنا علشان نقدر نوجد حجمه بنقسّمه لمجسَّمات نقدر نجيب حجمها.